解因
M y, N y x, M 1, N 1
y
x
• 方程不是恰当方程。
方法1 M N
• • •
因
y x 2
M
y
只与
方程有积分因子为
于是以 μ 乘方程两边得
y
有关，
(y) e
2 y
d
y
1 y2
1dx y
1d y
y
xd y y2
ydx xd y y2
dy y
x y
ln
y
0
• 得通解
d ( ye P(x) d x ) Q(x)e P(x) d x d x
• 得通解
即 ye P(x)d x Q(x)e P(x)d x d x c
y e P(x)d x Q(x)e P(x)d x d x c
例5 解方程 d y x dx y
1
x y
2
( y 0)
4y2
y
• 偏积分 x 第一式得 u x3 3x2 y2 ( y)
• 上式对 y 偏微分，由第二式有
• 于是
d(y) 4y3
dy
u 6x2 y d( y) 6x2 y 4 y3
y
dy
例1 解方程 （续）
(3x2 6xy2 ) d x (6x2 y 4 y2 ) d y 0
(2) 分项组合全微分方法
• 将恰当方程的各项分项组合成全微分形式 • 简单二元函数的全微分：
y d x x d y d(xy),
y
d
x xd y2
y
d
x y
yd
x x2
xd
y
d
y x
,
ydx xd y xy
d ln
x y
ydx x2
xd y2
y
d
arctg
y x
,
ydx xdy x2 y2
•
d(y) 4y3
dy
解得
(y) y4
• 从而全微方式为 u x3 3x2 y2 y4
• 方程的通解为
x3 3x2 y2 y4 c
其中 c 为任意常数。 • 亦可直接引用全微方公式求解
M
(
x,
y)
d
x
N
(x,
y)
y
M
(
x,
y)
d
x
d
y
x3 3x2 y2 (6x2 y 4 y3 6x2 y) d y x3 3x2 y2 y4 c
x ln y c y
方法2 方程 yd x (y x)d y 0
• 方程改写为
ydx xd y yd y
• 显然方程有积分因子为
其中 c 为任意常数。
cos
x
d
x
1 y
d
y
1 y
d
x
x y2
d
y
d sin
x
d ln
y
yd
x xd y2
y
d sin x d ln
y
d
x y
d
sin
x
ln
y
x y
0
（3）积分因子
• 积分因子定义：微分方程 M d x N d y 0
• 如存在连续可微函数 (x, y) 使得 M d x N d y du
N
• 此时积分因子为 (x) e (x)dx • 同样，
(y)形式的积分因子的充分必要条件：
M N
y x ) e( y)dy
例4 试用积分因子法 解线性微分方程
d y P(x) y Q(x) dx
解 方程改写为 [P(x)y Q(x)] d x d y 0
则称 (x, y)为方程 M d x N d y 0的积分因子。
• 同一方程可以有不同的积分因子。
• (x, y) 为积分因子的充分必要条件：
(M ) (N) 即
y
x
N
x
M
y
M y
N x
(4) 单变量积分因子 (x)、(y)
• (x) 形式的积分因子的充分必要条件：
M N
y x (x)
§2.3 恰当方程与积分因子
(1) 恰当方程 (2) 分项组合全微分方法 (3) 积分因子 (4) 单变量积分因子
(x)、( y)
(1) 恰当方程
•
将一阶微分方程
dy dx
=
M(x,y）
N（x,y写) 成对称形式
M (x, y)d x N(x, y)d y 0
如方程右端恰可表为某函数 u(x,y) 的全微分：
解 方程改写为
xd x yd y x2 y2 d x
1 d(x2 y2 ) x2 y2 d x 2
• 显然方程有积分因子为 x2 y2
于是
d(x2 y2 ) d x 2 x2 y2
• 通解为
x2 y2 x c
•或
y2 c(c 2x)
例6 解方程 yd x (y x)d y 0
•有
M P(x)y Q(x), N 1
M N y x P(x)
•
方程有积分因子 为
(x) e P(x)d x
N
• 于是
P(x)e P(x) d x y d x e P(x) d xdy Q(x)e P(x) d x d x
y d e P(x) d x e P(x) d x d y Q(x)e P(x) d x d x
1 2
d
ln
x x
y y
例1 解方程 (3x2 6xy2 )d x (6x2 y 4y2)d y 0
解 这里
M 3x2 6xy2 , N 6x2 y 4 y2
•有
M 12xy, N 12xy
y
x
• 方程是恰当方程。
• 求 u 使其满足
u x
M
3x2
6 xy 2
u
N
6x2 y
例2 用“分项组合”方法求解例1
解 重组
(3x2 6xy2 ) d x (6x2 y 4 y2 ) d y 3x2 d x 4 y2 d y 6xy2 d x 6x2 y d y d x3 d y4 (3y2 d x2 3x2 d y2 ) d x3 d y4 3d(x2 y2 ) d(x3 y4 3x2 y2 ) 0
M (x, y)d x N(x, y)d y du(x, y)
则称方程为恰当方程。
• 恰当方程的通解为u(x,y)=c
•
方程为恰当方程的充分必要条件为 M N
此时有
y x
u
M
(x,
y)
d
x
N
(
x,
y)
y
M
(
x,
y)
d
x
d
y
• 这里积分式 M(x, y)d x 是 x 的偏积分，
把 y 视为常量对 x 进行积分。
• 即得方程的通解 x3 3x2 y2 y4 c 其中 c 为任意常数。
例3 求解 cos x
1 y
d
x
1 y
x y2
d
y
0
解因
M cos x 1 , y
N
1 y
x y2
,
M y
1 y2
N x
方程是恰当方程。 • 用“分项组合”方法重组
• 即得方程的通解
sin x ln y x c y