宁夏高考数学模拟考试卷及答案解析（文科）班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．给出下列关系：①πR ∈Q ；③3-∉Z ；④|3|-∉N ；⑤0∉Q 其中正确的个数（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设复数z 满足(1i)2i z -=+ 则||z =（ ）A B ．52C D 3．现有下面四个推理： ①每个偶函数都有最大值； ②若2log 3x > 则3log 2x >；③如果今天是星期五 那么二十天后是星期四；④已知函数()22321x x f x x -+=+ 因为()10f = ()20f =所以()30f =.其中所有推理正确的序号是（ ） A ．③B ．②③C ．②④D ．①②④4．已知()1,2OA =- ()3,OB m =若OA OB ⊥ 则m =（ ） A ．4B ．3C ．32-D ．325．已知定义域为R 的函数满足(1)(1)f x f x -=- 且在(0,)+∞单调递减 若1ln 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭23e -⎛⎫= ⎪⎝⎭bf 32e -⎛⎫= ⎪⎝⎭c f 则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>6．圆()2211x y -+=的圆心到直线y x =的距离是（ ）A ．12B C ．1D 7．考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：根据以上数据 则（ ）A ．种子是否经过处理决定是否生病 B ．种子是否经过处理跟是否生病无关 C ．种子是否经过处理跟是否生病有关 D ．以上都是错误的8．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 则实数ω的取值范围为（ ）A ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦9．执行如图所示的程序框图 输出的结果为（ ）A ．1958B ．1960C ．1988D ．199010．已知变量x y 满足约束条件6321x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩ 若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最小值为2 则14a b+的最小值为（ ） A ．9 B ．112C ．5D ．9211．在ABC 中 A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ABC 的面积为S )2224S a c b +- 2AB BC ⋅=-且满足sin sin 2sin A C B += 则该三角形的外接圆的半径R 为（ ）AB C D ．212．函数1()ln f x x x=+的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题13．请根据矩形图表信息 ______.14．如图是中国古代的太极图 图中的黑色区域和白色区域关于圆心成中心对称 在图中随机取一点 则此点取自黑色区域的概率是____________．15．按如图连接圆上的五等分点 得到优美的“五角星” 图形中含有很多美妙的数学关系式 例如图中点H 即弦BE 的黄金分割点 其黄金分割比为0.618BH HE HE BE ==≈ 且五角星的每个顶角都为36︒等.由此信息可以求出sin18︒的值为___________.16．椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左 右焦点分别为1F 2F 上顶点为()0,1A 直线()0y kx m k =+>将12AF F △分成面积相等的两部分 则m 的取值范围是_________. 三、解答题17．给定三个条件：①248,,a a a 成等比数列 ②425S a = ③1(1)n n n a na ++= 从上述三个条件中 任选一个补充在下面的问题中 并加以解答.问题：设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且36S = ___________. (1)求数列{}n a 的通项；(2)若12n n b -= 求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分.(1)求证：//AN 平面PBC ； (2)求二面角B PC D --的正弦值．19．某花圃为提高某品种花苗质量 开展技术创新活动 ,A B 在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况 分别在实验地随机抽取各50株 对每株进行综合评分 将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80 及以上的花苗为优质花苗．(1)求图中a 的值 并求综合评分的中位数．(2)填写下面的列联表 并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关．附：下面的临界值表仅供参考．（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c a =+++）20．已知函数()e ln 1xf x a x =--.(1)设2x =是()f x 的极值点 求()f x 的单调区间； (2)证明：当1ea ≥时()0f x ≥.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F 过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A B 两点 AOB（点O 为坐标原点）的面积为2. （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点(0,)(0)>E a a 的两直线12,l l 的倾斜角互补 直线1l 与抛物线C 交于M N 两点 直线2l 与抛物线C 交于P Q 两点 FMN 与FPQ △的面积相等 求实数a 的取值范围.23．（1）求函数()2123f x x x =--+的最大值m ; （2）若a >1 b >1 c >1 a +b +c =m 求111111a b c ++---的最小值. 参考答案与解析1．A【分析】依次判断出各数所属于的数域范围 进而判断出正误.【详解】π是实数②错误；3-是整数 ③错误；|3|3-=是自然数 ④错误；0是有理数 ⑤错误 所以正确的个数为1． 故选：A ． 2．A【分析】先由(1i)2i z -=+求出复数z 则可求得其共轭复数 从而可求出其模 【详解】由(1i)2i z -=+ 得2i (2i)(1i)13i1i (1i)(1i)2z ++++===--+ 所以13i 13i 222z -==-所以z 故选：A ． 3．B【分析】偶函数不一定有最值；由小范围可推大范围成立可判断②正确；一星期有7天 21天后是周五 则20天后是周四；可判断正确；将3x =代入求值可判断④错误 【详解】因为存在没有最大值的偶函数 所以①错误； 因为23log 3log 2> 所以②正确；如果今天是星期五 那么二十一天后是星期五 所以二十天后是星期四 所以③正确； 若函数()22321x x f x x -+=+ 则()2233323031f -⨯+=≠+ 所以④错误.故选：B 4．D【分析】根据OA OB ⊥及OA 、OB 的坐标 应用坐标表示向量垂直即可求参数m 【详解】由OA OB ⊥ ()1,2OA =- ()3,OB m = 有320OA OB m ⋅=-+= 解得32m =故选：D【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示 利用已知向量坐标及垂直关系有12120x x y y +=求参数值 5．D【分析】根据(1)(1)f x f x -=-得()f x 为偶函数 再根据单调性判断即可. 【详解】由定义域为R 的函数()f x 满足()()11f x f x -=-得： 函数()f x 是偶函数所以()14ln ln 4f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为23320e e 1ln 4--<<<< 又函数()f x 在(0,+)∞单调递减 所以2332(e )(e )(ln 4)-->>f f f 即：c b a >> 故选：D. 6．A【分析】根据圆的方程得出圆心坐标（1 0） 直接依据点到直线的距离公式可以得出答案. 【详解】圆()2211x y -+=的圆心坐标为（1 0）∴圆心到直线y x =的距离为12d ==.故选：A.【点睛】本题考查点到直线的距离公式 属于基础题型. 7．C【分析】根据表格提供的数据作出判断. 【详解】由列联表中的数据可知 种子经过处理 得病的比例明显降低 种子未经过处理 得病的比例要高些所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关. 故选：C 8．A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍 求得ω的初步范围 然后结合余弦函数的单调性进一步确定ω的范围 得到答案. 【详解】由题意有2ππT ω=≥ 可得02ω<≤ 又由πππ5π3436ω<+≤ 必有3πππ43ω+≤ 可得809ω<≤. 故选：A 9．A故选A ． 10．D【分析】根据约束条件作出可行域 再根据几何意义可得2a b += 再根据()141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭结合基本不等式即可得解.【详解】解：作出约束条件6321x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩的可行域 如图所示则目标函数()0,0z ax by a b =+>>过点()1,1C 时 取得最小值 所以2a b +=所以()141141419552222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当4b aa b = 即24,33a b ==时取等号 所以14a b +的最小值为92.故选：D.11．B【解析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角3B π=结合平面向量的数量积可求得4ac = 利用正弦定理可得出2a c b += 再利用余弦定理可求得2b = 进而利用正弦定理可求得R 的值. 【详解】由题意)2224S a c b +- 即14sin 2cos 2ac B ac B ⨯= 得tan B =又()0,B π∈ 所以3B π=.又因为()1cos cos 22AB BC ac B ac B ac π⋅=-=-=-=- 所以4ac =.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+- 又因为sin sin 2sin A C B += 所以2a c b +=所以()2223412a c ac b b +-=-= 所以2b =由正弦定理可得22sin sin 3b R B π===所以R =故选：B.【点睛】在处理三角形中的边角关系时 一般全部化为角的关系 或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理 出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时 注意公式变式的应用．解决三角形问题时 注意角的限制范围． 12．A【分析】利用导数求得函数的单调性与最小值 结合单调性与最小值 即可求解. 【详解】由题意 函数1()ln f x x x=+的定义域为(0,)+∞ 且22111()x f x x x x -'=-=当1x >时()0f x '> 函数()f x 单调递增； 当01x <<时()0f x '< 函数()f x 单调递减所以当1x =时 函数()f x 取得最小值 最小值为(1)10f => 所以函数1()ln f x x x=+在定义域内没有零点. 故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题 其中解答中利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键 着重考查推理与运算能力. 13【分析】在直角三角形中利用勾股定理和三角形三边关系即得. 【详解】解：由勾股定理知AB =AC=BC =如图中的ABC 根据三角形的两边之和大于第三边 知AB AC BC ≤+ 当且仅当A B C 三点共线时 等号成立≥14．12【分析】由面积比可求得所求概率.【详解】黑色区域和白色区域关于圆心成中心对称 ∴黑色区域的面积是总面积的12 ∴在图中随机取一点 则此点取自黑色区域的概率是12.故答案为：12.15【分析】在CHE 中 利用正弦定理 结合诱导公式、二倍角公式计算作答. 【详解】在CHE 中 36,108C CHE ∠=∠= 由正弦定理得：sin sin CE HECHE C=∠∠ 而CE BE =于是得sin108sin 36BE HE = 即sin 722sin18cos18BE HE = 因此 sin 725sin182cos184HE BE ==【点睛】关键点睛：条件较隐含的解三角形问题 根据题意设出变量 再选择恰当的三角形 借助正余弦定理列出方程、方程组是解题的关键.16．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】根据已知条件求得,a b 根据直线()0y kx m k =+>与x 轴的交点的位置进行分类讨论 由此列不等式来求得m 的取值范围.【详解】依题意2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a c ==所以椭圆C 的方程为2212x y +=由于121OA OF OF ===12122AF AF F F == 所以12AF F △是等腰直角三角形所以12112AF F S ==△直线2AF 的方程为1x y += 直线1AF 的方程为1y x =+ 设直线()0y kx m k =+>与2AF 的交点为D 与x 轴的交点为E ①当E 与1F 重合时 11121,222D D y y ⨯⨯=⨯= 则12D x =所以01122k mk m =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得13k m ==.②当E 在1O F ，之间时 113m <<所以22111,122D D EF y EF y ⨯⨯=⨯⨯=由1x y y kx m +=⎧⎨=+⎩解得1D k m y k +=+ 1111D k m mx k k +-=-=++由y kx m =+令0y = 得E mx k=- 所以21m EF k =+所以111m k mk k +⎛⎫+⨯= ⎪+⎝⎭ 整理得212m k m =- 由2012m k m=>-解得1132m <<.③当E 在1F 左侧 则10,013m k <<<< 2011k <-<设直线()0y kx m k =+>与1AF 的交点为P由1y kx m y x =+⎧⎨=+⎩解得1,11P P m k mx y k k --==--因为11122PAD S =⨯=△所以()()11111,112211D P m mm x x m k k --⨯-⨯-=-⨯-=+-()22211m k -=- )11m -=所以11m m -<>所以113m <<.综上所述 m 的取值范围是112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】求解椭圆的方程 关键点是根据已知条件求得,,a b c ,,a b c 是3个未知数 需要3个条件 其中一个条件是222a b c =+ 另外的两个条件由题目给出 如本题中的A 点坐标以及离心率 通过解方程组可求得,,a b c 进而求得椭圆的方程. 17．(1)n a n =(2)1(1)2nn T n =+-⨯【分析】（1）若选条件① 根据248,,a a a 成等比数列 得2428a a a = 然后利用基本量思想求出1a 和d最后利用等差数列通项公式进行求解；若选条件②或③ 直接利用基本量思想求出1a 和d 然后利用等差数列通项公式进行求解；（2）根据（1）n a 的通项公式 代入n n a b 中 得12n n n a b n -⨯= 然后利用错位相减法求解前n 项和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0. 选条件①：32486,,,S a a a =成等比数列 ()()()31211133637S a d a d a d a d =+=⎧⎪∴⎨+=++⎪⎩ 解得111a d =⎧⎨=⎩故数列{}n a 的通项n a n =.选条件②：()31342113366,5,465S a d S S a a d a d =+=⎧==∴⎨+=+⎩解得111a d =⎧⎨=⎩ 故数列{}n a 的通项n a n =.选条件③：316,(1)n n S n a na +=+= ()()()311133611S a d n a n d n a nd =+=⎧⎪∴⎨⎡⎤++-=+⎪⎣⎦⎩解得111a d =⎧⎨=⎩故数列{}n a 的通项n a n =.（2）由（1）得12n n n a b n -⋅=⨯所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯可得12121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯两式相减得012122222n n n T n --=++++-⨯()11221(1)212n n n n n ⨯-=-⨯=-+-⨯-所以1(1)2nn T n =+-⨯.18．(1)证明见解析【分析】（1）取PC 中点为M 连接NM MB 进而证明四边形NMBA 为平行四边形即可证明结论； （2）取DC 中点为E 以A 为空间直角坐标系原点 AE 为x 轴 AB 为y 轴 AP 为z 轴 建立空间直角坐标系 利用坐标法求解即可；【详解】（1）证明：取PC 中点为M 连接NM MB 如图所示因为M N 分别是PC PD 的中点 所以NM DC ∥且12NM DC = 又因为ABDC 且12AB DC =所以NM AB ∥ NM AB = 所以四边形NMBA 为平行四边形 所以AN BM ∥又因为AN ⊄平面PBC BM ⊂平面PBC 所以//AN 平面PBC ．（2）解：取DC 中点为E 以A 为空间直角坐标系原点 AE 为x 轴 AB 为y 轴 AP 为z 轴 建立空间直角坐标系 如图所示因为()0,1,1BP =- ()2BC =所以0220BP m y z BC m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令1y = 解得01x z =⎧⎨=⎩ 即()0,1,1m =设平面PDC 的法向量为(),,n a b c =因为()21,1PD =-- ()0,2,0DC =所以22020PD n a b c DC n b ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩令a =解得04b c =⎧⎨=⎩ 即()2,0,4n =记平面PDC 与平面PBC 夹角为θ π02θ≤≤则42cos cos ,32m nm n m n θ⋅====⨯⋅ sin θ=所以二面角B PC D -- 19．(1)0.040a =；综合评分的中位数为82.5(2)填表见解析；有99%得到把握任务优质花苗与培育方法有关【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程 即可求出a 再根据中位数计算方法求出中位数；（2）完善列联表 计算出卡方 即可判断； （1）解：由直方图的性质可知：0.005100.010100.02510100.020101a ⨯+⨯+⨯++⨯= 解得0.040a =因为()0.020.04100.60.5+⨯=> 所以中位数位于[)80,90之间 设中位数为x 则有()0.020100.040900.5x ⨯+⨯-= 解得82.5x = 故综合评分的中位数为82.5； （2）解：根据第一问 优质花苗的频率为0.6 样本中优质花苗的数量为60 得如下列联表：所以()221002010304016.667 6.63560405050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%得到把握任务优质花苗与培育方法有关；20．(1)减区间为0,2（） 增区间为∞（2，+）； (2)证明见解析﹒【分析】(1)根据()20f '=求出a 的值 根据导数()f x '的正负判断f (x )单调区间即可；(2)1e a ≥时 ()0f x ≥⇔e ln 10e x x --≥ 令()e ln 1e xg x x =-- 判断g (x )单调性 证明其最小值min ()0g x ≥即可．(1)函数()e ln 1x f x a x =--.()10,e xx f x a x'∴>=-2x =是()f x 的极值点 ()212e 02f a '∴=-= 解得212ea = ()21e ln 12e x f x x ∴=--()211e 2e xf x x '∴=- 显然()f x '在()0,∞+上单调递增 而()2211e 02e 22f '=-= ∴当02x <<时()0f x '< 当2x >时 0fxf x 的减区间为0,2（） 增区间为∞（2，+）； (2)当1e a ≥时 ()e ln 1e x f x x ≥-- 设()e ln 1ex g x x =-- 则()e 1e x g x x '=-由()e 10e x g x x'=-= 得1x = 且()g x '在()0,∞+上单调递增∴当01x <<时()0g x '< g (x )单调递减 当1x >时 ()0g x '> g (x )单调递增1x ∴=是()g x 的极小值点 也是最小值点 故当0x >时 ()()10g x g ≥=∴当()1,0ea f x ≥≥．21．（1）24y x =；（2）(0,1)(1,2).【分析】（1）根据题意可得,A B 的坐标分别为(,),(,)22p p p p - 则2AOB S =△ 解得p 的值 即可求得抛物线的方程；（2）设直线1:()=-l x t y a 点1122(,),(,)M x y N x y 联立椭圆的方程 可得10∆> 结合韦达定理可得1212,y y y y + 由弦长公式可得MN 由点到直线的距离公式可得焦点F 到直线1l 的距离d 得FMNS同理可得1FPQ S =-△| 由FMN FPQ S S =△△ 得到22102t a=>- 解出a 的取值范围. 【详解】（1）由题意 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2pF所以A B 的坐标分别为(,),(,)22p pp p -所以12222AOBpSp =⨯⨯= 解得2p = 所以抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）由题意可知直线12,l l 的斜率存在 且不为0 设直线1:()=-l x t y a 设点1122(,),(,)M x y N x y联立方程组24()y xx t y a ⎧=⎨=-⎩ 整理得2440y ty a -+=所以2116160t at ∆=-> 且12124,4y y t y y at +==所以12y MN -==焦点F 到直线1l 的距离d ta =+＝所以21FMNta S==⨯+ 设直线2l 的方程为()x t y a =--联立方程组24()y x x t y a ⎧=⎨=--⎩ 整理得2440y ty a ++= 可得2216+160t at ∆=>将t 用t -代换 可得1FPQ S =-△由FMN FPQ S S =△△ 可得1a t a =+-11ta ta +- 两边平方得2212t a =-所以220a ->解得0a <<又由10∆>且20∆> 可得t a <-或t a > 可知22t a > 所以2212a a>- 即22(1)0a -> 所以1a ≠ 所以实数a 的取值范围是(0,1)(1,2).【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题 通常联立直线方程与圆锥曲线方程 应用一元二次方程根与系数的关系 以及弦长公式等进行求解 此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足 导致错解 能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．(1)cos ACD ∠=(2)BD =【分析】（1）记ACD α∠= 根据题意用α表示相关未知量 在BCD △中 利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；（2）法一：利用两角和公式求sin BCD ∠=在BCD △中利用正弦定理运算求解；法二：先求CD =在BCD △中 利用余弦定理运算求解. 【详解】（1）∵AB AC ⊥ 30ABC ∠=︒ 2AC =∴4sin ACBC ABC==∠记()0,90ACD α∠=∈︒ 则60,60,60BCD CBD BDC αα∠=+∠=-∠=︒︒︒ ∵AD CD ⊥ 2AC = ∴cos 2cos CD AC ACD α=∠= 在BCD △中 由正弦定理得：sin sin CD BCCBD BDC=∠∠ 则sin sin CD BDC BC CBD ⋅∠=⋅∠可得()12cos 4sin 604sin 2αααα⎫=︒-=-⎪⎪⎝⎭2sin αα=联立方程222sin sin cos 1αααα=+=⎪⎩解得sin cos αα⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵()0,90α∈︒ 则sin αα==故cos ACD ∠=（2）解法一：由（1）知：()1sin sin 60sin 2BCD ααα∠=+==︒由正弦定理得：sin sin BD BC BCD BDC =∠∠∴sin sin BC BCD BD BDC ∠==∠解法二：在Rt ACD △中 2cos CD α==在BCD △中 由余弦定理得：2222BC BD CD BD D BDC C =+-∠⋅⋅即212161672BD BD =+-⨯ 则27960BD --= 解得BD =BD =故BD =23．（1）4；（2）9.【分析】（1）根据绝对值不等式即可求出最大值； （2）利用柯西不等式可以求出.【详解】（1）由绝对值不等式()|21||23||2123|4f x x x x x =--+---=≤ 所以4m =．（2）由（1）知：4m = 即4a b c ++= 所以1111a b c -+-+-= 由柯西不等式：2111111(111)(111)9111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++-+-+-++= ⎪------⎝⎭≥ 当且仅当43a b c ===等号成立 111111a b c ++---的最小值为9． 【点睛】本题考查绝对值不等式和柯西不等式的应用 属于基础题.。