常微分方程习题 《李立康》习题1.用Euler 方法求初值问题⎩⎨⎧=-='0)0(21u tuu 在1=t 时的近似解（取41=h ）。

2.初值问题1300u u u()⎧⎪'=⎨⎪=⎩ 有解3223/u(t )t ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和HTh =,都只能得到N t u t , (2)1,0==，试解释此现象产生的原因。

3.用Euler 方法计算⎩⎨⎧=='1)0(u uu 在1=t 处的值，取161和41=h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。

4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(1243h O t u h -'''-；（2）当1<hL 时，其整体截断误差满足：)1(22--≤Lt n lT m e hLRe εε （3）方法具有二阶收敛速度且稳定。

5.导出用改进Euler 法求解⎩⎨⎧=='1)0(u uu 计算公式mmh h u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22 取41=h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。

6.就初值问题⎩⎨⎧=+='0)0(u bat u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解bt t au +=22相比较。

7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re(<h 。

8.对初值问题⎩⎨⎧=-='1)0(2u u u 用41=h 的Euler 方法求解，求出实际计算值t u 与真解tu +=11在)1(u 处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。

9.证明：Runge-Kutta 方法中);,(h u t ϕ关于u 或t 满足Lipschitz 条件的充分条件是),(u t f 关于t 或u 满足Lipschitz 条件。

10.证明定理2.6.11.证明定理2.7的推论（推论2.1）：“N 级Runge-Kutta 方法相容的充分必要条件是∑==Ni i c 11”。

12.Runge-Kutta 方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径，如令u t ff f u t f u t g +='=),(),(，则可将);,(h u t ϕ取为)),(3,3(2),();,(u t f hu ht g hu t f h u t +++=ϕ，证明这是一个二阶的单步方法。

[提示：利用Taylor 展开后比较相当项的系数的方法。

] 13.证明三阶Runge-Kutta 方法⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==+-+=+23121321143,432,2),()432(9k hu h t f k k h u h t f k u t f k k k k h u u m m 对于求解微分方程t u u -='与三阶Taylor 级数法的计算格式的形式完全相同。

14.对Heun 二阶方法（2.10）式作出如图2.3那样的几何解释。

15.用Taylor 级数法求方程⎩⎨⎧=='1)0(u uu 的)2,0(),1,0(u u 的近似值（取4=q ），并说明近似值精度情况。

16.求线性三步四阶显示方法的计算格式。

（取0α为参数） 17.求具有最高阶的三步方法的计算格式。

18.设)(),(λσλρ无公因子，证明线性多步方法至少二阶相容的充分必要条件是)1(2)1(),1()1(,0)1(σρρσρρ'='+''='=19.证明：与算子]);([h t u L 相应的线性多步方法q 阶相容的充分必要条件是,,...,1,0,0];[q n h t L n ==而.0];[1≠+h t L q 此时误差常数为.)!1(];[111+--++q h h t cL c q q q 20.讨论最高阶的两步方法（Milne 方法（2.69）式）和最高阶的三步方法（习题17）的稳定性。

21.检验四步方法44218483m m m m m hu u (f f f )++++=+-+是否收敛。

22.证明：方法m m m m m f h f f hu u 6)42(6211+++=++的阶为二23.推到计算格式⎩⎨⎧+'''+'''+∂+∂='+'+∂+∂=+++++++221121122112112~,~m m m m m m m mm m m uh u h u h u u u u h u h u u u γββββ 的系数,,,,,2121γββαα使方法有尽可能高的阶数，并讨论它的稳定性。

24.讨论最高阶三步方法（习题17）的绝对稳定性。

25.讨论多步方法))(3(2)(12121-+-++-+=--+m m m m m m f f a hu u u a u当a 取那些值时是稳定的；当a 取那些值时有绝对稳定区域非空。

26.在两步三阶方法yuf f f hu u u m m m m m m ]5)12(4)2[(5)112(51)13(54010200102βββββ+++-=+--+++++中，讨论当0β在什么范围种变化才能使算法绝对稳定。

设此时的绝对稳定区域在实轴上的范围是],[b a ，求b a ,的值。

27.用公式（2.101）推到3=k 和4时的Gear 方法。

28.用公式（2.101）求下列计算公式的截断误差阶和各项系数： （1）11+++=m m m hf u u （向后Euler 公式）； （2）m m m m hf u u u 23412--=++；（3）2=k 和3时的Adams 外插公式和内插公式。

29.证明：一步Gear 方法（习题28之（1））和两步Gear 方法（2.102）式都是A-稳定的。

30.求一级、二级隐式Runge-Kutta 方法（2.116）式、（2.117）式局部的截断误差项。

31.证明：（2.116）式（2.117）均为A-稳定的方法。

计算实习1.编一个用Euler 方法解⎩⎨⎧=='at u u t f u )(),(0 T t t ≤<0 的程序，使之适用于任意右端函数f ，任意步长h 和任意区间],[0T t 。

用161,81,41=h 分别计算初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∈+='...06666666.0151)0(]4,0(,u t u u u t 在结点)16,...,1,0(1=i i上打印出问题的精确解（真解为tte e t u -=16)(）。

计算近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界，分析输出结果（这与获得输出结果同样重要）。

2.编一个与上题同样要求的改进Euler 法的计算程序，1+m u 的初值用Euler 方法提供，迭代步数s 为输入参数。

用它求解上题的问题，并将两个结果加以比较。

3.编一个程序用Taylor 级数法求解问题⎩⎨⎧=≤<='.1)0(10,u t tu u 取Taylor 级数法的截断误差为)(21h O ，即要用)(),...,(),()20(t u t u t u '的值。

[提示：可用一个简单的地推公式来获得,...3,1,)(=n u n 。

] 4.用四阶古典Runge-Kutta 方法（或其他精度不低于四阶的方法），对0≥x 时的标准正态分布函数：⎰∞<≤+=Φrt x dt e x 020,2121)(2π产生一张在[0,5]之间的80个等距结点（即161=h ）处的函数值表。

[提示：寻找一个以)(x Φ为解的初值问题。

]5.（一个“刚性”的微分方程）用四阶古典Runge-Kutta 方法阶初值问题：⎩⎨⎧=≤<--+=',0)0(,30,1511102u t t t u u 取.81=h 每隔8步打印出数值解与真解的值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t u 2)(2，画出它们的大致图像，并对产生的结果做出解释。

[提示：当初值ε=)0(u 时，方程的真解变为t t t t u -+=2)(2ε。

]6.分别用Adams 三步和四步外插公式，用161=h 求解 ⎩⎨⎧=≤<--+-='1)0(30,17482u t t t u u 将计算结果与真解2)(0t e t u += t 进行比较，并对所产生的现象进行理论分析。

7.用Adams 三步内插公式预测、Adams 四步外插公式校正 次的预-校算法重新求解上题的方程，将结果与上题作比较，并解释产生差异的原因。

8.对（1.3）式所示的Lotka-Volterra “弱肉强食”模型，令,5,3],5,0[,3,1,2,400==∈=+===-y x t k d l e k r 即⎪⎩⎪⎨⎧==-='-='.5)0(,3)0(,3)(,24)(y x y xy t y xy x t x 50≤<x （1）取41=h ，用任意一种精度不低于三阶的方法求解，要求结果至少有三位有效数字。

作出)(),(t y t x 的图像及y 关于x 的图像。

（2）对5.2,2,5.1,1)0(=y 解这同一个模型，分别画出y 关于x 的函数图像。

（3）讨论所获得的结果并分析原因。

[提示：注意xy 平面上的点（3,2），它被称为平衡点。

]习题 抛物方程习题1.推导扩散方程的三层差分格式：τθuu -+)1( 的截断误差，并证明当r12121+=θ时，截断误差的阶达到最高，为)(42h O -τ。

2.求Richardson 格式的改进形式Dufort Frankel 格式：huu u u a u u -----τ2 的截断误差。

3.讨论双向加权对称格式：]22[21216512122huu u h u u u a u u u u u u --+--=-+-+-τττ 的截断误差。

4.用分离变量法求古典隐格式（5.36）的差分真解。

5.用分离变量法对六点对称格式（3.38）推导其差分方程的真解。

6.利用题4和题5的结果，用分离变量法证明古典隐格式和六点对称格式是绝对稳定的。

7.列出求解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∈∈≤≤<∂∂=∂∂.0),1(),(),()0,(],0(),1,0(),))(0(,)(1022t u t o u x x u T t x a x a a x ux a t u ϕ 的古典显格式，并证明当2121≤ha τ时格式是稳定的。

8.用直接法证明求解扩散方程的两层加权平均格式（5.25）： （1）当121≤≤θ时，是绝对稳定的。