如图， 过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，则∠ QEB＝90°． ∵ ∠ ABC＝30°， ∴ 2QE＝QB．
∴ S△ PQB＝ 1 •PB•QE． 2
设经过 t 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2， 则 PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意， 1 •（6﹣t）•t＝4． 2
t2﹣6t+8＝0． t2＝2，t2＝4． 当 t＝4 时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取 t＝2． 答：经过 2 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．
（1）计算：（1﹣ ﹣
）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
）×
（+
）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）
【解析】 【分析】
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
（1）仿照材料内容，令 +
经检验，x=2000 是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成 2000 平方米；
（2）设人行道的宽度）（8﹣2x）=56
解得：x=2 或 x= 26 （不合题意，舍去）． 3
答：人行道的宽为 2 米．
8．工人师傅用一块长为 10dm，宽为 6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将 四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为 12dm2 时，裁掉的正方形边长 多大？
＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+﹣t2﹣ ﹣t+t2+ ＝
（2）令 a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令 x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴ t1＝0，t2＝﹣4 当 x2+4x＝0 时， x（x+4）＝0
（1）设平均每次降价率为 x，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元， 根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价率为 30%，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元． （2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000， 整理得：a2+75a﹣2500＝0， 解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去）， ∴ 80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100． 答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为 100 元． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
1 若 x2 kx 56 0 也是“连根一元二次方程”，写出 k 的值，并解这个一元二次方程； 2 请写出第 n 个方程和它的根．
【答案】（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n. 【解析】 【分析】 （1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到 56 是 7 与 8 的乘积,确定 k 值 即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】 解：(1)由题意可得 k＝－15，则原方程为 x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得 x1＝ 7，x2＝8. (2)第 n 个方程为 x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得 x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】 本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊 的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
7．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 46000 米 2，施工队在绿化了 22000 米 2 后， 将每天的工作量增加为原来的 1.5 倍，结果提前 4 天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少米 2？ （2）该项绿化工程中有一块长为 20 米，宽为 8 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同 的矩形绿地，它们的面积之和为 56 米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 （如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
6．已知关于 x 的方程 mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m 为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根． (2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数 m 的值.
【答案】(1) b2 4ac m 32 ≥0；(2)m=-1,-3.
【解析】 分析: （1）先计算判别式得到△ =（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到 △ ≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
9．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲 网店销售的 A 商品的成本为 30 元/件，网上标价为 80 元/件． （1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售 A 商品吸引顾客，问该店平均每次 降价率为多少时，才能使 A 商品的售价为 39.2 元/件？ （2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推 出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售 A 商品的成本、网上标价与 甲网店一致，一周可售出 1000 件 A 商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将 A 商品 的网上标价提高 a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动 当天卖出的 A 商品数量相比原来一周增加了 2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了 3 万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价． 【答案】（1）平均每次降价率为 30%，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元；（2）乙网店 在“双十一”购物活动这天的网上标价为 100 元． 【解析】 【分析】 （1）设平均每次降价率为 x，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元，根据原标价及经过两 次降价后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于 a 的一元二次方程，解之取其正 值即可得出 a 的值，再将其代入 80（1+a%）中即可求出结论． 【详解】
解得：x1＝0，x2＝﹣4 当 x2+4x＝﹣4 时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到 降次效果，从而简便运算．
2．解下列方程： （1）x2﹣3x=1．
（2） 1 （y+2）2﹣6=0． 2
4．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为 30 元/只，每天销售量 y （只）与销售单价 x（元）之间的关系式为 y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多 少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】当销售单价为 50 元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为 4000 元 【解析】 【分析】 表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题. 【详解】 设每天获得的利润为 w 元， 根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000． ∵ a＝﹣10＜0， ∴ 当 x＝50 时，w 取最大值，最大值为 4000． 答：当销售单价为 50 元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为 4000 元．
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．阅读下列材料
计算：（1﹣ ﹣ ）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
）（ + ），令 + ＝t，
则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+ ﹣t2﹣
+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想 方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
10．解方程：x2－2x＝2x＋1.
【答案】x1＝2－ 5 ，x2＝2＋ 5 .
【解析】 试题分析：根据方程，求出系数 a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据
求根公式 x b b2 4ac 求解即可. 2a
试题解析：方程化为 x2－4x－1＝0. ∵ b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，
＝t 代入原式计算．
（2）观察式子找相同部分进行换元，令 a2﹣5a＝t 代入原式进行因式分解，最后要记得把 t 换为 a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令 x2+4x＝t 代入原方程，即得到关于 t 的一元二次方 程，得到 t 的两个解后要代回去求出 4 个 x 的解． 【详解】
（1）令 +
【答案】(1)2000；(2)2 米
【解析】
【分析】
（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；
（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程
【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成 x 米 2，
根据题意得： 46000 22000 ﹣ 46000 22000 = 4
x
1.5x
解得：x=2000，
∴
或
∴ y1 2 2 3, y2 2 2 3
． ，
3．如图，在△ ABC 中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ ABC＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的 速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动．如果 P、Q 两点同时出 发，经过几秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2？