高三培优专题 圆锥曲线
一.离心率与焦点三角形
1. 已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且，则此椭圆的离心率的取值范围为________
2. 已知是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D,且2BF FD ,
则椭圆C 的离心率为 3.直线l 经过.双曲线22
221x y a b
-=的右焦点F ，与一条渐近线垂直且垂足为A ，与另一条渐近线交于B ，且12AF FB ，则双曲线的离心率为 4 .若椭圆2
21x y m （1)m 与 双曲线2
21(0)x y n n
有公共焦点12,F F ，P 是椭圆与双曲线的一个公共交点，则12PF F 的面积为
5（2016年浙江高考） 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：2
2x n –y 2=1(n >0)的焦点重
合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）
A ．m >n 且e 1e 2>1
B ．m >n 且e 1e 2<1
C ．m <n 且e 1e 2>1
D ．m <n 且e 1e 2<1
6.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(5,0)A -和(5,0)C 。
顶点B 在双曲线221169x y -=上，则sinB sinA sin C
-为 ( ) A. 32 B. 23 C. 54 D . 45
7.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )
（A ）（
-3
，3）（B ）（
-6
，6
）（C ）
（
） （D ）
（
） 8.（2010全国卷1）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上， 1F 2F 1:22
22=+b
y a x C a b P C 21PF PF ⊥1F 2F 221x y -=
∠P =，则P 到x 轴的距离为(A) (B) (C) (D) 9（2013浙江卷）如图,21,F F 是椭圆14
:22
1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是
A ．2
B ．3
C ．23
D ．2
6 10[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233
C ．3
D ．2 11.【2016高考浙江理数】如图，设椭圆（a ＞1）. （I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；
（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围
1F 2F 0603262
362
221x y a
+=O
x y
A
B
F 1 F 2
二．圆锥曲线的切线问题
12．[2014·辽宁卷] 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )
A.12
B.23
C.34
D.43
13【2013年大纲全国理】已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A B 、两点，若0MA MB •=，则k =（ ）
A ．12 B
．2 C
．2
14..已知抛物线px y 22=（0P ），过其焦点F 的直线与抛物线交与,A B 两点，该抛物线在,A B 两点处的切线交于C ，设AF a ，BF b ，则CF （ ）
A
B
C 2a b
D
15．（2013新课标2卷）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为
（ ）
A ．或
B ．或
C ．或
D ．或
16.过点M ()p 22-，作抛物线py x 22=()0>p 的两条切线，切点为A B 、.若线段AB 的中点纵坐标为6.则实数=p
17.在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的
椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与轴的交点分别为A 、B ，且向量。
求：
（Ⅰ）点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）
的最小值。
xOy (10,F (2F 2x y 、OM OA OB =+OM
18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0,-1），B 点在直线y = -3上，M 点满足， ，M 点的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
三．圆锥曲线的中点弦及对称问题
19（2013新课标卷1）已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于
A 、
B 两点。
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )
A 、x 245＋y 236＝1
B 、x 236＋y 227＝1
C 、x 227＋y 218＝1
D 、x 218＋y 29＝1
20（2011新课标卷1）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程为 (A) 22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22
154
x y -= 21（2014郑州一测）已知抛物线px y 22=（0P ）
，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则该抛物线准线方程是（ ）
A 1x
B 2x
C 1x
D 2x
22.已知椭圆22
143
x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同的两点关于直线4y x m =+对称。
23. 已知双曲线C: x 2－2
2
y =1,过点A(2,1)的直线L 与C 交于P 1、P 2两点 (1)求线段P 1P 2中点P 的轨迹方程
（2）过点B(1,1)能否作直线m 交双曲线C 于M ，N 两点，且B 是线段MN 的中点。
//MB OA MA AB MB BA ⋅=⋅
四．圆锥曲线的弦长及面积问题
24.【2017课标1】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
25.设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．求四边形面积的最大值．
26.已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为． （Ⅰ）设点的坐标为，证明：； （Ⅱ）求四边形的面积的最小值．
五．圆锥曲线的定值定点问题
27．已知抛物线px y 22
=（p ＞0） 与直线l 交于A,B 两点(异于原点O),且以AB 为直径的圆恰好过原点.
(1)求证:直线l 过定点.
(2)求:OAB ∆面积的最小值.
(20)(01)A B ，，
，)0(>=k kx y AEBF 22
132
x y +=1F 2F 1F B D ，2F A
C ，AC B
D ⊥P P 00()x y ，2200132
x y +<ABCD
28.已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1
2 ），P 4（1
，2
）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程； （2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
29.已知点M 是椭圆C ：2222=1x y a b
+（a>b>0）上一点，，分别为左、右焦点，且4||21=F F ，，02160F =∠MF 21MF F ∆的面积为3
34 （1）求椭圆C 的方程 （2）设）
，（20N ，过点)2,1P --（作直线l 交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率为21,k k . 证明：21k k +是定值.
30.已知椭圆（＞＞0）的左焦点)0,F c -（是长轴的四等分点，A ，B 是长轴的左右顶点，过F 且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆于C ，D.记直线AD ，BC 的斜率为21,k k . 求证 21:k k 为定值.
1F 2F 1:22
22=+b
y a x C a b。