a
0
因为a 0 则：
FPcr
2 EI
4l 2
返
回
以图示柱为例，取隔离体
列弯矩方程得
M FP y FR (l x) M EIy
EIy FP y FR (l x)
记 n2 FP
则
EI
y n2 y
FR
(l
x)
EI
或 y n2 y n2 FR (l x) FP
解方程可得 通解
• 经简化抽象，可能出现受干扰后可在任何位置 保持平衡的现象，称此现象为随遇平衡状态。
稳定问题分类： 完善体
系从稳定
根据受力状态 到不稳定，
其受力、
1.
完善体系：
变形状态 将变化，
也即随荷
载变大有
分叉点，
称分支点
稳定。
理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形
分 支 点 失 稳
失稳前后平衡状态的变形性质发生变化
稳定平衡状态
能量取 极小值
能量取 驻值
能量取
极大值 不稳定平衡状态
随遇平衡状态
2-2-2) 弹性结构的稳定能量准则
首先引入两个定义。
定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外 荷载所做的功，称为外力势能，记作VP。 定义：应变能Vε加外力（外荷载）势能VP为体 系的总势能，记作V。
与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支 点失稳问题中，临界状态的能量特征为：
l2
sin(
) sin cos(
)
FPl sin( )
0
则如：果FVP =323Ehh0EF3I3：IPllhcFsoPisnl((co3shE(3I)l)c1oss)insins(i2n )
令：
F( )
FP h3 3EIl
cos(
)
1
sin sin(
)
FP
3EI h3
l
cos(
又如下图所示园拱和窄条梁也存在失稳问题
刚性小球平衡状态 稳定平衡状态
不稳定平衡状态
随遇平衡状态
结构平衡状态的分类
根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢 复初始平衡状态，可对平衡状态作如下分类： • 稳定的平衡状态——外界干扰消除后结构能完 全恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是稳定的。
• 不稳定平衡状态——外界干扰消除后结构不能 恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是不稳定的。
FP ( y2 y1 ) k1 y1l 0 或 (k1l FP ) y1 FP y2 0 (1)
再由整体平衡MA=0, 得
(2k1l FP ) y1 k2ly2 0 (2)
因为y1、y2不能全部为零，因此
2kk稳11ll定FFP方P 程kF2Pl 0 (3)
将k1 、k2 代入（3）式，展开后得
2.简单结构稳定分析
由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸 相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时 都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正 比，叠加原理适用。
在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时 叠加原理不再适用。
1) 稳定问题分析基本方法一：静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类 稳定问题的特征，确定临界荷载的方法——静 力法。
2-1) 分支点稳定静力法
2-1-1) 分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平
衡）建立特征方程，也称稳定方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。
2-1-2）例一 试用静力法分析图示结构，求临界 荷载。
B hsin 由 MA 0 得
1
sin
2 3
2
跳 转
当按线性理论计算时， 是微量，l h h cos
0 Bx
l
Bx l ( )
Dx l
By 0
FN
3EI h3
l
FP l ( ) FN h 0 3EI
FP
h2
线性理论计算
结果比非线性
理论计算结果
大，因而是偏
于危险的。
To 38
小结
不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大 时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是 不利的。
非线性理论计算结果存在极值点失稳，这一 结果与实际吻合。
在线性理论（ 微小）前提下，FP 是单调增 加的，不存在极值点。
非完善体系的临界荷载只能由非线性理论确 定。
例2. 求图示一端固定一
端自由简支梁的临界荷载。 x
设：
y a1 cos x
2l
y a sinx
2l 2l
满足 位移 约束
EI l
2. 非完善体系
非完善体系，一般受力、
变形性质不发生改变。但
随着荷载增大存在一极值
荷载（此后变形增大荷载
受压杆
反而减少），这类稳定现 象称极值点稳定。
有初曲率 或受偏心
荷载，为
结构
压弯联合
受力状态
极值点失稳 失稳前后变形性质没有变化
突
跳
失
稳
cr
FPcr
cr
FPcr
由 受 压 变 成 受 拉， 系 统 产 生 翻 转
(4)由特征方程解得临界荷载。
2-2-4) 能量法举例
例1. 求图示有初偏离角 体系的的临界荷 载 l0Bxh/ cl osisn Bx l sin( )
By
l
可能失稳
By Dy h l cos( )
分析受力
FN如何求?
FN
3EI h3
Dx
3EI h3
l
sin(
)
sin
变形能V 如 应何变计能算等于? 外力功.
EI，l EI，l
FPcr
EI，l
如何转换成弹性 支承中心受压柱？ k1=？ k2=？ 边界条件是什么？
EI，l
可见简单结构中受压 杆件的稳定分析，主要 是要将杆件简化为相应 的弹性支撑的单杆问题。
实际工程结构的稳定 性分析复杂得多，一般 进行计算机分析。
2-2) 分支点稳定能量法
2-2-1) 刚性小 球的稳 定能量 准则
2-1-4）简单结构中心受压杆FPcr的分析方 法
FP FPcr
如何转换成弹
性根支据承形中心常受数
x 0 压y柱？03k, 1yE=？I FP k1 边 么xk1界 ？ 条l 件y是l什
EI，l
FPcr
如何转换成弹 性支承中心受 压柱？ k1=？ 边界条件是什 么？
EI，l
FPcr
EA=∞
如何转换成 弹性支承中 心受压柱？ k=？ 边界条件是 什么？
体系总势能V 取驻值。 下面讨论由此特征确定临界荷载的方法—— 能量法。
2-2-3) 能量法分析步骤
(1)设定一种满足位移约束条件的可能失 稳变形状态（也称失稳构(位)形）；
(2)计算体系的应变能Vε、外力势能VP， 从而获得总势能V= Vε+ VP； (3)从总势能的驻值条件建立稳定性分析 的特征方程；
结构力学
傅向荣
第十五章 结构的稳 定计算
1. 两类稳定问题的基本概念
薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产 生部件或整个结构丧失稳定。因此，结构设 计除关心强度、刚度外，对易失稳的结构还 要进行稳定验算。
结构稳定分静力和动力稳定两大类，本课 程只讨论静力稳定问题。
例如图示刚架，当 荷载达到临界值时， 受微小干扰将失稳
Vε
1 2
FN
Dx
3EI l sin(
2h3
) sin 2
外力势能VP 根据定义可得
VP FPBy FP h l cos( )
体系的总势能V=V +VP
V 3EI l sin( ) sin 2
2h3
FP h l cos( )
由体系的总势能的驻值条件得：
V
3EI h3
FPcr
n2 EI
20.19
EI l2
返 回
突 跳 失 稳
突跳失稳的力-位移关系示意图
稳定问题的分析方法
在稳定分析中，有基于小变形的线性理论和 基于大变形的非线性理论：
线性理论中变形是一阶微量，计算中将略去 高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时 的实验结果有较大偏差。
非线性理论中考虑有限变形对平衡的影响， 其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复 杂。
FP
稳hsin定 方 6程EI
a
0
6EI FP ah sin
FPcr
6EI ah
小挠度B h 由 M A 0 得
FP稳h 定 方6Ea程I 0
6EI FPcr ah
非零解为
小结
按静力法，线性与非线性理论所得分支点临 界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。
非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使
AB杆继续偏转（ 角增大），必须施加更大的
荷载（ F增P 加）。而线性理论结果表明，不管 转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随 遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚 假的现象。
பைடு நூலகம்
例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临
界荷载FPcr。已知：k1=k, k2=3k。
设体系发生如下的变形
取B’C’为隔离体，由MB’=0, 得
y Acos nx B sinnx
利用边界条件：
FR FP
(l
x)
特 解
x 0, y 0 y 0; x l, y 0
可得
FFARPAl cFF试 稳cooRPss总定nlnll结分0中析n1BF心的sFiRPnn压要Bnsil杆点nnFFl0RP
0
0
tannl nl 稳定方程
nl 4.493