1 f; T匀速圆周运动二、匀速圆周运动的描述1．线速度、角速度、周期和频率的概念(1)线速度v 是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量，其大小为v =s=2r t T其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s；（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量，其大小为==2t T在国际单位制中单位符号是rad／s；(3）周期T 是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s；（4）频率f 是质点在单位时间内完成一个完整圆运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz；（5）转速n 是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r ／s ，以及r／min．2、速度、角速度、周期和频率之间的关系线速度、角速度、周期和频率各量从不同角度描述质点运动的快慢，它们之间有关系v＝rω．T =，v =2，= 2 f 。

由上可知，在角速度一定时，线速度大小与半径成正比；在线速度一定时，角速度大小与半径成反比．三、向心力和向心加速度1.向心力（1）向心力是改变物体运动方向，产生向心加速度的原因．（2）向心力的方向指向圆心，总与物体运动方向垂直，所以向心力只改变速度的方向．2.向心加速度（1）向心加速度由向心力产生，描述线速度方向变化的快慢，是矢量．（2）向心加速度方向与向心力方向恒一致，总沿半径指向圆心；向心加速度的大小为v 2 a n=r 公式：=2r 42rT 21. 线速度V＝s/t＝2πr/T ；== v 2. 角速度 ω＝Φ/t ＝2π/T ＝2πf 3. 向心加速度 a ＝V 2/r ＝ω2r ＝(2π/T)2r4. 向心力 F 心＝mV 2/r ＝m ω2r ＝mr(2π/T)2＝m ωv=F 合5. 周期与频率：T ＝1/f6. 角速度与线速度的关系：V ＝ωr7. 角速度与转速的关系 ω＝2πn (此处频率与转速意义相同)8. 主要物理量及单位：弧长 s:米(m)；角度 Φ：弧度（rad ）；频率 f ：赫（Hz ）；周期 T ：秒（s ）；转速n ：r/s ；半径 r ：米（m ）；线速度 V ：（m/s ）；角速度 ω：（rad/s ）；向心加速度：（m/s 2）。

二、向心力和加速度v 21、大小 F ＝m ω2 rF mrv 2向心加速度 a ：（1）大小：a = r=2r =42r = 42 f 2r （2）方向：总指向圆心，时刻变化T（3） 物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

三、应用举例（临界或动态分析问题）提供的向心力需要的向心力m v 2r1、火车转弯2如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供mg tan= m⇒ v = gr tan,v 增加，r外轨挤压，如果 v 减小，内轨挤压 2、汽车过拱桥2mg cos- N = m v 2rmg sinθ = f如果在最高点，那么mg - N = mv 2r此时汽车不平衡，mg ≠N3、圆锥问题N sin = mg N cos= m2r ⇒ tan= g 2r⇒ =例：小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的 θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度 v 、周期 T 的关系。

mg tan =mv 2R sin= mR sin2 ，由此可得： v = = 2R cos 2 h ，g g4、绳杆球这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。

物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

gR tan sin ,T g r tangR gR gR gR v 2 2 2 ①弹力只可能向下，如绳拉球。

这种情况下有 F + mg =mv 2R≥ mg即v ≥ ，否则不能通过最高点。

②弹力只可能向上，如车过桥。

在这种情况下有： mg - F =做平抛运动。

mv 2R ≤ mg ,∴ v ≤ ，否则车将离开桥面，③弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。

这种情况下，速度大小 v 可以取任意值。

但可以进一步讨论：①当v > 时物体受到的弹力必然是向下的；当v < 时物体受到的弹力 必然是向上的；当v = gR 时物体受到的弹力恰好为零。

②当弹力大小 F <mg 时，向心力有两解：mg ±F ；当弹力大小 F >mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力 F =mg 时，向心力等于零。

四、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题）421. 向心力 大小： F = ma 向 = m = m2R = mR = m 4 f R 方向：总指向圆心，时刻变化RT 22. 处理方法：一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解， 其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。

分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢， 切向加速度描述速度大小变化的快慢。

做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：F n =ma n在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用mv 2 ⎛ 2⎫2或m2R 或m ⎪ RR⎝ T ⎭等各种形式）。

【例 1】 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于 水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高 h 的 A 处静止开始下滑，沿轨道 ABC 运动后进入圆环内作圆周运动。

已知小球所受到电场力等于重力，圆滑半径为 R ，斜面倾角为 θ=600，s BC =2R 。

若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h 至少为多少？ 五、综合应用例析【例 2】如图所示，用细绳一端系着的质量为 M =0.6kg 的物体 A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg 的小球B，A 的重心到O 点的距离为0.2m．若A 与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω 的取值范围．【例3】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R 与v0应满足的关系式是．【例 5】如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A 点由静止出发到B 点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB 段运动过程中的加速度.2 2例 6、如图所示，M 为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为 L ，质量为 m 的子弹以水平速度 V 0 射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰，求子弹初速度 V 0 应满 足的条件。

1.图 4－2－11在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动．已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为 45°， 重力加速度为 g ＝10 m/s 2，若已知女运动员的体重为 35 kg ，据此可估算该女运动员( )A. 受到的拉力约为 350 NB ．受到的拉力约为 350 NC ．向心加速度约为 10 m/s 2D ．向心加速度约为 10 m2/s 2 解析：本题考查了匀速圆周运动的动力学分析．以女运动员为研究对象，受力分析如图． 根据题意有 G ＝mg ＝350 N ；则由图易得女运动员受到的拉力约为 350N ，A 正确；向心加速度约为 10 m/s 2，C 正确． 答案：AC 2.图 4－2－12中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故． 家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第 八次有辆卡车冲进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协 力调查，画出的现场示意图如图 4－2－12 所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是( )A ．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动B ．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动C ．公路在设计上可能内(东)高外(西)低D ．公路在设计上可能外(西)高内(东)低解析：由题图可知发生事故时，卡车在做圆周运动，从图可以看出卡车冲入民宅时做离心运动，故选项 A 正确，选项 B 错误；如果外侧高，卡车所受重力和支持力提供向心力，则卡车不会做离心运动，也不会发生事故，故选项 C 正确． 答案：AC 3.图 4－2－13(2010·湖北部分重点中学联考)如图 4－2－13 所示，质量为 m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为 g ，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则( )A. 该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于2πB. 该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于 2πC. 盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于 2mgD ．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于 2mgRgRgmv2解析：要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则有mg＝R ，解得该盒子做匀速圆周运动2πR R的速度v＝gR，该盒子做匀速圆周运动的周期为T＝v ＝2πg.选项A 错误，B 正确；在最低点mv2R ，解得时，盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由F－mg＝F＝2mg，选项C、D 错误．答案：B4.如图4－2－14 所示，半径为r＝20 cm 的两圆柱体A 和B，靠电动机带动按相同方向均以角速度ω＝8 rad/s 转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒水平放置其上，重心在刚开始运动时恰在B 的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数μ＝0.16，两圆柱体中心间的距离s＝1.6 m，棒长l>2 m，重力加速度取10 m/s2，求从棒开始运动到重心恰在A 正上方需多长时间？解析：棒开始与A、B 两轮有相对滑动，棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动，末速度vv＝ωr＝8×0.2 m/s＝1.6 m/s，加速度a＝μg＝1.6 m/s2，时间t1＝a＝1 s，此时间内棒运动位移1s1＝2at1＝0.8 m．此后棒与A、B 无相对运动，棒以v＝ωr 做匀速运动，再运动s2＝AB－s1＝0.8s2m，重心到A 正上方时间t2＝v ＝0.5 s，故所求时间t＝t1＋t2＝1.5 s.答案：1.5 s5．25图 4－2－15在一次抗洪救灾工作中，一架直升机 A 用长 H ＝50 m 的悬索(重力可忽略不计)系住一质量 m ＝50 kg 的被困人员 B ，直升机 A 和被困人员 B 以 v 0＝10 m/s 的速度一起沿水平方向匀速运动，如图4－2－15 甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在 5 s 时间内，A 、B 之间的竖直距离以l ＝50－t 2(单位：m)的规律变化，取 g ＝10 m/s 2.(1) 求这段时间内悬索对被困人员 B 的拉力大小． (2) 求在 5 s 末被困人员 B 的速度大小及位移大小．(3) 直升机在 t ＝5 s 时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员 B 尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员 B 在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成 37°角，不计空气阻力，求被困人员 B 做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员 B 的拉力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)解析：(1)被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y ＝H －l ＝50－(50－t 2)＝t 2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度 a ＝2 m/s 2 的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得 F －mg ＝ma ，解得悬索的拉力 F ＝m (g ＋a )＝600 N.(2) 被困人员 5 s 末在竖直方向上的速度为 v y ＝at ＝10 m/s ，合速度 v ＝ 1v 0＋v 2y ＝10 m/s ，竖直方 向上的位移 y ＝2at 2＝25 m ，水平方向的位移 x ＝v 0t ＝50 m ，合位移 s ＝ x 2＋y 2＝25 m.(3) t ＝5 s 时悬索的长度 l ′＝50－y ＝25 m ，旋转半径 r ＝l ′sin 37°，v ′2由 m r 15 ＝mg tan 37°，解得 v ′＝ 22 m/s.此时被困人员 B 的受力情况如右图所示，mg 由图可知 T cos 37°＝mg ，解得 T ＝cos 37°＝625 N.2 5 答案：(1)600 N (2)10 m/s 25 m (3)625 N 6．图 4－2－26如图 4－2－26 所示，小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来．转筒的底面半径为 R ，已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为 L ，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为 h ；开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向．现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔(小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为 g )，求：(1) 小球从圆弧轨道上释放时的高度为 H ； (2) 转筒转动的角速度 ω.1解析：(1)设小球离开轨道进入小孔的时间为 t ，则由平抛运动规律得 h ＝2gt 2， L －R ＝v 0t1小球在轨道上运动过程中机械能守恒，故有 mgH ＝2mv 0联立解得：t ＝(L －R )2，H ＝ 4h .(2)在小球做平抛运动的时间内，圆筒必须恰好转整数转，小球才能钻进小孔，即 ωt ＝2n π(n ＝1,2,3…)．所以 ω＝n π (n ＝1,2,3…)答案：(1) (L －R )24h(2)n π (n ＝1,2,3…)2gh 2gh 2hgRg RgRgRg Rg Rg圆周运动的应用专题一、圆周运动的临界问题1.圆周运动中的临界问题的分析方法首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．2.特例（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R→v 临界= （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V临≠ Rg②能过最高点的条件：v≥，当V＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．③不能过最高点的条件：V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．①当v＝0 时，N＝mg（N 为支持力）②当0＜v＜时，N 随v 增大而减小，且mg＞N＞0，N 为支持力．③当v= 时，N＝0①当v＞时，N 为拉力，N 随v 的增大而增大（此时N 为拉力，方向指向圆心）知识简析gR Rgh L注意：管壁支撑情况与杆子一样若是图（b ）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力．注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 V 0 ≠ 。