概率统计考试试卷及答案
一、 填空题（每小题4分，共20分）
1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P .
2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+=
-x e
A x F x
1,则___=A
3. 已知,)|(,)|(,)(21
31
41
===B A P A B P A P 则_____)(=⋃B A P
4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y
5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分）
1. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-000
x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y).
2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。
3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>=-000212y y e y f y
Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。
4. 假设91X X ,, 是来自总体
)
,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使
298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由
度。
5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。
从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz )
三、（14分）设X,Y 相互独立，其概率密度函数分别为
⎩⎨⎧≤≤=其他 ,,)(0101x x f X ，⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-000
y y e y f y Y ,,)( 求X+Y 的概率密度
四、（14分）设⎪⎩
⎪⎨⎧≤<-=其它,),()(~0063
θ
θθx x x
x f X ,且n X X ,, 1是总体X 的简单随机样本，
求 (1)θ的矩估计量θ
，(2) )(θ
D
五、(12分)据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
(7881080.).(=Φ)
普通本科概率统计期末考试试卷答案：
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、243e -；
2、 1；
3、13；
4、/21,020,
0y e y y -⎧>⎪⎨⎪≤⎩； 5、2
20σ
二、计算下列各题（每小题8分，共40分） 1、解：2()EY xf x dx +∞
-∞
=⎰ 。
2分
22x xe dx +∞
-=
=⎰。
4分
2
2
()()()D Y E Y E Y =-
224()x x e dx E Y +∞
--∞
=
-⎰。
6分
4= 。
8分
2、解：1
23
44
C P ⋅=⋅ 。
4分
3
8
=。
8分 3、解：有题意知，X 的概率密度为 1,01
()0,X x f x <<⎧=⎨
⎩其他。
2分
于是(,)X Y 的联合概率密度为
12
1,01,0
(,)()()20,y X Y e x y f x y f x f y -⎧<<>⎪=⋅=⎨⎪⎩
其他 。
4分
于是原方程有实根的概率即为
2
{440}P X Y -≥2
{}P Y X =≤
(,)G
f x y dxdy =⎰⎰
2
1
1
20
12
x y dx e dy -=⎰⎰。
6分
1(1)0.5)=Φ- 。
8分
4、解：因为91,,X X 为来自于总体X ～N (0,22
)的简单样本，故有
212~(0,22)X X N +⋅，2345~(0,32)X X X N ++⋅，
25678~(0,42)X X X X N +++⋅ 。
2分
于是有
~(0,1)N
~(0,1)N ，
~(0,1)N 。
4分
22
22
~(3)χ++ 。
6分
所以 8a =
，12b =，16
c = 。
8分 5、解：因2
σ已知，统计量取为X ，显然
~(0,1)N 。
2分
由标准分布的上α分位点的定义，有
/21P z αα⎫⎪
<=-⎬⎪⎭
即
/2/21P X z X z ααμα⎧⎫
<<=-⎨⎬⎩
⎭。
4分 于是μ的置信区间为
/2/2(,)X z X z αα-
+
又
/20.05, 1.96,6,z n αασ====1
(14.615.114.914.815.215.1)14.956
X =+++++= 。
6分 所以μ的置信区间 [14.75, 15.15] 。
8分 三、解：因,X Y 相互独立，故
,01,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>=⋅=⎨⎩其他。
4分
于是有
(){}(,)Z G
F z P X Y Z f x y dxdy =+≤=⎰⎰ 。
6分 当0z ≤时，()0Z F z =； .。
8分 当01z <<时，0
()1z
z x
y z Z F z dx e dy z e ---==+-⎰
⎰
； 。
10分
当1z ≥时，1
10
()1z x
y z z Z F z dx e dy e e ----==+-⎰⎰
； 。
12分
所以
1,1
()1,010,z z z
Z e e z f z e z ---⎧-≥⎪=-<<⎨⎪⎩其他 。
14分
四、解：（1）因30
6()()()x
E X xf x dx x x dx θθθ
+∞-∞
==⋅-⎰⎰ 。
2分
2
θ=。
4分 所以 11ˆ22n
i i X X n θ===⋅∑ 。
7分 （2）222211
44ˆ()()[()()]n n i i i i i D D X E X E X n n θ===⋅=⋅-∑∑ 。
9分 22230461(())4
x x x dx n θθθθ=⋅--⎰ 。
11分
2
2
5n θ=
n
52
θ 。
14分
五、解：记X 为元件寿命，由题意知：~()X e θ，于是有
()E X θ=，2
()D X θ= 。
2分 又()100E X =，故100θ=。
。
4分 由独立同分布的中心极限定理知：
16
16
16
()
16100(0,1)~
i
i i
X
E X X
N --⋅=
∑∑∑近似地。
6分 于是有 16
1
{
1920}i
i P X
=>∑
16
16100
19201600
}400
i
X
P -⋅-=>
∑ 。
8分
16
1
1600
1{0.8}400
i
i X
P =-=-≤∑ 。
10分
1(0.8)0.2119=-Φ= 。
12分 青年人首先要树雄心，立大志，其次就要决心作一个有用的人才。