高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
学业分层测评（五）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c 的关系满足()
A．b＝ac B．b2＝ac
C．a＝b＝c D．c＝ab
【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac.
【答案】 B
2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为()
A.57
B.37
C.21 D．13
【解析】∵S
△ABC ＝
1
2bc sin A＝
1
2×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×1
2＝13.
∴a＝13.
【答案】 D
3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R ＝()
A.1
2B．1
C ．2 2
D ．522
【解析】 S △ABC ＝12ac sin B ＝2
4c ＝2，∴c ＝4 2. b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×2
2＝25， ∴b ＝5.∴R ＝b
2sin B ＝5
2×22＝522. 【答案】 D
4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.
3＋62
D ．
3
＋39
4
【解析】
在△ABC 中，由余弦定理可知： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， 即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12. 整理得AB 2－2AB －3＝0. 解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.
故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝33
2
. 【答案】 B
5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )
A ．4∶3∶2
B ．5∶6∶7
C ．5∶4∶3
D ．6∶5∶4
【解析】 由题意知：a ＝b ＋1，c ＝b －1， 所以3b ＝20a cos A ＝20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 2
2bc ＝20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)，
整理得7b 2－27b －40＝0，
解之得：b ＝5(负值舍去)，可知a ＝6，c ＝4. 结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4. 【答案】 D 二、填空题
6．在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为 ．
【解析】 画出三角形知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝3，∴AD ＝ 3. 【答案】
3
7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是 cm 2.
【解析】 解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝4
5. 故S △＝12×3×5×4
5＝6(cm 2)． 【答案】 6
8．(2016·郑州模拟)在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为 ．
【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即49＝a 2＋25－2×5×a cos 120°.
整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin 120°＝1534. 【答案】
153
4
三、解答题
9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2＝5c 2. 【导学号：05920063】
【证明】 由已知得cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴(1－sin 2A )(1－sin 2B )－sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴1－sin 2A －sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C .
由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫
c 2R 2，
即a 2＋b 2＝5c 2.
10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.
(1)求C 和BD ；
(2)求四边形ABCD 的面积． 【解】 (1)由题设及余弦定理得
BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ， ①
BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ② 由①，②得cos C ＝1
2，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3. [能力提升]
1．已知锐角△ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
【解析】 由题意S △ABC ＝12|AB →||AC →
|sin A ＝3，
得sin A ＝3
2，又△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝1
2，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝2. 【答案】 A
2．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )
A.π4
B.π3
C.π2 D ．3π4
【解析】 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，tan(B ＋C )＝
tan B ＋tan C 1－tan B tan C
＝－1＝－tan A ，所以角A ＝π
4.
【答案】 A
3．(2015·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－1
4，则a 的值为 ．
【解析】 在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝15
4，
所以有⎩⎪⎨⎪
⎧
12bc ×15
4＝315，
b －
c ＝2，
a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，解得⎩⎨⎧
a ＝8，
b ＝6，
c ＝4.
【答案】 8
4．(2015·陕西高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．
(1)求A ；
(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．
【解】 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3.
由于0<A <π，所以A ＝π
3.
(2)法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π
3，
得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.
故△ABC 的面积为12bc sin A ＝33
2. 法二 由正弦定理，得
7sin π3
＝2sin B ，从而sin B ＝217. 又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝27
7. 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫B ＋π3
＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝321
14. 所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝33
2
.。