压轴提升卷(一)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设直线y ＝2x ＋m (m ∈R 且m ≠0)与曲线E 相交于P ，Q 两点，点M ⎝⎛⎭⎫12，1，求△MPQ 面积的取值范围．解：(1)设C (x ，y )．由题意，可得y x －1·y x ＋1＝－2(x ≠±1)，∴曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2＋y 22＝1，消去y ，可得6x 2＋4mx ＋m 2－2＝0， ∴Δ＝48－8m 2＞0，∴m 2＜6. ∵x ≠±1，∴m ≠±2. 又m ≠0，∴0＜m 2＜6且m 2≠4.∵x 1＋x 2＝－2m3，x 1x 2＝m 2－26，∴|PQ |＝5|x 1－x 2|＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5·⎝⎛⎭⎫－2m 32－4×m 2－26＝103·6－m 2.又点M ⎝⎛⎭⎫12，1到直线y ＝2x ＋m 的距离d ＝|m |5， ∴△MPQ 的面积S △MPQ ＝12·103·6－m 2·|m |5＝26·|m |·6－m 2＝26m 2（6－m 2），∴S 2△MPQ ＝118m 2(6－m 2)≤118⎝⎛⎭⎫m 2＋6－m 222＝12. ∵0＜m 2＜6且m 2≠4，∴S 2△MPQ ∈⎝⎛⎦⎤0，12， ∴△MPQ 面积的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，22.2．(本题满分12分)已知函数f (x )＝xe x ＋x 2－x (其中e ＝2.718 28…)．(1)求f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)已知函数g (x )＝－a ln[f (x )－x 2＋x ]－1x －ln x －a ＋1，若对任意x ≥1，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝1－x e x ＋2x －1，f (1)＝1e， 所以f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝1，所以f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －1e ＝x －1，即e x －e y －e ＋1＝0.(2)由题意知函数g (x )＝－(a ＋1)ln x ＋ax －1x－a ＋1，所以g ′(x )＝－a ＋1x ＋a ＋1x 2＝ax 2－（a ＋1）x ＋1x 2＝（ax －1）（x －1）x 2，①若a ≤0，当x ≥1时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[1，＋∞)上是减函数，故g (x )≤g (1)＝0； ②若0＜a ＜1，则1a ＞1，当1＜x ＜1a 时，g ′(x )＜0，当x ＞1a 时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫1，1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是增函数，故当1＜x ＜1a时，g (x )＜g (1)＝0； ③若a ≥1，则0＜1a ≤1，当x ≥1时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0.综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．压轴提升卷(二)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)及点D ⎝⎛⎭⎫0，－p2，动直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AD 与BD 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.(1)求抛物线C 的方程；(2)若H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段OH 上与点O ，H 不重合的任意一点，过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ，M ，求证：|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.解：(1)把y ＝kx ＋1代入x 2＝2py 得x 2－2pkx －2p ＝0， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . 由α＋β＝π可知， 直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零， 所以x 212p ＋p 2x 1＋x 222p ＋p 2x 2＝0，去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2)＝0，即2pk (p 2－2p )＝0，由该式对任意实数k 恒成立，可得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＝4y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 24，即点P ⎝⎛⎭⎫t ，t24. 令|MN ||MP |＝λ，则N ⎝⎛⎭⎫t ，λt 24，所以直线ON 的方程为y ＝λt 4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝λt 4x ，x 2＝4y 且x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λt y ＝λ2t 24，即点H ⎝⎛⎭⎫λt ，λ2t 24， 所以|OH ||ON |＝x H x N ＝λt t ＝λ，所以|MN ||MP |＝|OH ||ON |，即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.2．(本题满分12分)已知函数f (x )＝(x －k )e x ＋k ，k ∈Z ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)当k ＝0时，求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈(0，＋∞)时，不等式f (x )＋5＞0恒成立，求k 的最大值． 解：(1)当k ＝0时，f (x )＝x e x ， ∴f ′(x )＝(x ＋1)e x . 由f ′(x )＝0，得x ＝－1，∴当x ＞－1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增； 当x ＜－1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减．∴函数f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1)． (2)由题意知，5＋(x －k )e x ＋k ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立． ∵当x ∈(0，＋∞)时，e x －1＞0，∴不等式x ＋x ＋5e x －1＞k 对x ∈(0，＋∞)恒成立．设h (x )＝x ＋x ＋5e x －1，则h ′(x )＝e x （e x －x －6）（e x －1）2.令F (x )＝e x －x －6，则F ′(x )＝e x －1. 当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞0，∴函数F (x )＝e x －x －6在(0，＋∞)上单调递增． 又F (2)＝e 2－8＜0，F (3)＝e 3－9＞0， ∴F (2)·F (3)＜0.∴存在唯一的x 0∈(2，3)，使得F (x 0)＝0，即e x 0＝x 0＋6. ∴当x ∈(0，x 0)时，F (x )＜0，h ′(x )＜0，此时函数h (x )单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，F (x )＞0，h ′(x )＞0，此时函数h (x )单调递增． ∴当x ＝x 0时，函数h (x )有极小值(即最小值)h (x 0)． ∵h (x 0)＝x 0＋x 0＋5e x 0－1＝x 0＋1∈(3，4)．又k ＜h (x 0)，k ∈Z ， ∴k 的最大值是3.压轴提升卷(三)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1．(本题满分12分)已知平面上动点P 到点F (3，0)的距离与直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设M (m ，n )是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1. ①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程；并探究：若M (m ，n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设P (x ，y )，由题意，得（x －3）2＋y 2⎪⎪⎪⎪x －433＝32，整理，得x 24＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2， ∵直线与圆有两个不同交点C ，D ， ∴|CD |2＝4⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2，又m24＋n 2＝1(n ≠0)，故|CD |2＝4⎝⎛⎭⎫1－43m 2＋4，由0＜d ＜1，得m ＞0，又|m |≤2，∴0＜m ≤2. ∴0＜1－43m 2＋4≤34，因为|CD |2∈(0，3]，|CD |∈(0， 3 ]， 即|CD |的取值范围为(0， 3 ]．②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1；当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12，根据椭圆对称性，猜想E ′的方程为4x 2＋y 2＝1.下证：直线mx ＋ny ＝1(n ≠0)与4x 2＋y 2＝1相切，其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1y ＝1－mx n 消去y 得：(m 2＋4n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0， 即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0，∴Δ＝4m 2－16(1－n 2)＝4(m 2＋4n 2－4)＝0恒成立， 从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．若点M (m ，n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线Γ′：x 2A ＋y 2B＝1(A ·B ≠0)恒相切．2．(2018·山东潍坊市二摸)已知函数f (x )＝(x －a )e x －12ax 2＋a (a －1)x .(x ∈R )(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线为l ，l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，求a 的值； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x －ax ＋a (a －1)， ∴f ′(0)＝(a －1)2，又f (0)＝－a ， ∴切线方程为：y ＋a ＝(a －1)2(x －0)， 令y ＝0得x ＝a（a －1）2＝2，∴2a 2－5a ＋2＝0， ∴a ＝2或a ＝12.(2)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x －ax ＋a (a －1)＝[x －(a －1)](e x －a )， 当a ≤0时，e x －a ≥0，x ∈(－∞，a －1)，f ′(0)＜0，f (x )为减函数， x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )为增函数； 当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －1，x 2＝ln a ， 令g (a )＝a －1－ln a ， 则g ′(a )＝1－1a ＝a －1a，当a ∈(0，1)时，g ′(a )＜0，g (a )为减函数， 当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＞0，g (a )为增函数， ∴g (a )min ＝g (1)＝0，∴a －1≥ln a (当且仅当a ＝1时取“＝”)， ∴当0＜a ＜1或a ＞1时，x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， x ∈(ln a ，a －1)，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )为减函数，a＝1时，f′(x)＝x(e x－1)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．综上所述：a≤0时，f(x)在(－∞，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数，0＜a ＜1或a＞1时，f(x)在(ln a，a－1)上为减函数，在(－∞，ln a)和(a－1，＋∞)上为增函数；a ＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．压轴提升卷(四)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1．(本题满分12分)(2018·陕西省黄陵中学二模)设动圆P (圆心为P )经过定点(0，2)，被x 轴截得的弦长为4，P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设不经过坐标原点O 的直线l 与C 交于A 、B 两点，O 在以线段AB 为直径的圆上，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．解：(1)设动圆P 圆心为(x ，y )，半径为r ，被x 轴截得的弦为|AB |.依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝r ，|y |2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2，化简整理得：x 2＝4y .所以，点P 的轨迹C 的方程x 2＝4y .(2)设不经过坐标原点O 的直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，解得：x 2－4kx －4b ＝0，x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4b 又∵O 在以线段AB 为直径的圆上， ∴OA →·OB →＝0即x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b . x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0. x 1x 2＋k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝0， －4b －4k 2b ＋4k 2b ＋b 2＝0， b 2－4b ＝0， b ＝4或b ＝0(舍去)． 所以直线l 经过定点(0，4)．2．(本题满分12分)(2018·淄博市高三诊断)已知函数g (x )＝x 4，x ∈R ，在点(1，g (1))处的切线方程记为y ＝m (x )，令f (x )＝m (x )－g (x )＋3.(1)设函数f (x )的图象与x 轴正半轴相交于P ，f (x )在点P 处的切线为l ，证明：曲线y ＝f (x )上的点都不在直线l 的上方；(2)关于x 的方程f (x )＝a (a 为正实数)有两个实根x 1，x 2，求证：|x 2－x 1|＜2－a 3.证明：(1)g ′(x )＝4x 3，切线斜率k ＝g ′(1)＝4，可得m (x )＝4x －3， 所以f (x )＝4x －x 4，f ′(x )＝4(1－x 3)，由f (x )＝4x －x 4＝0，得x ＝0或x ＝413，所以点P ()413，0 由f ′(x )＝4(1－x 3)，得：f ′(413)＝－12， 所以曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为 y ＝－12()x －413设φ(x )＝－12(x －413)，令F (x )＝f (x )－φ(x )，即F (x )＝4x －x 4＋12(x －413) 则F ′(x )＝4－4x 3＋12＝4(4－x 3)，所以当x ∈()－∞，413时，F ′(x )＞0，当x ∈()413，＋∞时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在()－∞，413内单调递增，在(413，＋∞)内单调递减， 所以对任意实数x 都有F (x )≤F (413)＝0，即φ(x )≥f (x )． 所以曲线y ＝f (x )上的点都不在直线l 的上方．(2)解法一：不妨设x 1≤x 2，设方程φ(x )＝a 的根为x ′2，可得x 2′＝423－a 12， 显然φ(x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以φ(x 2)≥f (x 2)＝a ＝φ(x 2′)，可得x 2≤x 2′. 设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )，可得h (x )＝4x . 则f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即对任意x ∈R ，都有h (x )≥f (x )，设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4，因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增，所以h (x 1)≥f (x 1)＝a ＝h (x 1′)，可得x 1≥x 1′，由此可得|x 2－x 1|≤x 2′－x 1′＝413－a 12－a 4＝413－a 3＜2－a3，所以|x 2－x 1|＜2－a3.解法二：不妨设x 1≤x 2，显然有f (x )≤h (x )，方程4x ＝a 的根是x 1′＝a4，所以4x 1′＝a ＝f (x 1)≤4x 1，即：x 1≥x 1′，所以|x 2－x 1|≤x 2－x 1′，所以欲证明|x 2－x 1|＜2－a 3，只需证明x 2－x ′＜2－a3，即证x 2－a 4＜2－a 3，即x 2＜2－a12，又f (x 2)＝a ＝4x 2－x 42. 所以即证：x 42－16x 2＋24＞0令F (x )＝x 4－16x ＋24，则F ′(x )＝4x 3－16＝4(x 3－4)，所以当x ∈()－∞，413时，F ′(x )＜0，当x ∈(413，＋∞)时，F ′(x 0)＞0. 所以F (x )在(－∞，413)内单调递减，在(413，＋∞)内单调递增， 所以对任意实数x 都有F (x )≥F (41)＝12(2－34)＞0， 所以不等式x 42－16x 2＋24＞0成立，所以|x 2－x 1|＜2－a3成立．。