1.（门头沟一模20.） （本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足下列条件①0≠∈∀n a N n ,*；②点),(n n n S a P 在函数22xx x f +=)(的图象上；（I ）求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ； （II ）求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P ．解：（I ）由题意 22nn n a a S +=……2分，当2≥n 时2212121---+-+=-=n n n n n n n a a a a S S a整理得0111=--+--))((n n n n a a a a ……5分，又0≠∈∀n a N n ,*，所以01=+-n n a a 或011=---n n a a01=+-n n a a 时，11=a ，11-=-n n a a ，得11--=n n a )(，211n n S )(--=……7分011=---n n a a 时，11=a ，11=--n n a a ，得n a n =，22nn S n +=……9分（II ）证明：01=+-n n a a 时，))(,)((21111nn n P ----，5121==+++||||n n n n P P P P ，所以0121=-+++||||n n n n P P P P…11分，011=---n n a a 时，),(22nn n P n +，22121)(||++=++n P P n n ，2111)(||++=+n P P n n 222222121112*********)()()()()()(||||++++++--++=++-++=-+++n n n n n n P P P P n n n n 22112132)()(++++++=n n n 13分，因为11122122+>+++>++n n n n )(,)(所以1112132022<++++++<)()(n n n ，综上10121<-≤+++||||n n n n P P P P……14分．2.（2011年高考20．）（本小题共13分）若数列12:,,,(2)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥满足11(1,2,,1)k k a a k n +-==⋅⋅⋅-，则称n A 为E 数列，记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+. （Ⅰ）写出一个E 数列A 5满足130a a ==；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）在14a =的E 数列n A 中，求使得()n S A =0成立得n 的最小值.解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E 数列A 5.（答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，—2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E 的数列A 5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，所以)1999,,2,1(11Λ==-+k a a k k ． 所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列．所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011． 充分性，由于a 2000—a 1000≤1，a 2000—a 1000≤1,……a 2—a 1≤1所以a 2000—a t ≤19999，即a 2000≤a 1+1999．又因为a 1=12，a 2000=2011,所以a 2000=a 1+1999． 故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011Λ=>=-+是递增数列．综上，结论得证. （Ⅲ）对首项为4的E 数列A k ，由于,3112=-≥a a ,2123≥-≥a a …….3175-≥-≥a a ……所以)8,,3,2(021ΛΛ=>+++k a a a k ，所以对任意的首项为4的E 数列A m ，若,0)(=m A S 则必有9≥n .又41=a 的E 数列,0)(4,3,2,1,0,1,2,3,4:11=----A S A 满足所以n 是最小值是9.3.（2012年高考，20）（本小题共13分）设A 是如下形式的2行3满足性质:,,,,,[1,1]P a b c d e f ∈-，且0a b c d e f +++++=。

记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1,2)i =，()j c A 为第j 列各数之和(1,2,3)j =；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值。

（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值（Ⅱ）设数表A 形如其中10d -≤≤。

求()k A 的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值4（海淀一模20. ）（本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为 “一阶比增函数”.(Ⅰ) 若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+； （Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.解：（I ）由题2()f x ax axy ax a x x+===+在(0,)+∞是增函数，由一次函数性质知当0a >时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，所以0a > ………………3分 （Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x在(0,)+∞上是增函数，又12,(0,)x x ∀∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+ 所以112112()()f x f x x x x x +<+， 212212()()f x f x x x x x +<+ ………………5分 所以112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+所以11221212121212()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++<+=+++ 所以1212()()()f x f x f x x +<+…8分（Ⅲ）设0()0f x =，其中00x >.因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，00()()0f x f x x x >= 法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =由（Ⅱ）知(2)2f t m >，同理(4)2(2)4f t f t m >>，(8)2(4)8f t f t m >> 所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013n n f t m >⋅>，所以()2013f x > 一定有解 ………………13分 法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t k t= 因为当x t >时，()()f x f t k x t>=，所以()f x kx >对x t >成立 只要 2013x k>，则有()2013f x kx >>，所以()2013f x > 一定有解5.（朝阳二模20）（本小题满分13分）已知实数12,,,n x x x L （n *∈N 且2n ≥）满足||1i x ≤ ()1,2,,i n =⋅⋅⋅，记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑L .（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值； （Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值； （Ⅲ）当n 为奇数时，求12(,,,)n S x x x L 的最小值． 注：1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x L 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-．(1,1,1,1)1111112S --=----+=-…3分 （Ⅱ）3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．固定23,x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数，因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-． 同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的123,,x x x 所达到，于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++212313()22x x x =++-．因为123||1x x x ++≥，所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-，时1S =-，因此min 1S =-．…7分（Ⅲ）121(,,,)n i j i j nS S x x x x x ≤<≤==∑L 121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++L L L .固定23,,,n x x x L ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数， 因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥-L L ．同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥-L L L ．2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥---L L L ．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的12,,,n x x x L 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k nS S x x x =±=≥L L ．当1k x =±（1,2,,k n =L ）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++L L 2121()22n n x x x =+++-L ．当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥L ， 所以1(1)2S n ≥--，另一方面，若取12121n x x x -====L ， 1112221n n n x x x --++====-L ，那么1(1)2S n =--，因此min 1(1)2S n =--．…………………………………………………………13分6.（朝阳一模，20）（本小题满分13分）由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ=L ，设1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求证：()55S τ≥； （Ⅲ）求()S τ的最大值.(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b -≤±≤+都成立.) 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑.………3分（Ⅱ）证明：由a b a b +≥+及其推广可得，12231011()232323S x x x x x x τ=-+-++-L 121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++L L=121010(110)552x x x ++++==L . ……………………………7分 （Ⅲ）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤， 对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………13分注：使得()S τ取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求. 7.（大兴一模20．）（13分）（2013•大兴区一模）已知数列{a n }的各项均为正整数，且a 1＜a 2＜…＜a n ，设集合A k ={x|x=λi a i ，λi =﹣1或λi =0，或λi =1}（1≤k≤n ）．性质1：若对于∀x ∈A k ，存在唯一一组λi ，（i=1，2，…，k ）使x=λi a i 成立，则称数列{a n }为完备数列，当k取最大值时称数列{a n }为k 阶完备数列． 性质2：若记m k =a i （1≤k≤n ），且对于任意|x|≤m k ，k ∈Z ，都有x ∈A K 成立，则称数列P{a n }为完整数列，当k 取最大值时称数列{a n }为k 阶完整数列．性质3：若数列{a n }同时具有性质1及性质2，则称此数列{a n }为完美数列，当K 取最大值时{a n }称为K 阶完美数列；（Ⅰ）若数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣1，求集合A 2，并指出{a n }分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列{a n }的通项公式为a n =10n ﹣1，求证：数列{a n }为n 阶完备数列，并求出集合A n 中所有元素的和S n ． （Ⅲ）若数列{a n }为n 阶完美数列，试写出集合A n ，并求数列{a n }通项公式解：（Ⅰ）}4,3,2,1,0,1,2,3,4{2----=A ；}{n a 为2阶完备数列，n 阶完整数列，2阶完美数列； （Ⅱ）若对于∈∀x n A ，假设存在2组i λ及i μ（n i ,2,1Λ=）使∑==ni ii ax 1λ成立，则有1220112201101010101010--+++=+++n n n n μμμλλλΛΛ，即10)(10)(10)(1122011=-++-+--n n n μλμλμλΛ，其中}1,0,1{,-∈i i μλ，必有n n μλμλμλ===Λ2211,，所以仅存在唯一一组i λ（n i ,2,1Λ=）使∑==ni i i a x 1λ成立，即数列}{n a 为n 阶完备数列；0=n S ，对∈∀x n A ，∑==ni i i a x 1λ，则∑∑==-=-=-ni i i n i i i a a x 11)(λλ，因为}1,0,1{-∈i λ，则}1,0,1{-∈-i λ，所以n A x ∈-，即0=n S（Ⅲ）若存在n 阶完美数列，则由性质1易知n A 中必有n3个元素，由（Ⅱ）知n A 中元素成对出现（互为相反数），且n A ∈0，又}{n a 具有性质2，则n A 中n3个元素必为31333331{,,1,0,1,,}2222n n n n n A ----=---L L ，n m 213-=n 。