1.万有引力模型
2 3
(K为绝对常数或称普通常数,对任何行星均相同) 矢量分析 如上图,选单位向量 ur cos i sin j u sin i cos j r rur r是标量t 的函数,ur为基本向量,是t 的向量函数
ur sin i cos j u cos i sin j ur u p r 1 ecos r (t ) r (t )ur (t ) r (t )(cos i sin j ) (这里 (t )) 即随t的变化,给出的向量变化 若行星在椭圆轨道上运行的方程 r rur (不同时矢量的变化)
中的想法,从Newton第一定律(惯性定律:任 何物体保持静止,匀速直线运动)出发,首先他 考虑到:月球按圆形轨道运行,必有其动力学 原因,也就是必有看不见的外力在作用它.从 这一坚定信念出发推得了定律. 其次,当时通过实验方法是不能证明定律成 立的.Newton通过他的第二定律(加速度定 律),由引力产生的向心加速度与圆运动向心 加速度相等的方法,证明定律的正确性.
2
2
此后,此数字相继得到相继修正. 1892年.庞廷.Pantin.
G 6.698 10 1895年.博斯.Boss.
13
N cm g
2
13
2
G (6.658 0.0006 10 )N cm g 1930年.海尔.Hale.
2
13 2
2
G (6.670 0.005 10 )N cm g 上面一些科学家的工作,都说明Newton发明万 有引力定律时,不是通过实验得到的.
2
Newton在地球对月球的引力中,验证了
他的公式.但是他认为必须在更大的范 围内验证,以保证他的正确性. 他着手研究太阳对于行星的引力来验证 公式. 由于行星轨道都是椭圆(长短轴相差较 大),他用圆代替椭圆,把太阳放在焦点上. 由于无法应用Kepler三定律,结果失败. 今天,我们应用向量分析法很容易证出.
1.各颗行星分别在不同的椭圆轨道上 运行,太阳在椭圆的一个焦点上. 2.单位时间内,太阳与行星联成的向径, 它扫过的面积是常数. Kepler三定律 (对于每个行星而言,不同行星常数不同) 3.行星运行周期T的平方,与椭圆长半轴a 的三次方成正比. 2 3 T Ka ( K 对于所有行星均适用)
Newton推导万有引力的基础. ① Kepler三定律. ② Newton第二定律. Newton对“月球绕地球按圆形轨道运行”进行研 究,第一次提出:“月球按圆形轨道运行是地球对月 球的引力所致”. Newton通过计算圆运动的向心加速度, 又根据 Newton第二定律得到引力公式.为验证引力公式的 正确性,他比较了通过引力所得的加速度与圆运动的 向心加速度,计算结果二者是相同的.把这个无法通 过实验证明的规律从理论上给出了严格的数学证明.
2 2
4 G 为引力常数, KM 2 4 其中 是普通常数(对于一切星体均成立) K
(三) 引力公式的验证 得到的引力公式是否符合实际,对 它的正确性要进行验证. 方式: 由圆运动推出的向心加速度 由引力公式推出的向心加速度 看二者是否相等?
1. 由向心力公式推出向心加速度 质点距离 月运行周期 T 27天7时43分 2360380秒
从地球对月球的引力着手研究. 月球沿圆形轨道围绕地球以匀速
v 运行,地
球在圆的中心. 设地球引力为 F ,则有 F ma. m为月球质量, a 为向心加速度. v2 圆运动向心加速度 a . R 地球心与月球心距离为 R . 圆运动的速度为 v .
地
R
m
v
设月球运行周期为 T
2
(二)
Newton发明万有引力定律,是从地心引 力开始的,是从地球对月球的引力开始的. 此前已有的力学,天体力学知识:
1.惯性定律:任何物体都保持静止和 匀速直线运动状态. Newton三定律 2.加速度定律:F ma 3.作用与反作用定律:对于每个作用力 总存在着一个相等的反作用力
2 v 2 R 1 4 R a 2 R T R T 4 2 60 6370 105 cm 2 0.27 cm 秒 2 2 2360580 秒 2 2
R 60r
(r为地球半径)
5
r 6370 10 cm
2. 由引力公式推出向心加速度 Mm F G 2 R F ma F 1 a GM 2 m R GM ?
m
R
R:两物体质心距离
M
定律适用范围:大至宇宙,小至地球上任意两物体.
(一)定律的来源探讨: 不是通过实验得到的,而是通过数学推导得
到的. 此公式是Newton于1666年得到的,以后很多 科学家都想通过实验证明它,都未成功. 1740年.布格,Buger. 1712年.马斯科林.Maskilin. 1854年.艾里.Anlli. 1880年.蒙登哈尔.Mengdenhar.
从事初等数学教学的研究,而在大 学学习阶段主要学习高等数学(这 与初等数学相距甚远),这是为什么?
其实质就是: 对数学有一个本质的理解(有利于数学的研 究)-----居高临下. 数学的一个重要方面:数学在实际中的应用. 数学与其它学科一样,都是为人类生产斗争 和社会实践服务的.数学在与实践的关系中, 不仅有理论上的价值与作用,而且对深入了 解其它学科具有基础性的作用.
苹果熟了往地上落. 月球按圆形轨道绕地球运行.
这些现象都有其动力学原因. 按牛顿的惯性定律:苹果应在原位置上始终 不落,月球应按直线匀速运动. 以上两种现象,违反了惯性定律,其中必有其 动力学原因. 其中必有一种力作用着.这种力不是以明显 的形式表现出.
是以看不见的形式作用在苹果和月球上的 (以场的形式作用着). 这是地球产生的引力. 当时Newton还想到,苹果被引力拉到地面上 了,而月球没被拉下来,只影响了它的运行状 态,由直线变成曲线. 其原因是距离越大,引力就越小;距离越小,引 力就越大.
又因
为求a,
考虑地球表面的引力 一物体的质量为m, 在地球表面受力 Mm F G 2 ( r为地球半径) r
地球表面上重力加速度为 g 9.81cm 秒
2
Mm F mg , F G 2 (r为地球半径) r Mm 2 有 mg G 2 , GM r g r 于是由引力产生的加速度 1 1 2 a GM 2 r g 2 R 60r g 9.81cm 秒 2 a 0.27 cm 秒 3600 3600
他们的作法:把一个小山作为 M,在山的
附近用线垂下一个小球,考察小球的偏 摆,然后确定引力系数 G ,都未成功.
直到1798年(离Newton发现定律130多
年后),卡文迪斯(Cavendish)用很复杂 的试验确定了引力关系和定律的正确 性,并确定了引力系数
G 6.7110
13
N cm g
3.在重大问题的决策中,对方案及可行性分析
中,数学模型是非常重要的. 4.让学生进一步掌握数学的学科特点. 5.学生运用数学工具解决实际问题的能 力. 8.培养学生的科研论文写作能力.
二
本课性质
作为数学科学学院毕业生,大部分
,即经过 T 的时间,月球 运转一个周期,其走过的距离为 2 R .
2 R v T
2 R 2 v2 4 R T F ma m m m R R T2
2
由
Kepler第三定律知 T 2 KR3 R 为椭圆的长半轴.
因月球轨道为圆形(长短轴相同). 4 2 R 4 2 m 于是 F m 2 3 KR K R 若地球质量为M , 将F写成 4 Mm F 2 KM R
2.椭圆面积
A ab
3.Kepler三定律. 第一定律(椭圆轨道定律 ) 行星轨道为一椭圆,太阳在其一焦点上. 第二定律 (扫面积相等定律)
行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相同. 1 2 扇形面积 rA 2 r 行星在椭圆上运行不是匀速
o
(月球运行是匀速)
第三定律 (周期平方定律) 运行周期T 与椭圆长半轴的关系是 T Ka
Newton得到的万有引力定律是在特殊情
况下得到的,对于一般情况,即在椭圆轨道 上,定律是否成立,还不能肯定, Newton曾 试图研究一般情况,但未成功.
今天数学发展了,数学工具也增多了.用向
量分析的方法,证明在椭圆轨道上运行的 形体,受焦点上星体的引力,也是定律所表 述的.
要求学生了解Newton在知道万有引力过程
用矢量分析法,计算太阳引力F F mr 先求r r rur rur rur r u r rur rur r u r u r u rur r u r u r ur r u
数学的作用就是解决实际问题. 有的就是直接解决实际问题. 科学研究是由实验阶段进入理性阶
段(以推理为主的),此时,数学的作 用就更大了.
例: 卫星轨道的确定. (历史上海王星的发现以及哈雷慧星的轨道计 算都是由数学计算出来的) 现在自然科学方面的论文(物理,化学,生物,海 洋环境,地质,自动控制,…)没有数学论证,就 几乎没有价值. 定义:数学模型(Mathematical Model)是对客 观世界中的某一特定对象,为了某个特定目 的,作出一些必要的简化和假设,运用合适的 数学工具,得到的一个数学结构.(可以是公式, 图表,图象等)
解决实际问题的数学公式: 三角形中的正弦公式: a b c 2R sinA sinB sinC 余弦公式: cos2 A cos2 B cos 2C 2cos B cos C
f ma ,