2020年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，复数z=1−i在复平面上对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.等差数列{a n}中，已知a1+a9=10，则a3+a4+a5+a6+a7=()A. 5B. 10C. 15D. 253.已知集合A={x|x<1}，B={x|e x<1}，则()A. A∩B={x|x<1}B. A∪B={x|x<e}C. A∪B={x|x<1}D. A∩B={x|0<x<1}4.已知α满足sinα=13，则cos2α=()A. 79B. 718C. −79D. −7185.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=sin(2x+π3)(0≤x≤5π12)的值域为()A. [−12,1] B. [0,12] C. [0,1] D. [−12,0]7.在区间[−1,1]上随机取一个数k，使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A. 12B. 13C. √24D. √238.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.如图为研究“角谷猜想”的一个程序框图．若输入n的值为10，则输出i的值为()A. 5B. 6C. 7D. 89.设m=ln2，n=lg2，则()A. m−n>mn>m+nB. m−n>m+n>mnC. m+n>mn>m−nD. m+n>m−n>mn10.过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为√3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. 3√311.已知函数f(x)=|lnx|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则2a+b的取值范围是()A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. [2√2,+∞)D. (2√2,+∞)12.在一个数列中，如果∀n∈N∗，都有a n a n+1a n+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+⋯+ a2020=()A. 4711B. 4712C. 4713D. 4715二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,−6)，b⃗ =(3,m)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则m=______．14.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为______．15.点P在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为______．16.某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令．游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组．如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色．已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理(如表)，得到了散点图x −y −w −∑(10i=1x i −x −)2∑(10i=1w i −w −)2∑(10i=1x i −x −)(y i −y −) ∑(10i=1w i −w −)(y i −y −)1.47 20.6 0.782.350.81 −19.3 16.2表中w i =1x i2,w −=110∑w i 10i=1．(1)根据散点图判断，y =a +bx 与y =c +dx 2哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)若旋转的弧度数x 与单位时间内煤气输出量t 成正比，那么x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，(u 3,v 3)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=i −v )ni=1i −u )∑(u −u )2n ，α̂=v −β̂u ．18. △ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若√5b =4c ，B =2C(Ⅰ)求cos B(Ⅱ)若c =5，点D 为边BC 上一点，且BD =6，求△ADC 的面积19.底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．(1)求证：EG⊥DF；(2)求三棱锥F−BEG的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，与x轴负半轴交于A(−2,0)，离心率e=12．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，连接AM，AN并延长交直线x=4于E(x3,y3)，F(x4,y4)两点，若1y1+1y2=1y3+1y4，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．21.设函数f(x)=1+ln(x+1)x(x>0)．(1)设ℎ(x)=(x+1)f(x)，求曲线y=ℎ(x)在x=1处的切线方程；(2)若f(x)>kx+1恒成立，求整数k的最大值．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若过点F(1,0)的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于M ，N 两点，求|FA||FB||FM||FN|的取值范围．23. 已知f(x)=|x −1|+1，F(x)={f(x),x ≤312−3x,x >3．(1)解不等式f(x)≤2x +3；(2)若方程F(x)=a 有三个解，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：复数z =1−i 在复平面上对应的点的坐标为(1,−1)，位于第四象限． 故选：D ．由已知求得z 的坐标得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.答案：D解析：解：等差数列{a n }中，已知a 1+a 9=10=2a 5，∴a 5=5， 则a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25， 故选：D ．由题意利用等差数列的性质，求得要求式子的值． 本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 3.答案：C解析：解：∵A ={x|x <1}，B ={x|x <0}， ∴A ∩B ={x|x <0}，A ∪B ={x|x <1}． 故选：C ．可以求出集合B ，然后进行交集和并集的运算即可． 本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 4.答案：A解析：解：∵α满足sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79．故选：A ．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 5.答案：A解析：解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立， 若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件， 故选：A ．根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键． 6.答案：A解析：解：∵0≤x ≤5π12，∴π3≤2x +π3≤7π6，∴y =sin (2x +π3)∈[−12,1]．故选：A．由0≤x≤5π12，可得π3≤2x+π3≤7π6，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了正弦函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于较易题．利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．解析：解：圆x2+y2=1的圆心为(0,0)圆心到直线y=k(x+3)的距离为√k2+1要使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交，则|3k|√k2+1<1，解得−√24<k<√24．∴在区间[−1,1]上随机取一个数k，使y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为2√242=√24．故选：C．8.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得i=0n=10不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=5，i=1不满足条件n=1，不满足条件n是偶数，n=16，i=2不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=8，i=3不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=4，i=4不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=2，i=5不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=1，i=6此时，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为6．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：D解析：解：∵0<m<1，0<n<1，m>n，1 n −1m=m−nmn=log210−log2e=log 210e>1，故m −n >mn ，所以1m +1n =log 2(10e)>1，故m +n >mn ，由m +n >m −n故m +n >m −n >mn ， 故选：D ．利用倒数，作差法，判断即可．考查对数换底公式，对数的运算性质和不等式比较大小，基础题． 10.答案：C解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题． 利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1,0)，过F(1,0)且斜率为√3的直线的方程为y =√3(x −1)， 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴上方)，由：{y 2=4x y =√3(x −1)，解得M(3,2√3).可得N(−1,2√3)，NF 的方程为：y =−√3(x −1)，即√3x +y −√3=0， 则M 到直线NF 的距离为：√3+2√3−√3|√3+1=2√3．故选C ． 11.答案：C解析：解：∵f(x)=|lnx|={−lnx,0<x <1lnx,x ≥1，画出图象：∵0<a <b 且f(a)=f(b)，∴0<a <1<b ，−lna =lnb ， ∴ln (ab)=0，则ab =1．∴2a +b ≥2√2ab =2√2，当且仅当ab =1，2a =b >0，即a =√22，b =√2时取等号．∴2a +b 的取值范围是[2√2,+∞)． 故选：C ．先画出函数f(x)=|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出ab 的关系式，再利用基本不等式的性质即可求出2a +b 的取值范围．本题考查函数的零点与方程的根的关系，熟练掌握数形结合的思想方法、对数的性质和基本不等式的性质是解题的关键，是中档题． 12.答案：B解析：解：a n a n+1a n+2=k(k 为常数)，且a 1=1，a 2=2，公积为8， ∴a n a n+1a n+2=8，a 1=1，a 2=2，∴1×2a3=8，解得a3=4，∴2×4a4=8，a4=1，同理可得：a5=2，a6=4．∴a n+3=a n．则a1+a2+⋯+a2020=a1+(1+2+4)×673=4712．故选：B．a n a n+1a n+2=k(k为常数)，且a1=1，a2=2，公积为8，可得a n a n+1a n+2=8，a1=1，a2=2，可得其周期性，进而得出数列的和．本题考查了数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：1解析：【分析】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．由题意可得a⋅b⃗=0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值．【解答】解：∵向量a⃗=(2,−6)，b⃗ =(3,m)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⋅b⃗=0，即2×3−6m=0，则m=1，故答案为：1．14.答案：24=30人，则高三被抽取的人数90−36−30=24，解析：解：高二年级抽取的人数为：2000×362400故答案为：24．根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．15.答案：53解析：解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|=|F1F2|=2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|=a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|=√4c2−4a2=2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，即4b−2c=2a，即2b=a+c，即有4b2=(a+c)2，即4(c2−a2)=(a+c)2，c，可得a=35即e =53， 故答案为：53．运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，设PF 1的中点为M ，由中位线定理可得|MF 2|=2a ，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b −2c =2a ，结合a ，b ，c 的关系，可得a ，c 的关系，即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 16.答案：9解析：解：根据题意：14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组；①若新加入的学生是土兵，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；士兵、排长、连长各1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令；所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知加入的学生也可以是司令；②若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组下：3名士兵；连长、营长、団长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名排长；所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知加入的学生也可以是军长；③若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长1名；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；所以新加入的学生可以是连长；由对称性可知加入的学生也可以是师长；④若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令答1名；2名司令；所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知加入的学生也可以是旅长；⑤若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名团长；所以新加入的学生可以是团长； 综上所述：新加入学生可以扮演9种角色； 故答案为：9根据题意，分析可得14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组；据此分类讨论新加入学生可以扮演的角色，将其数目相加即可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，分析其中的关系．17.答案：解：(1)y =c +dx 更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型．(2)由公式可得：d̂=i −w )10i=1i −y )∑(w −w )210=16.20.81=20，ĉ=y −d̂w =20.6−20×0.78=5， 所以所求回归方程为y =5+20x 2．(3)设t =kx ，则煤气用量S =yt =kx(5+20x 2)=5kx +20k x≥2√5kx ⋅20k x=20k ，当且仅当5kx =20k x时取“=”，即x =2时，煤气用量最小．所以x为2时，烧开一壶水最省煤气．解析：(1)根据散点图作答；(2)根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．本题考查了可化为线性相关的回归方程的求解，基本不等式的应用，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由题意B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC又√5b=4c，所以cosC=sinB2sinC =b2c=2√55…(4分)所以cosB=cos2C=2cos2C−1=35…(6分)(Ⅱ)因为c=5，√5b=4c，所以b=4√5…(7分)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，则80=a2+25−2×5×35×a，化简得，a2−6a−55=0，解得a=11，或a=−5(舍去)，…(9分)由BD=6得，CD=5，由cosC=2√55，得sinC=√1−cos2C=√55…(10分)所以△ADC的面积s=12DC⋅AC⋅sinC=12×5×4√5×√55=10…(12分)解析：(Ⅰ)利用已知条件和三角函数关系式的恒等变换，求出相应的结果．(Ⅱ)利用上步的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理得应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．19.答案：(1)证明：连接AC，由AE//CG，AE=CG，可知四边形AEGC为平行四边形，∴EG//AC，由题意知AC⊥BD，AC⊥BF，∴EG⊥BD，EG⊥BF，∵BD∩BF=B，∴EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，∴EG⊥DF；(2)解：设AC∩BD=O，EG∩HF=P，由已知可得：平面ADHE//平面BCGF，平面ADHE∩平面EFGH=EH，平面BCGF∩平面EFGH=FG，∴EH//FG，同理可得：EF//HG，∴四边形EFGH为平行四边形，得P为EG的中点，又O为AC的中点，∴OP//AE且OP=AE，由OP=3，DH=4，由梯形中位线定理得BF=2．∴S △BFG =12×BF ×BC =4．∵EA//FB ，FB ⊂平面BCGF ，EA ⊄平面BCGF ，∴EA//平面BCGF ， ∴点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离，为2√3． ∴V F−BEG =V E−BGF =V A−BGF =13S △BFG ×2√3=8√33．解析：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题．(1)连接AC ，由题意可知四边形AEGC 为平行四边形，得到EG//AC ，再由已知证明EG ⊥BF ，可得EG ⊥平面BDHF ，进一步得到EG ⊥DF ；(2)设AC ∩BD =O ，EG ∩HF =P ，由已知证明EH//FG ，EF//HG ，得到四边形EFGH 为平行四边形，则P 为EG 的中点，由OP =3，DH =4，由梯形中位线定理得BF =2.求出三角形BFG 的面积，再证明EA//平面BCGF ，可得点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离．然后利用等体积法求三棱锥F −BEG 的体积．20.答案：解：(1)由题有a =2，e =c a =12.∴c =1，∴b 2=a 2−c 2=3．∴椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)法1：{y =kx +m,x 24+y 23=1．⇒(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)>0⇒m 2<12k 2+9， x 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2．又k AM =k AE ∴y 1−0x 1+2=y 3−04+2⇒y 3=6y 1x1+2同理y 4=6y 2x2+2又1y 1+1y 2=1y 3+1y 4∴y 1+y 2y 1y 2=x 1+26y 1+x 2+26y 2=x 1y 2+x 2y 1+2(y 1+y 2)6y 1y 2⇒4(y 1+y 2)=x 1y 2+x 2y 1⇒4(kx 1+m +kx 2+m)=x 1(kx 2+m)+x 2(kx 1+m)⇒(4k −m)(x 1+x 2)−2kx 1x 2+8m =0， ⇒(4k −m)−8km3+4k 2−2k(4m 2−12)3+4k 2+8m =0⇒24(k+m)3+4k 2=0．∴m =−k ，此时满足m 2<12k 2+9∴y =kx +m =k(x −1)∴直线MN 恒过定点(1,0)． 法2：设直线AM 的方程为：x =t 1y −2 则{x =t 1y −2x 24+y 23=1⇒(3t 1+4)y 2−12t 1y =0， ∴y =0或y 1=12t3t 12+4，∴x 1=t 1y 1−2=t 112t13t 12+4−2=6t 12−83t 12+4同理x 2=6t 22−83t 22+4，y 2=12t23t 22+4， 当x 3=4时，由x 3=t 1y 3−2有y 3=6t 1．∴E(4,6t 1)同理F(4,6t 2)，又1y 1+1y 2=1y 3+1y 4，∴3t 12+412t 1+3t 22+412t 2=t 16+t 26，⇒(t 1+t 2)(3t 1t 2+4)12t 1t 2=t 1+t 26，当t 1+t 2≠0时，t 1t 2=−4，∴直线MN 的方程为y −y 1=y 1−y2x 1−x 2(x −x 1) ⇒y −12t 13t 12+4=12t 13t 12+4−12t23t 22+46t 12−83t 12+4−6t 22−83t 22+4(x −6t 12−83t 12+4)⇒y −12t 13t 12+4=4t 1+t 2(x −6t 12−83t 12+4)⇒y =4t 1+t 2x −4t 1+t 2⋅6t 12−83t 12+4+12t 13t 12+4=4t 1+t 2x −4(3t 12+4)(3t 12+4)(t 1+t 2)=4t 1+t 2(x −1)，∴直线MN 恒过定点(1,0)当t 1+t 2=0时，此时也过定点(1,0)综上直线MN 恒过定点(1,0)．解析：(1)利用已知条件求出a 、c ，得到b ，即可求椭圆C 的方程；(2)法1：{y =kx +m,x 24+y 23=1．⇒(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，通过韦达定理，结合k AM =k AE 推出y =kx +m =k(x −1)，说明直线MN 恒过定点(1,0)． 法2：设直线AM 的方程为：x =t 1y −2，通过{x =t 1y −2x 24+y 23=1⇒(3t 1+4)y 2−12t 1y =0求出E(4,6t 1)同理F(4,6t 2)，得到直线系方程说明直线过定点(1,0)．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查发现问题解决问题的能力，是难题．21.答案：解：(1)由已知得ℎ(x)=(x+1)+(x+1)ln (x+1)x， 所以ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2，∴ℎ(1)=2+2ln2，ℎ′(1)=−ln2．∴切线方程为y −(2+2ln2)=−ln2×(x −1)，即xln2+y −2−3ln2=0．(2)若f(x)>kx+1恒成立，由x >0得，原式可化为：k <(x+1)+(x+1)ln (x+1)x． 令ℎ(x)=(x+1)+(x+1)ln (x+1)x，则以ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2，又令m(x)=x −1−ln (x +1)，∵m′(x)=1−1x+1=xx+1>0，∴m(x)在(0,+∞)上递增，而m(2)=1−ln3<0，m(3)=2−ln4>0．∴存在t ∈(2,3)，使得t −1−ln (t +1)=0……①，且当x ∈(−∞,t)时，m(x)<0；x ∈(t,+∞)时，m(x)>0． ∴x =t 即为函数ℎ(x)的最小值点， ∴ℎ(x)min =ℎ(t)=t+1+(t+1)ln (t+1)t，结合①式得ln (t +1)=t −1．∴ℎ(t)=t+1+(t+1)(t−1)t=t +1，2<t <3∴3<ℎ(t)min <4．所以整数k 的最大值取3．解析：(1)先将x =1代入函数求出切点坐标，然后对原函数求导，进一步求出斜率，代入直线的点斜式方程即可．(2)将k 分离出来，然后研究函数ℎ(x)=(x+1)+(x+1)ln (x+1)x的最小值，因为ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2，.再研究分子的符号、零点，确定函数ℎ(x)的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值等．同时考查了学生利用函数思想、转化与化归思想等解决问题的能力．是一道压轴题．22.答案：解：(1)曲线C 1的普通方程为x 22+y 2=1，曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ；(2)设直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数) 又直线l 与曲线C 2：y 2=4x 存在两个交点，因此sinα≠0． 联立直线l 与曲线C 1：x 22+y 2=1，可得(1+sin 2α)t 2+2tcosα−1=0， 则：|FA|⋅|FB|=|t 1t 2|=11+sin 2α，联立直线l 与曲线C 2：y 2=4x 可得t 2sin 2α−4tcosα−4=0， 则|FM|⋅|FN|=|t 3t 4|=4sin 2α， 即|FA|⋅|FB||FM|⋅|FN|=11+sin 2α4sin 2α=14⋅sin 2α1+sin 2α=14⋅11+1sin 2α∈(0,18]．解析：(1)直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)直接建立方程组利用根和系数的关系求出结果．本题主要考查：极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23.答案：解：(1)f(x)=|x −1|+1={x(x ≥1)−x +2(x <1)，①当x ≥1时，解不等式x ≤2x +3得：x ≥1，②当x <1时，解不等式−x +2≤2x +3得：−13≤x <1， 综合①②得：不等式f(x)≤2x +3的解集为：[−13,+∞)(2)F(x)={|x −1|+1,x ≤312−3x,x >3，即F(x)={2−x,x <1x,1≤x ≤312−3x,x >3．作出函数F(x)的图象如图所示，当直线y =a 与函数y =F(x)的图象有三个公共点时，方程F(x)=a 有三个解，所以1<a <3． 所以实数a 的取值范围是(1,3)．解析：(1)由f(x)=|x −1|+1为分段函数，可分段讨论①当x ≥1时，②当x <1时，求不等式的解集，(2)方程F(x)=a 有三个解等价于直线y =a 与函数y =F(x)的图象有三个公共点，先画出y =F(x)的图象，再画直线y =a 观察图象即可本题考查了分段函数及数形结合的思想方法，属中档题。