2019高考文科数学模拟试卷一、选择题1. 已知集合{}2230A x N x x =∈+-≤，则集合A 的真子集个数为 （A ）31 （B ）32 （C ）3 （D ）4 2. 若复数()()21z ai i =-+的实部为1，则其虚部为 （A ）3 （B ）3i （C ） 1 （D ）i 3.设实数2log 3a =，1213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 2c =，则有（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）b c a >> 4.已知1cos()43πα+=，则sin2α= （A ）79-（B ）79 （C ）22± （D ）79±5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n 等于（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56.如图，AB 为圆O 的一条弦，且4AB =，则OA AB =u u u r u u u rg（A ）4 （B ）-4 （C ）8 （D ）-8 7.以下命题正确的个数是 ①函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x '=；0:q x x =是()f x 的极值点，则p 是q 的必要不充分条件②实数G 为实数a ，b 的等比中项，则G ab =±③两个非零向量a r 与b r ，若夹角0a b <r r g，则a r 与b r的夹角为钝角 ④平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹叫抛物线（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ） 0BAo第6题图8.右图为函数()y f x =的图象，则该函数可能为（A ）sin xy x= （B ） cos xy x=（C ）sin xy x =（D ） sin x y x= 9.已知ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos C B ac b bc A+=g ，则cos A =（A ）33 （B ）33- （C ）36 （D ）36- 10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（A ）83π （B ）43π （C ）43π （D ）163π 11.圆C 的圆心在抛物线24y x =上,且该圆过抛物线的焦点，则圆上的点到直线6y =-距离最小值为（A ）9516（B ）254 （C ）5 （D ）7212.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()12f x x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值范围是（A ）11(2,2),44k k k Z -+∈ （B ）15(2,2),22k k k Z ++∈ （C ）11(4,4),44k k k Z -+∈ （D ）115(4,4),44k k k Z ++∈二、填空题13.某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中的却无法看清，若记分员计算无误，则数字x = .14.有一个焦点为(0,6)且与双曲线2212x y -=有相同渐进线的双曲线方程是 .8899923214x 第13题图第8题图15.已知实数,x y 满足约束条件203501x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则212x y z +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为 ．16.已知函数211()sin sin (0)222x f x x ωωω=+->，若()f x 在区间(,2)ππ内没有极值点，则ω的取值范围是 . 三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n S n n =++.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA =，22AC =，M 是1CC 的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段1BC 上，且113BQ QC =． （Ⅰ）证明：//PQ 平面ABC ；（Ⅱ）若30BAC ∠=o ，求三棱锥A PBQ -的体积．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上一点，若12PF PF ⊥，12F F =12PF F △的面积为1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若A ,B 分别为椭圆上的两点，且OA OB ⊥,求证：2211OAOB+为定值，并求出该定值.21.已知函数()ln xf x ax x=-． （Ⅰ）若函数()f x 在()1,+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（Ⅱ）若存在212,[,]x x e e ∈，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为1x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 2cos 0ρθθρ+-=．（Ⅰ）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点（P 在A B 、之间），且2PA PB =，求实数a 的值．2019高考文科数学模拟试卷文科答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 1-5：CAABC 6-10:DBBAD 11-12:AD二、填空题:本大题共4小题，共20分.13. 1 14. 2211224y x -= 15. 8 16. 337(0,],848⎡⎤⎢⎥⎣⎦U三、解答题：（本大题共6小题，满分70分. 17.（本小题满分12分）解： (Ⅰ)22n S n n =++，①；当2n ≥时，21(1)(1)2n S n n -=-+-+②；②-①2n a n =， .......................3分 当1n =时，14a =， ........................4分4,1()2.2n n a n N n n *=⎧=∈⎨≥⎩ .....................5分(Ⅱ)由题意，1,1161111().2(2)(22)41n n b n n n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-≥++⎪⎩.........7分当1n =时，1116T = 当2n ≥时,1111111111()()()()1642334451n T n n L ⎡⎤=+-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦111131()1642116(1)n n n -⎡⎤=+-=⎢⎥++⎣⎦ .................11分 1,11631.216(1)n n T n n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥+⎪⎩.......................12分18.（本小题满分12分）解：(Ⅰ)ˆˆˆln yd x c =+更适合刻画x ，y 之间的关系, .......................1分 理由如下：x 值每增加1，函数值的增加量分别为7，4，3，2，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的均匀增长存在较大差异，故ˆˆˆln yd x c =+更适合刻画x ，y 之间的关系.......4分(Ⅱ)令ln i i z x =, 计算知123457314.655y y y y y y ++++===所以51522158650.9614.6ˆ106.250.9625i ii i i z y z ydz z ==--⨯⨯=≈=-⨯-∑∑g ，.......................8分ˆ14.6100.965cy d z =-≈-⨯=g ,所以所求的回归方程为ˆ10ln 5yx =+ ..............10分 当6x =时，销售额为ˆ10ln 6523y=+≈ (万元)， ........ ......12分 19.（本小题满分12分） 证明：(Ⅰ)取中点MC ，记为点D ,连结QD PD ,.中点为中点，为MC D MA P Θ,PD ∴//AC又131DC CD =Θ,=113BQ QC ,QD ∴//BC .又D QD PD =I Θ，PQD 平面∴//平面ABC .......................4分 又PQD PQ 平面⊂，PQ ∴//平面ABC ................................6分 (Ⅱ)方法一：由于P 为AM 中点，故M A ,两点到平面PBQ 的距离相等MBQ P PBQ M PBQ A V V V ---==∴又82222181814111=⨯⨯⨯===∆∆∆C BC M BC BQM S S S Θ.......8分 P 点到平面BMQ 的距离h 为A 点到平面BMQ 的距离的21，即=h 26232221=⨯⨯,.................................10分 243268231=⨯⨯=∴-PBQ A V .......................................12分方法二：82222181814111=⨯⨯⨯===∆∆∆C BC M BC BQM S S S Θ....................8分PBQ M MBQ A PBQ A V V V ----=∴.....................................10分24326823168231=⨯⨯-⨯⨯=.................................12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，2212121||||12||||12PF PF PF PF +==，又122||||a PF PF =+，∴22212124||||2||||16a PF PF PF PF =++=，24a =,222241b a c =-=-=，∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．…………………5分（Ⅱ）(i)当A ,B 是椭圆顶点时，221154OAOB+=，…………………6分 (ii)当A ,B 不是椭圆顶点时，设:OA l y kx =，1:Ob l y x k=-， 由22,141y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2441A x k =+，2224441k OA k +=+, 同理2244B k x k =+,222444k OB k +=+,22222222114145554444444k k k k k k OA OB ++++=+==+++. 综上，2211OAOB+为定值. …………………12分21.（本小题满分12分）解：已知函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ．（Ⅰ）因为()f x 在()1,+∞上为减函数，故()()2ln 10ln x f x a x -'=-≤在()1,+∞上恒成立，即当()1,x ∈+∞时，()max 0f x '≤． 又()()222ln 111111()()ln ln ln 24ln x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+-， 故当11ln 2x =，即2x e =时，()max 14f x a '=-．所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14． ………………………5分 （Ⅱ）命题“若存在212,[,]x x e e ∈使()()12f x f x a '≤+成立”等价于“当2[,]x e e ∈时，有min max ()()f x f x a '≤+” ．由（Ⅰ）知，当2[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=-，所以max 1()4f x a '+=． 故问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有()min 14f x ≤”①当14a ≥时，由（Ⅱ）知，()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数， 则()()222min 124e f x f e ae ==-≤，故21124a e≥-．……………8分②当14a <，2[,]x e e ∈时，()1ln ln 4x x f x ax x x x =->-，由（Ⅰ）知，函数1()ln 4x x x x ϕ=-在2[,]e e 上是减函数，2222min ()()244e e e x e ϕϕ==-=，所以()2min 144e f x >>，与14a <矛盾，不合题意．综上，得实数a 的取值范围211[,)24e-+∞． …………………12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．【解析】（Ⅰ）1C的参数方程1x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消参得普通方程为+10x y a --=， 2C 的极坐标方程为2cos 2cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 2cos 0ρθρθρ+-=即22y x =．………5分（Ⅱ）将曲线1C 的参数方程代入曲线22:2C y x =得211202t a +-=， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =且P 在A B ,之间，则122t t =-，()1212122212t t t t t t a =-⎧⎪+=-⎨⎪=-⎩解得712a =-………10分23.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：()156f x x x =-+->1156x x x <⎧⎨-+->⎩或15156x x x ≤≤⎧⎨-+->⎩或5156x x x >⎧⎨-+->⎩，解得0x <或6x >．综上所述，不等式()6f x >的解集为 ()(),06,-∞⋃+∞……………5分 （Ⅱ）由()()15154f x x x x x =-+-≥---=（3x =时取等号）min()4f x ∴=. 即4m =，从而111123a b c++=， 111232323()(23)3()()()9.232332a b a c b ca b c a b c a b c b a c a c b++=++++=++++++≥………10分。