2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年山东，理1，5分】已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则2i a b +=（）（ ）（A ）54i - （B ）54i + （C ）34i - （D ）34i + 【答案】D【解析】i a -与2i b +互为共轭复数，()()2222,1i 2i 44i i 34i a b a b ∴==∴+=+=++=+，故选D ． （2）【2014年山东，理2，5分】设集合{12}A x x =-<，{2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB =（ ）（A ）[0,2] （B ）(1,3) （C ）[1,3) （D ）(1,4) 【答案】C【解析】12x -<，212x ∴-<-<，13x ∴-<<，2x y =，[]0,2x ∈，[]1,4y ∴∈，[)1,3A B ∴=，故选C ． （3）【2014年山东，理3，5分】函数()f x =）（A ）1(0)2， （B ）(2)+∞， （C ）1(0)(2,)2+∞，（D ）1(0][2)2+∞，，【答案】C【解析】()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<<，故选C ．（4）【2014年山东，理4，5分】用反证法证明命题“设,a b R ∈，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时要做的假设是（ ）（A ）方程20x ax b ++=没有实根 （B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根 （D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根 【答案】A 【解析】反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是：方程20x ax b ++=没有实根，故选A ．（5）【2014年山东，理5，5分】已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）（A ）221111x y >++ （B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y > （D ）33x y > 【答案】D【解析】,01x y a a a x y <<<∴>，排除A ，B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C ，故选D ．（6）【2014年山东，理6，5分】直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） （A ）（B ） （C ）2 （D ）4 【答案】D【解析】34x x =，()()()3244220x x x x x x x -=-=+-=，解得直线和曲线的交点为0x =，2x =，2x =-，第一象限面积()232401428444x x dx xx -=-=-=⎰，故选D ．（7）【2014年山东，理7，5分】为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床 试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ） （A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）18 【答案】C【解析】第一组与第二组频率之和为0.240.160.4+=，200.450÷=，500.3618⨯=，18612-=，故选C ．（8）【2014年山东，理8，5分】已知函数()21f x x =-+，()g x kx =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）102（，） （B ）112（，）（C ）12（，） （D ）2+∞（，） 【答案】B【解析】画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致，故选B ． （9）【2014年山东，理9，5分】已知,x y 满足的约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数()0,0z ax by a b =+>>在该约束条件下取得最小值25时，22a b +的最小值为（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）5 （D ）2【答案】B【解析】10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故选B ． （10）【2014年山东，理10，5分】已知0,0a b >>,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x ya b-=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ） （A ）20x y ±= （B ）20x y ±= （C ）20x y ±= （D ）20x y ±= 【答案】A【解析】2222122c a b e a a-==，2222222c a b e a a +==，()44244124344a b e e a b a -∴==∴=，22b a ∴=±，故选A ． 第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2014年山东，理11，5分】执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ． 【答案】3【解析】根据判断条件2430x x -+≤，得13x ≤≤，输入1x =，第一次判断后循环，12,11x x n n =+==+=； 第二次判断后循环，13,12x x n n =+==+=； 第三次判断后循环，14,13x x n n =+==+=； 第四次判断不满足条件，退出循环，输出3n =． （12）【2014年山东，理12，5分】在ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC 的面积为 ．【答案】16【解析】由条件可知cos tan AB AC cb A A ⋅==，当6A π=，23bc =，11sin 26ABC S bc A ∆==．（13）【2014年山东，理13，5分】三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = ．【答案】14【解析】分别过,E C 向平面做高12,h h ，由E 为PC 的中点得1212h h =，由D 为PB 的中点得12ABD ABP S S ∆∆=，所以1212111:334ABD ABP V V S h S h ∆∆=⋅=⋅=．（14）【2014年山东，理14，5分】若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ．【答案】2【解析】将62)(xbax +展开，得到612316r r r r r T C a b x --+=，令1233,3r r -==得．由333620C a b =，得1ab =，所以2222a b ab +≥=．（15）【2014年山东，理15，5分】已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称，若()h x 是()g x =()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 ．【答案】b >【解析】根据图像分析得，当()3f x x b =+与()g x =b =()()h x g x >恒成立得b >三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2014年山东，理16，12分】已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图像过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫-⎪⎝⎭． （1）求,m n 的值；（2）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．解：（1）已知()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+，)(x f 过点2(3),(,2)123ππ-，()sin cos 1266f m n πππ∴=+=， 244()sin cos 2333f m n πππ=+=-，12122m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩1m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （2）()2cos22sin(2)6f x x x x π+=+，()f x 左移ϕ后得到()2sin(22)6g x x πϕ=++． 设()g x 的对称轴为0x x =，11d =+解得00x =，(0)2g ∴=，解得6πϕ=．()2sin(2)2sin(2)2cos2362g x x x x πππ∴=++=+=．222,k x k k z πππ∴-+≤≤∈．,2k x k k z πππ-+≤≤∈．()f x ∴的单调增区间为[,],2k k k z πππ-+∈．（17）【2014年山东，理17，12分】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点．（1）求证：111//C M A ADD 平面；（2）若1CD 垂直于平面ABCD 且1CD 求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角） 的余弦值． 解：（1）连接1AD ，1111ABCD A B C D -为四棱柱，11//CD C D ∴，//CD AM ∴，CD AM =，11//AM C D ∴，11AM C D =，11AMC D ∴为平行四边形，11//AD MC ∴，又111C M A ADD ⊄平面，B 1C 1D 1A 1DCBM A111AD A ADD ⊂平面，111//AD A ADD ∴平面．（2）解法一：11//AB A B ，1111//A B C D ，1111D C M ABC D ∴面与共面，作CN AB ⊥，连接1D N ，则1D NC ∠即为所求二面角，在ABCD 中，1,2,60DC AB DAB ==∠=CN ∴= 在1Rt D CN ∆中，1CD =CN =1D N ∴= 解法二：作CP AB ⊥于p 点以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，111((2C D M ∴-，1111(1,0,0),(2C D D M ∴== 设平面11C D M 的法向量为111(,,)n x y z =，11110102x x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，1(0,2,1)n ∴=，显然平面ABCD 的法向量为2(1,0,0)n =，1212121cos ,5n n n n n n ⋅∴<>===所以平面11CD M 和平面ABCD 所成角的余弦值为55，11cos NC D CN D N ∴∠====．（18）【2014年山东，理18，12分】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D ．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35．假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望． 解：（1）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A ，51143()656510P A =⨯+⨯=．（2）ξ的可能取值为012346，，，，，，111(0)6530P ξ==⨯=；11131(1)35656P ξ==⨯+⨯=；131(2)355P ξ==⨯=； 11112(3)256515P ξ==⨯+⨯=；131111(4)253530P ξ==⨯+⨯=；111(6)2510P ξ==⨯=． ξ∴的分布列为：()012346306515301030E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （19）【2014年山东，理19，12分】已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）1121412,,2,46d S a S a d S a d ===+=+，1S ，2S ，成等比，2214S S S ∴=，解得11,21n a a n =∴=-． （2）111411(1)(1)()2121n n n n n n b a a n n --+=-=-+-+，当n 为偶数时， 111111111(1)()()()()3355723212121n T n n n n =+-+++-++-+---+，1212121n nT n n ∴=-=++，当n 为奇数时，111111111(1)()()()()3355723212121n T n n n n =+-+++--+++---+12212121n n T n n +∴=+=++，2,2122,21n nn n T n n n ⎧⎪⎪+∴=⎨+⎪⎪+⎩为偶数为奇数． （20）【2014年山东，理20，12分】设函数()22(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）．（1）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．解：（1）2'423221(2)()()()(0)x x x e x xe x e kx f x k x x x x x⋅---=--+=>，当0k ≤时，0kx ≤，0x e kx ->， 令()0f x =，则2x =．∴当()0,2x ∈时，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()f x 单调递增．（2）令()x g x e kx =-，则()x g x e k =-，x e k ∴=，ln x k =．'(0)10g k =-<，(0)10g =>，()2'22(2)0,2202e g e k g e k k =->=->∴<，()ln ln ln 0ln 1k g k e k k k k e =-<∴>∴>，综上：e 的取值范围为2,2e e （）． （21）【2014年山东，理21，14分】已知抛物线2:2(0C y px p =＞）的焦点为F ，A 为C 上异 于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF∆为正三角形． （1）求C 的方程；（2）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ．（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设(),0D t ()0t >，则FD 的中点为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭．因为FA FD =， 由抛物线的定义知：322p p t +=-，解得3t p =+或3t =-（舍去）．由234p t+=，解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）（ⅰ）由（1）知()1,0F ．设()00,A x y ()000x y ≠，(),0D D x ()0D x >，因为FA FD =，则011D x x -=+， 由0D x >得02D x x =+，故()02,0D x +．故直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02y y x b =-+，代入抛物线方程得：200880b y y y y +-=，由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-．设(),E E E x y ， 则204E x y =，04E y y =-．当204y ≠时，00022002044444E AE E y y y y y k y x x y y +-==-=---，可得直线AE 的方程为： ()0002044y y y x x y -=--，由2004y x =，整理可得：()020414y y x y =--，直线AE 恒过点()1,0F ．当24y =时，直线AE 的方程为1x =，过点()1,0F ．所以直线AE 过定点()1,0F ． （ⅱ）由（ⅰ）知直线AE 过焦点()1,0F ，所以()000011112AE AF FE x x x x ⎛⎫=+=+++=++ ⎪⎝⎭．设直线AE 的方程为1x my =+，因为点()00,A x y 在直线AE 上，故001x m y -=．设()11,B x y ，直线AB 的方程为()0002y y y x x -=--，由于00y ≠，可得0022x x y =-++，代入抛物线方程得：2008840y y x y +--=．所以0108y y y +=-，可求得1008y y y =--，10044x x x =++． 所以点B 到直线AE的距离为：414x d ⎫+===， 则ABE ∆的面积001142162S x x ⎫⎛⎫=⨯++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当001x x =，即01x =时等号成立．所以ABE ∆的面积的最小值为16．。