r()
A
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
r()
D
02, 0r(). o
A
f(rco,srsin)rdrd
D
2 ()
d f(rco ,rs si)n rd . r
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
例1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
例2 计算 ex2 y2dxdy ，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为 的圆周所围成的闭区域 .
解 在极坐标系下
D ： 0 r a ， 0 2 .
ex2y2dxdy
2
d
aer2rdr
0
0
D
(1ea2).
例3 求球体 x2y2z24a2被圆柱面 x2y2 2ax(a 0)
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 解 由对称性
xyd
2
[
1
x 1
xyd]dyx
2
[x
1
y22]1xdx
yx D
y 1
（ 2 x3 12
x)dx[x4
2
8
x42]12
11 8
o
1x 2
x
解法二 积分区域是Y－型的
y
D
xyd
2
[
1
2
xyd]dxy
y
2
[y
1
x22]2ydy
2 y
1
x y x2 D
（ 2 2yy3)dy[y2
1
2
y84]12
o
1
x
D
1
（计算比较麻烦）
例5 计算 xyd ，其中 D是抛物线 y2 x 及直线
D
yx2 所围成的区域。 y
解： D 为Y－型
2
x y2
y D
(4,2)
x y2
2 y2
xyd [ xydx]dy
1 y2
D
o 1 (1,1)
x
D
2
[
1
x2 2
y]yy2 2dy
5
5 8
D为X－型
y
y x
D
ri ri i,
o
i i
i i
A
f (x ,y )dx d f (r y c o ,rs s i)n rd .rd
D
D
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r1()
,
D
1 () r 2 ().
o
f(rco,srsin)rdrd
D
d
2()f(rco,rs si)n rd . r
1()
r2()
A
区域特征如图
,
r1()
D
1 () r 2 ().
o
f(rco,srsin)rdrd
D
d
2()f(rco,rs
i)n rd . r
1()
r2()
A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,
D
0r().
f(rco,srsin)rdrod
D
d ()f(rc o ,rs s i)n rd . r 0
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 四、小结
一、利用直角坐标计算二重积分
如果积分区域为：axb, 1 (x )y2 (x ).
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
a
b
y2(x)
D
y1(x)
a
b
其中函数 1(x) 、2(x) 在区间 [a,b] 上连续.
f(x,y)d的值等D于 为以 底，以 z曲面 D f(x,y)为曲顶柱体的体积．
应用计算“平行截面面积 为已知的立体求体积”的 方法
z
y
zf(x,y) A(x0 )
y2(x)
x
b x0 a
y1(x)
得
f(x ,y )da b d x 1 2 (( x x ))f(x ,y )d.y
D
如果积分区域为：cyd, 1 (y ) x2 (y ).
x y2
D
(4,2)
x
xydxydxyd
o x 1 x y2 4
x
D
D1
D2
y x (1,1)
1
[
x
4
xyd]dyx [
x xyd]dyx（计算比较麻烦）
0 x
1 x2
例6 求两个底圆半径都是的直交圆柱面所围成的立体 的体积。
z
解：设这两个圆柱面的方程分别为
x2y2 R2 及 x2z2R2
(x,
y )dy
2 dx 1
2 x
0
f
(x,
y )dy
的次序.
解 积分区域如图
y2x y 2xx2
原 式 0 1 d1 2 y y 1 y 2f(x ,y )d.x
例3 计算 xyd 其中 D是由直线 y 1 ，x2及 yx
所围成D 的闭区域。
y
解法一 积分区域是X－型的
D
V4 4a2 2dd
D
/2
2acos
4 d
4a2 2d
0
0
32a3( 2)
3 23
y
2a cos
D
o
a
2a x
三、二重积分的换元法
平面上同一个点坐 ，标 直与 角极坐标
间的关系xy为 rrcsions.,
上式可看成是标从平直 r面 o角 到坐 直角 坐标平 xo面 的 y 一种变 即换 对于， ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
11 8
o
x
例4 计算 y 1x2y2d，其中 D是由直线 yx ，x1
D
y
及 y 1所围成的闭区域。
1
解 D 既是X型的，
1 x
o
y
1x2y2d
1
[
1
y
1x2y2dy]dx
1 x
D
2 1(x31)dx1
30
2ห้องสมุดไป่ตู้
y
yx x
D是Y－型的
y yx
y1 x 2 y 2 d1y [y 1 x 2 y 2 d]d xy1 1 1
若区域如图，则必须分割.
.
D
D 1
D 2
D 3
D3 D1
D2
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
1 1x
例1 改变积分 dx f ( x, y)dy 的次序. 00
解 积分区域如图 y1x
1 1 y
原式 dy f ( x, y)dx . 00
例2 改变积分
1 dx 0
2xx2 0
f
由对称性算第一卦限部分
o
R
V1
R2x2d
R
[
R2x2
R2x2dy]dx
R
00
y
D
x
2R3
从而所得立体3体积
y
V
8V1
16R3 3
y R2 x2 D
o
xR
x
二、利用极坐标计算二重积分
i1 2 (ri ri)2i 1 2 ri2i
1 2(2ri ri)rii
rri ri r ri
ri (ri2ri)rii
［Y－型］
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
Df(x ,y ) dc d d y 1 2 ( ( y y ) )f(x ,y ) d.x
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域
边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边
界相交不多于两个交点.
式，其中积分区域
D {(x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x r cos
y
r
sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
直线方程为
r
sin
1
cos
,
xy1
f(x, y)dxd y 2d1 1 f(rco ,rssin )rd . r
D
0 sin co s