教
案
参赛教师:
职称: 助教
所在院系: 数学与统计学院
所授课程: 高等数学
20XX年5月
第十章重积分
第二节二重积分的计算法
（第1课时）
教学目的：理解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意义；熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式，并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.重点：X-型区域上二重积分的积分公式；根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.
难点：选择合适的方法计算二重积分.
教学方法：直观教学，启发式讲授.
教学过程：
一、利用直角坐标系计算二重积分
1．积分区域D的分类
（1）积分区域D 为X-型区域
图1 图2 图1，图2表示的区域都是X-型区域.
X-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 的边界的交点个数不超过两个. 用不等式组表示为
).()(21x y x b x a D ϕϕ≤≤≤≤，： （2）积分区域D 为Y-型区域
图3 图3，图4表示的都是Y-型区域.
Y-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 边界交点的个数不多于两个. 当积分区域为Y-型区域时，即
12:,()()
D c y d y x y ψψ≤≤≤≤
2．二重积分计算公式
（1）积分区域D 为X-型区域时
(,)D
f x y d σ
⎰⎰的计算公式.
当0),(≥y x f 时，由二重积分的几何意义
(,)D
f x y d σ
⎰⎰的值等于以D 为底，以(,)z f x y =为顶的
曲顶柱体（图5）的体积V .
即
⎰⎰=D
d y x f V σ
),(.
过x 轴上
x 点作平行于yOz 的平面
x π, 0a x b ≤≤ . 图5
x π截V 得一以1020[(),()]x x ϕϕ长为底,0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形, 其面积为
2010()
00()
()(,)x x A x f x y dy
ϕϕ=⎰
.
y x O )
(2y d c
[]21()
()
,,()(,)x x x a b A x f x y dy
ϕϕ∀∈=⎰
对.
根据平行截面面积已知的立体求体积的方法，可得
21()
()()(,)b
b
x a a x V A x dx f x y dy dx
ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ EMBED Equation.DSMT4 21()
()
(,)b
x a x dx f x y dy
ϕϕ=⎰⎰
.
于是21()
()
(,)(,)b
x a
x D
f x y d dx f x y dy
ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰
.
（2）积分区域D 为Y-型区域时
(,)D
f x y d σ
⎰⎰的计算公式
2121()
()
()
()
(,)[(,)](,)d
y c y D
d y c
y f x y d f x y dx dy dy f x y dx
ψψ
ψψσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
说明：这是在(,)0f x y ≥的条件下得到的计算公式, 但是对于一般的情况这个公式依然成立.
当(,)f x y 在D 上变号时，由于
(,)(,)(,)-(,)
(,)22f x y f x y f x y f x y f x y +=
-
，
记1(,)(,)(,)2f x y f x y f x y +=
EMBED Equation.DSMT4
2(,)(,)
(,)2f x y f x y f x y -=
， 则
12(,),(,)f x y f x y 在D 上非负，12(,),(,)f x y f x y 在D 上可以应用上面的公式计算.
于是1
2
(,)(,)(,)D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy
=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
. 3．例题应用
例1. 计算
D
yd σ
⎰⎰，其中D 是抛物线
2
y x =及直线2y x =-所围成的闭区域. 解：把D 看成Y-型区域（图6），则
2
2:12y x y D y ⎧≤≤+⎨
-≤≤⎩
222
12
21
342
21
(2)[]3494
y y
D
yd dy ydx
y y y dy
y y y σ+---∴==+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ 图6
另解：把D 看成X-型区域（图7），则
122::0114y x y D D x x ⎧⎧≤≤-≤≤⎪⎪⎨⎨
≤≤≤≤⎪⎪⎩⎩
1
2
140
1
2
24
4
21110[](54)2294D
D D x yd yd yd dx ydy dx ydy
y dx x x dx
σσσ
-∴=+=+=+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图7
例2.计算二次积分
11
22
sin (sin )
x
D dx y dy y d σ=⎰⎰⎰⎰
解：将所给的积分区域D 用不等式组表示
:01,1D x x y ≤≤≤≤
画出草图（图8），改写D 为：
01,0y x y ≤≤≤≤ 图8
1
112220001sin sin sin (1cos1)2y x D dx y dy y d dy y dx σ∴
===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 二次积分交换积分次序的步骤： （1）写出积分区域D ； （2）画出草图；
（3）将D 改写为另一类型的不等式组，交换积分次序。

例题反思：化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分次序。

这时，既要考虑积分区域D 的形状，又要考虑被积函数(,)f x y 的特性。

y
o x
y
小结
直角坐标系下计算二重积分的步骤： 一、画出积分区域D
二、选择积分次序（依据：容易积分；分块少）
三、⎧⎨
⎩定外限——域边两线夹（是常数）
定积分限定内限——域中一线穿
若D 为X-型区域： 若D 为Y-型区域：
左右夹，从下向上穿 上下夹，从左向右穿
12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 1
2()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩
四、计算两个定积分
X-型按下公式计算： 21()
()
(,)(,)b
x a x D
f x y d dx f x y dy
ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰
.
Y-型按下公式计算： 21()
()
(,)(,)d
y c
y D
f x y d dy f x y dx
ψψσ=⎰⎰
⎰⎰
.。