民乐一中2020—2021学年第一学期高三年级第二次诊断考试 文科数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．函数lg()y x =-的定义域为A ，函数xy e =的值域为B ，则A B =（ ）A (0,)+∞B (0,)eC RD ∅2．已知点)31(，A ，)14(-，B ，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A （－35，45） B （－45，35） C （35，－45） D （45，－35）3．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <0 4．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则以下为真命题的是（ ） A p q ∧ B ()p q ∧⌝ C ()p q ⌝∨ D ()()p q ⌝∧⌝5．函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的单调递增区间为( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(0，＋∞)6．函数2()f x x =＋bx 的图象在点A ))1(,1(f 处的切线与直线023=+-y x 平行，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ，则2015S ＝（ ）A 1B 20132014C 20142015D 201520167．当4x π=时，()sin()(0)f x A x A ϕ=+>有最小值，则3()4y f x π=-是（ ）A 奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B 偶函数且图像关于点(,0)π对称C 奇函数且图像关于直线2x π=对称 D 偶函数且图像关于点(,0)2π对称8．已知向量(3,1),(sin ,cos )αα==a b ，且a ∥b ，则tan 2α= ( )A 35B 35-C 34D 34-9．定义：在数列{}n a 中，若满足da a a a n n n n =-+++112（+∈N n ，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

已知在“等差比数列”{}n a 中，,3,1321===a a a 则=20132015a a （ ）A ．2420151⨯-B ．2420141⨯-C ．2420131⨯-D ．242013⨯10．设函数⎩⎨⎧>-<-=)0(,ln )0(),ln()(x x x x x f 若)()(m f m f ->,则实数m 的取值范围是（ ） A )1,0()0,1( - B )1,0()1,( --∞ C),1()0,1(+∞- D),1()1,(+∞--∞11．在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且 cos 3cos cos b C a B c B =-，2BA BC ⋅=，则ABC ∆的面积为（ ）A2 B 23C 22D 2412．已知21()()log 3x f x x=-，实数a 、b 、c 满足0)()()(<c f b f a f ,且0a b c <<<，若实数0x 是函数()f x 的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是（ ） A ． 0x a < B ．0x b > C ． 0x c < D ． 0x c > 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在复平面内，复数z 与i -12的对应点关于虚轴对称，则z = ．14．若向量→a , →b 是两个互相垂直的单位向量，则向量→a -3→b 在向量→b 方向上的投影为 .15．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则=+)2021()2020(f f .16．已知函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为三、解答题（共70分）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,),*nS n n N n ∈均在函数y x=的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等比数列，且11231,8b b b b ==，求数列{}n n a +b 的前n 项和n T ．18. （本题满分12分）如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P ､Q ，已知点P 的标为(53-，54).（¡é?）求αααtan 112cos 2sin +++的值;（¡é¨°）若0OP OQ ⋅=，求sin (α+β)的值19．（本题满分10分）已知函数f(x)=2cos sin 3cos sin 3222+--x x x x .（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域； （2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3ba =，sin(2)22cos()sin A C A C A +=++，求()f B 的值.20.（本题满分12分）设函数()ln ()xf x e a x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数.（1）若()f x 在定义域上是增函数，求a 的取值范围； （2）若直线y e =是函数()f x 的切线，求实数a 的值； 21．已知函数()()2xf x x e =-，()0,x ∈+∞．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程x ax e x f x++-=22)(在区间()0,∞+内无零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝，＋＝＋(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 40ρθθ＋＝．(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最大值．23．已知函数()124f x x x =+--.（1）若关于x 的不等式()11f x m x ≤+-+的解集为R ，求实数m 的取值范围； （2）设(){}2min ,65f x x x -+表示()f x 、265x x -+二者中较小的一个，若函数()(){}()2min ,6506g x f x x x x =-+≤<，求函数()g x 的值域.民乐一中2020—2021学年第一学期高三年级第二次诊断考试文科数学试题答案及评分参考一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，（1）D （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D （7）C （8）D （9）C （10）B （11）C （12）D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13） －1+i （14）3- （15） -1 （16）1(,1)(,)2-∞-+∞三、解答题：（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得nS n n=，即2=n S n ． 当n =1时，a 1=S 1=1 ……………1分当n ≥2时，121n n n a S S n -=-=-； ……………3分当n =1时，a 1=211⨯- =1 所以21n a n =- ……………4分(Ⅱ) 312328b b b b ==得到22b =，又11b =，2q ∴=，1112n n n b b q --∴==， ……………8分1212n n n a b n -∴+=-+，011(212)(412)(212)n n T n -=-++-++⋅⋅⋅+-+ 011(214121)(222)n n -=-+-+⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+221n n =+- ……………12分（18）（本小题满分12分）(1)由三角函数的定义得αcos =－53，αsin =54， 则原式=αααααααααααcos cos sin )cos (sin cos 2cos sin 1cos 2cos sin 22++=++ =2=α2cos 2×(－53)2=2518...........6分 (2)∵⋅=0，∴OP ⊥OQ ∴,2πβα=-∴2παβ-=，∴53cos )2sin(sin =-=-=απαβ，54sin )2cos(cos ==-=απαβ. ∴βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ =54×54+(－53)×53=257……………12分 （19） （本小题满分12分） （1）22()2(3sin cos cos )f x x x x x =-+-22cos sin cos cos222sin(2)6x x x x x x x π=-+=+=+7[0,],2[,]2666x x ππππ∈∴+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-，()[1,2]f x ∴∈- ……………6分（2）由条件得 sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A AA C +++=++化简得 sin 2sin C A = 2,,c a b ∴== 由余弦定理得30,60,90A B C ︒︒︒===()(60)2sin1501f B f ︒︒∴=== ……………12分（20）（本小题满分12分）解：（1）函数()ln ()xf x e a x a R =-∈的定义域为(0,)+∞，'()0xaf x e x=->， ∵()f x 在(0,)+∞上是增函数 ∴'()0xaf x e x=-≥在(0,)x ∈+∞上恒成立；即x a xe ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立设()x m x xe =，则'()(1)xm x x e =+ 由(0,)x ∈+∞得0'()(1)xm x x e +>=∴()xm x xe =在(0,)x ∈+∞上为增函数；即()(0)0m x m >= ∴0a ≤.（2）设切点为()000,ln xx e a x -，则00ln xa e e x -=，因为'()xa f x e x=-，所以000x a e x -=，得00x a x e =， 所以0000ln xxe e x x e -=.设()ln x x g x e xe x =-，则'()(1)ln xg x x e x =--， 所以当01x <<时，'()0g x >，()g x 单调递增， 当1x >时，)'(0g x <，()g x 单调递减， 所以max ()(1)==g x g e .因为方程0000ln x xe e x x e -=仅有一解01x =，所以a e =.21（本小题满分12分）（1）依题意，()()()21xxxf x e x e x e '=+-=-．令()0f x '>，解得1x >，故函数()f x 的单调增区间是()1,+∞， 由()0f x '<，得01x <<，单调减区间是()0,1． （2）原方程可化为()10xx e ax --=，即10x e ax --=． 令()1xg x e ax =--，0x >，则()xg x e a '=-．()x g x e a '=-是增函数，0x >时，e 1x >，(ⅰ)当1a ≤时，()0g x '≥恒成立．()g x ∴在()0,∞+上是增函数，()()00g x g ∴>=，故原方程在()0,∞+内无零点．(ⅱ)当1a >时，由0x e a -=得ln x a =，0ln x a <<时，()0g x '<，当ln x a >时，()0g x '>，故()f x 在区间()0,ln a 上单调递减，在区间()ln ,a +∞上单调递增．又()00g =，()g x ∴在区间()0,ln a 上恒小于0．∴(ln )0g a <，下面讨论()21ag a e a =--的正负； 令()21aa e a ϕ=--，1a >．则()2aa e a ϕ'=-，令()a ϕ''是()a ϕ'的导函数，则()20aa e ϕ''=->，()a ϕ'∴在()1,+∞上增函数．()()1110a e ϕϕ∴>=-->．即()0g a >，又(ln )0g a <∴由零点存在性定理知，原方程在()ln ,a a 上有零点．即在(0,)+∞上有零点．综上所述，所求实数a 的取值范围是(],1-∞． （22）（本小题满分10分）解：（1）由2221121t x tty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），因为221111t t --<+，且22222222()14111t t x y t t ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭， 所以C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-． 由ρcosθ+4＝0，得x +4＝0． 即直线l 的直角坐标方程为得x +4＝0； （2）由(1)可设C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，παπ-<<)．则P 到直线得x +4＝0的距离为：C上的点到l的距离为2cos4 |cos3sin4|322πααα⎛⎫-+⎪++⎝⎭=．当3πα=时，2cos43πα⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最大值6，故C上的点到l距离的最大值为3．23（1）由()11f x m x≤+-+，得22241x x m+--≤+，关于x的不等式()11f x m x≤+-+的解集为R，22241x x m∴+--≤+对任意x∈R恒成立.()()222422246x x x x+--≤+--=，16m∴+≥，解得7m≤-或5m≥，因此，实数m的取值范围是(][),75,-∞-+∞；（2）()5,133,125,2x xf x x xx x-<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩，设2165y x x=-+，在同一平面直角坐标系作出函数()y f x=和2165y x x=-+的图象，函数()(){}()2min,6506g x f x x x x=-+≤<，∴函数()y g x=的图象是上图中的实线部分，且()03g=-，()61g=-，则当3x=时，函数()y g x=取最小值4-；当1x=或5时，函数()y g x=取最大值0. 因此，函数()y g x=的值域为[]4,0-.。