民乐一中、张掖二中2020届高三第一次调研考试数学(理) 试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1z i =-，（其中i 为虚数单位， z 是z 的共轭复数），则zzi i+=（ ） A ． 2B ． 2i +C ． 2i -+D ． -22．已知集合22{|1}23x y A y =+=，集合2{|4}B x y x ==，则A B ⋂=（ ） A ． 0,3⎡⎤⎣⎦B ． 3,3⎡⎤-⎣⎦C ． )3,⎡+∞⎣D ． )3,⎡-+∞⎣3．已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a += ( )A. 0B. 1C. 2D. 44．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点，若126x x +=，则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为 （ ） A ． 2B ．3C ．4D ．55．已知m R ∈，“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83 B ． 163C ．203D ． 87．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．-40B ．-20C ．20D ．408．2020年东京夏季奥运会将设置4100⨯米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由一名运动员完成， 每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（ ）种布阵的方式. A ． 6B ． 12C ． 24D ． 1449. 已知函数()()22log 3,2,{21,2x x x f x x ---<=-≥，若()21f a -=，则()f a =（ ）A. 1B. 1-C. 2-D. 210．若函数()()sin 2()2f x x πφφ=+<的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且当127,,1212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()120f x f x += ()12x x ≠，则()12f x x +=（ ）A ．B ． -C ．D ． 11．在平面直角坐标系中,双曲线221124x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，若△FAB 的面积为l 的斜率为 （ ） A ．13132 B ．21 C ．41 D ．7712．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x -=， ()13f -=，数列{}n a 满足11a =且()1n n n a n a a +=- ()*n N ∈，则()()3637f a f a +=（ ） A ． -2B ． -3C ． 2D ． 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若060B =， 2c =， b =，则a =__________．14．抛物线22y x x =-+与x 轴围成的封闭区域为M ，向M 内随机投掷一点(),P x y ，则y x >的概率为__________.15．已知,,,A B C D 四点在球O 的表面上，且2AB BC ==， AC =若四面体ABCD的体积的最大值为43，则球O 的表面积为__________． 16．已知1112sin,3sin ,3cos ,233a b c ===则,,a b c 的大小关系是__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 满足2n n S a n =- ()*n N ∈. （1）证明： {}1n a +是等比数列；（2）令12nn n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次．某同学在A 处的投中率10.25q =，在B 处的投中率为2q ，该同学选择先在A 处投第一球，以后都在B 处投，且每次投篮都互不影响，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：X 0 2 3 4 5P 0.03 2p 3p 4p 5p（1）求2q 的值；（2）求随机变量X 的数学期望()E X ；（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在B 处投篮得分超过3分的概率的大小．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥，262CD AB ==， PAB ∆与PAD ∆均为等边三角形，点E 为CD 的中点.（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；（2）试问在线段PC 上是否存在点F ，使二面角F BE C --的余弦值为33，若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.20．已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>()0,1A 在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）已知()0,2P -，设点()00,B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线,AB AC 分别交x 轴于点,M N ，证明： OPM ONP ∠=∠.（O 为坐标原点） 21．已知函数()()ln af x x a R x=+∈． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 在区间2[e ,)-+∞上零点的个数；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在[]()1,e e 2.71828...=上存在一点0x ，使得()0001x mf x x +<成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )0l ρθθ+-=，M 为l 与C 的交点，求M 的极径．23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值； （2）若不等式()2211b a b a ax x -++≥++- ()0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.民乐一中、张掖二中2020届高三毕业班第一次调研考试数学(理) 试题答案一、选择题1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A 9．C 10．A 11 B 12．B二、填空题 13．4 14．1815．9π 16．a b c << 三、解答题17．（1）见解析（2）11121n +--试题解析：（1）由1121S a =-得： 11a =∵()()()11221n n n n S S a n a n ---=---- ()2n ≥， ∴121n n a a -=+，从而由()1121n n a a -+=+得1121n n a a -+=+ ()2n ≥，∴{}1n a +是以2为首项， 2为公比的等比数列．（2）由（1）得21nn a =-∴()()122121n n n nb +=--，即1112121n n n b +=--- ， ∴11111113372121n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--．18．18．解：（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件,A B 相互独立，且()()()()220.25,0.75,,1P A P A P B q P B q ====-，根据分布列知：0X =时，()()()()()220.7510.03P ABB P A P B P B q ==⨯-=， 所以2210.2,0.8q q -==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）当2X =时，()()()2p P ABB ABB P ABB P ABB =+=+()()()()()()()220.75120.24P A P B P B P A P B P B q q =+=-⨯=g ．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当3X =时，()()()()()2320.2510.01p P ABB P A P B P B q ===-=．．．．．．．．．．．．．．．4分当4X =时，()()()()2420.750.48p P ABB P A P B P B q ====．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当5X =时，()()()5p P ABB AB P ABB P AB =+=+()()()()()()2220.2510.250.24P A P B P B P A P B q q q =+=-+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以随机变量X34 1 8 4∴随机变量X ()00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()()()()()22222210.896P BBB BBB BB P BBB P BBB P BB q q q ++=++=-+=．．．．．．．10分该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.480.240.72+=， 所以该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）见解析（2）点F 为PC 的中点 试题解析：（1）证明：连接BD ，由于AB ∥CD ，点E 为CD 的中点， DE AB =， AB AD ⊥∴四边形ABED 为正方形，可得BD AE ⊥ 设BD 与AE 相交于点O又∵△PAB 与△PAD 均为等边三角形 ∴PB PD =在等腰△PBD 中，点O 为BD 的中点 ∴BD PO ⊥，且AE 与PO 相交于点O ，可得BD ⊥平面PAE 又∵BD ⊂平面ABCD∴平面PAE ⊥平面ABCD ．（2）由262CD AB ==，△PAB 与△PAD 均为等边三角形，四边形ABED 为正方形， BD 与AE 相交于点O ，可知3OA OP ==， 32PA =，所以PO AO ⊥，又平面PAE ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点， OA 为x 轴， OB 为y 轴， OP 为z 轴建立空间直角坐标系．可得()0,3,0B ， ()0,0,3P ， ()3,0,0E -， ()6,3,0P -设点F 的坐标为(),,x y z ， PF PC λ=u u u v u u u v ，由()3PF x y z =-u u u v ，，， ()633PC =--u u u v，，，可得()6,3,33F λλλ--，故 ()63333BF λλλ=---u u u v ，，， ()330BE =--u u u v ，， 设111m x y z =v（，，）为平面BEF 的一个法向量，则 0{ 0m BF m BE ⋅=⋅=u u u v vu u u v v ，得1131m λλλ=---v（，，），平面BCE 的一个法向量为()001n =v，，，由已知,m n cos m n m n ⋅=⋅v vv vv v 211103λλ=-+33=，解得12λ= 所以，在线段PC 上存在点F ，使二面角F BE C --的余弦值为3，且点F 为PC 的中点．20．（1）2214x y +=（2）见解析试题解析：（1）由已知得： 1b =，2c a = 又∵222a b c =+ ∴24a =，∴椭圆E 的方程为2214x y +=． （2）∵点B 关于x 轴的对称点为C ∴()00,C x y -，∴直线AC 的方程为011y y x x +=-+，令0y =得00,01x N y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭； 直线AB 的方程为0011y y x x -=+，令0y =得00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭． ∵20002000111x x x OM ON y y y ⋅=⋅=+--，而点()00,B x y 在椭圆2214x y +=上， ∴220014x y +=，即： 202041x y =- ∴24OM ON OP ⋅==，即OM OP OPON=∴Rt OPM Rt ONP ~V V ， ∴OPM ONP ∠=∠． 21．试题解析： （Ⅰ）()21'af x x x =-Q ,函数()f x 在1x =处的切线平行于直线 20x y -=.()112,1f a a ∴=-=∴=-'.（Ⅱ）令()f x = ln 0ax x +=， 2[e ,)x -∈+∞ 得ln a x x -= 记()ln ,H x x x x =∈ 2[e ,)-+∞， ()1ln ,H x x =+'由此可知()H x 在21e ,e --⎡⎤⎣⎦上递减，在()1e ,-+∞上递增， 且()222,H e e --=- ()11,H e e --=- x →+∞时()H x →+∞ 故1a e >时， ()f x 在2[e ,)-+∞无零点 212a a e e =<或时， ()f x 在2[e ,)-+∞恰有一个零点221a e e≤<时， ()f x 在2[e ,)-+∞有两个零点 （Ⅲ）在[]()1, 2.71828...e e =上存在一点0x ,使得()0001x mf x x +<成立等价于函数()()11ln mh x x mf x x m x x x x=+-=+-+在[]1,e 上的最小值小于零. ()()()222221111'1x x m m m x mx m h x x x x x x +-----=---==, ①当1m e +≥时,即1m e ≥-时, ()h x 在[]1,e 上单调递减,所以()h x 的最小值为()h e ,由()10mh e e m e+=+-<可得211e m e +>-,22111,11e e e m e e ++>-∴>--Q ； ②当11m +≤时,即0m ≤时, ()h x 在[]1,e 上单调递增,所以()h x 的最小值为()1h ,由()1110h m =++<可得2m <-； ③当11m e <+<时,即01m e <<-时, 可得()h x 的最小值为()()()()()1,0ln 11,0ln 1,12ln 12h m m m m m h m m m m +<+<∴<++=+-+Q 此时, ()10h m +<不成立.综上所述:可得所求m 的范围是211e m e +>-或2m <-22．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝1kx ＋2，消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2cos 2θ－sin 2θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l 3与C 的交点M 的极径为 5. 23．（1）最小值为52（2）55,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦试题解析：（1）()31,21212{3,2 2131,2x x f x x x x x x x --<-=-++=-+-≤≤+>， 所以， 12x =时， ()f x 取最小值，且最小值为52（2）由()2211b a b a a x x -++≥++-，()0a ≠恒成立，得()2211b a b ax x a-++≥++-恒成立，即21211b bx x a a-++≥++-恒成立， 令bt a=，则()21211t t x x -++≥++-恒成立， 由（1）知，只需5112x x ++-≤ 可化为1{ 522x x <--≤或11{ 522x -≤≤≤或1{ 522x x >≤，解得5544x -≤≤，∴实数x 的取值范围为55,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。