n b n b
特别地，如果 C 是常数，那么
. lim (C
n
a
n
)
lim
n
C
lim a
n
n
Ca
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当 q 1时，无穷等比数列的各项和为 S a1 ( q 1) .
1 q
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限； ⑴当自变量 x 无限趋近于常数 x0（但不等于 x0 ）时，如果函数 f (x) 无限
整数）
6. 几个常用极限：
① lim q n 0, q 1 n
② lim a n 0(a 0)
n n!
③ lim nk 0(a 1, k 为常数）
n a n
④ lim ln n 0
n n
⑤ lim (ln n)k 0( 0, k 为常数）
n n
高考数学极限知识点总结及解题思路方法
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学
命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小
xx0
xx0
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限
个情况.
⑶几个常用极限：
① lim 1 0
n x
② lim a x 0 （0＜ a ＜1）； lim a x 0 （ a ＞1）
x
x
③ lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
那么，根据①②对一切自然数 n n0 时， P(n) 都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①
lim
n
an
a
②当 n 时， an a .
⑵几个常用极限：
① lim C C （ C 为常数） n
② lim 1 0 (k N, k是常数)
n n k
③对于任意实常数，
当 | a | 1 时， lim a n 0 n
当 a 1 时，若 a = 1，则 lim a n 1 ；若 a 1，则 lim an lim (1)n 不存在
n
n
n
当 a 1 时， lim a n 不存在 n
⑶数列极限的四则运算法则：
如果
lim a
n
n
a,
lim b
n
b
b
，那么
①
lim (a
n
n
b
n
)
a
b
②
lim (a
n
n
b
n
)
a
b
③ lim a n a (b 0)
如果函数 f（x）在点 x x0 处有下列三种情况之一时，则称 x0 为函数 f
（x）的不连续点.
①f（x）在点 x x0 处没有定义，即 f (x0 ) 不存在；② lim f (x) 不存在；③ xx0
lim f (x) 存在，但 lim f (x) f (x0 ) .
xx0
xx0
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
值的性质．
§13. 极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当 n 取第一个 n0 时结论正确；②假设当 n k （ k N , k n0 ）时，结论正确，证明当 n k 1时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设 P(n) 是一个与正整数 n 有关的命题，如果
①当 n n0 （ n0 N ）时， P(n) 成立； ②假设当 n k （ k N , k n0 ）时， P(n) 成立，推得 n k 1 时， P(n) 也成 立.
xx0
xx0
① lim ( f (x) g(x)) a b xx0
② lim ( f (x) g(x)) a b xx0
③ lim f (x) a (b 0)
xx0 g(x) b
特别地，如果 C 是常数，那么
lim (C f (x)) C lim f (x) .
xx0
xx0
lim [ f (x)]n [ lim f (x)]n （ n N ）
⑴零点定理：设函数 f（x）在闭区间[a, b] 上连续，且 f (a) f (b) 0 .那么在
开区间 (a,b) 内至少有函数 f (x) 的一个零点，即至少有一点（ a ＜ ＜ b ）
使 f () 0 .
⑵介值定理：设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，且在这区间的端点取
不同函数值， f (a) A, f (b) B ，那么对于 A, B 之间任意的一个数 C ，在开
存在极限无关. 函数 f (x) 在 x0 有定义是 lim f (x) 存在的既不充分又不 xx0
必要条件.）
如
P(x)
x
x
1
1
x
x
1
1
在
x
1
处无定义，但
lim
x1
P(x)
存在，因为在
x
1
处左右
极限均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则：
如果 lim f (x) a,im (1 1 ) x e ， lim(1 x) x e （ e 2.71828183）
x x
x0
4. 函数的连续性：
⑴ 如 果 函 数 f （ x ） ， g （ x ） 在 某 一 点 x x0 连 续 ， 那 么 函 数
f
(x)
g(x),
f
(x)
g(x),
f (x) g(x)
(g(x)
趋进于一个常数 a ，就是说当 x 趋近于 x0 时，函数 f (x) 的极限为 a .记作 lim f (x) a 或当 x x0 时， f (x) a .
xx0
注：当 x x0 时， f (x) 是否存在极限与 f (x) 在 x0 处是否定义无关，因为
x x0 并不要求 x x0 .（当然， f (x) 在 x0 是否有定义也与 f (x) 在 x0 处是否
0)
在点
x
x
0
处都连续.
⑵函数 f（x）在点 x x0 处连续必须满足三个条件：
①函数 f（x）在点 x x0 处有定义；② lim f (x) 存在；③函数 f（x）在点 xx0
x
x
0
处的极限值等于该点的函数值，即
lim
xx0
f (x)
f
(x0) .
⑶函数 f（x）在点 x x0 处不连续（间断）的判定：
区间 (a,b) 内至少有一点 ，使得 f () C （ a ＜ ＜ b ）.
⑶ 夹 逼 定 理 ： 设 当 0 | x x0 | 时 ， 有 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ， 且
lim g(x) lim h(x) A，则必有 lim f (x) A.
xx0
xx0
x x0
注：| x x0 |：表示以 x0 为的极限，则| x x0 |就无限趋近于零.（ 为最小