基本不等式1．均值定理：如果a ，b +∈R （+R 表示正实数），那么2a b+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．22a b +2a b +需要前提条件,a b +∈R ．2a b+叫做a ，b a ，b3．可以认为基本元素为ab ，a b +，22a b +；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值．考点1：常规基本不等式问题例1.（1）已知0x >，则182x x+的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：0x >Q ，1842x x ∴+=… 当且仅当182x x=即14x =时取等号，故选：C ． （2）已知305x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ．310B ．910C ．95D ．12【解答】解：305x <<Q ， 则2115359(35)5(35)()55220x x x x x x +--=⨯-⨯=„， 当且仅当535x x =-即310x =时取最大值 故选：A ．（3）已知函数94(1)1y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则23a b +等于( ) A ．9B ．7C ．5D ．3【解答】解：1x >-Q ，10x ∴+>，9941511y x x x x ∴=-+=++-++5…1=，当且仅当911x x +=+，即2x =时取等号， y ∴取得最小值1b =，此时2x a ==， 237a b ∴+=．故选：B ．（4）已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( )A ．12B C ．1 D【解答】解：0a >Q ，0b >，且22a b +=， 则21121(2)()2222a b ab a b +=⨯⨯=g „， 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值12． 故选：A ．考点2：基本不等式易错点例2.（1）已知1x y +=，0y >，0x ≠，则1||2||1x x y ++的最小值是( ) A ．12B ．14C ．34D ．54【解答】解：由1x y +=，0y >得10y x =->， 解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121x x x y x y +=+++， 122242x x x xx x x x +-=+=+--， 12115()2442424x x x x -=+++⨯=-…， 当且仅当242x xx x-=-即23x =时取等号； ②当0x <时，1||1()2||121x xx y x y +=-+++，121213()()1224244244x x x x x x x x x x x x -+---=-+=+=-++-+=-----…， 当且仅当242x xx x--=--即2x =-时取等号． 综上可得，最小值34故选：C ．考点3：基本不等式常见变形例3.已知0b a <<，且1ab =，则22a b a b+-取得最小值时，a b +等于( )A．B．C．D．【解答】解：1ab =Q∴2222()2()22()a b a b ab a b a b a b a b a b a b+-+-+===-+----0b a <<Q∴22a b a b +-…2)a b a b-=-即22a b a b +-取得最小值时，满足21a b a b ab ⎧-=⎪-⎨⎪=⎩22()()46a b a b ab ∴+=-+=0b a <<Qa b ∴+=故选：B ．例4.（1）已知正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的最小值是( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：Q 正数a ，b 满足3ab a b =++，33ab a b ∴=++…，∴9ab ∴…，当且仅当3a b ==时取等号，ab ∴的最小值为9．故选：A ．（2）已知0x >，0y >，且22426x y x y +++=，则2x y +最大值是 ．【解答】解：Q 222(2)42x y x y ++…，222(2)64222x y x y x y x y +∴=+++++…，令20x y t +=>，上式化为22120t t +-„，解得01t <„．t ∴的最大值即2x y +1．1．例5.（1）已知0a >，0b >，42a b +=，则11ab+的最小值是( ) A ．4B ．92C ．5D ．9【解答】解：0a >Q ，0b >，42a b +=，∴11111()(4)2a b abab+=++14(5)2b a a b=++19(522+=…， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号， 故选：B ．例6.（1）设0x >，0y >，且2212y x +=，求 【解答】解：0x >Q ，0y >，且2212y x +=，∴=„22212x y ++=g212+==gx =且2y =时取等号，∴的最大值为4例7.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为( ) A ．0B ．1C ．94D ．3【解答】解：22340x xy y z -+-=Q ，2234z x xy y ∴=-+，又x ，y ，z 均为正实数，∴22114343xy xy x y zx xy y y x ===-++-„（当且仅当2x y =时取“=” )，∴()1max xy z=，此时，2x y =．2222234(2)3242z x xy y y y y y y ∴=-+=-⨯⨯+=，∴222121111(1)11x y z y y y y +-=+-=--+„，当且仅当1y =时取得“=”，满足题意． ∴212x y z+-的最大值为1． 故选：B ．例8.（1）函数2())f x x R ∈的最小值为( )A ．2B ．3 C．D ．2.5【解答】解：令2)t t =…，则1y t t=+在[2，)+∞上单调递增， 2t ∴=，即0x =，函数2())f x x R ∈的最小值为2.5，故选：D ．（2）已知12x >，则函数2121x x y x ++=-的最小值为 ．【解答】解：12x >Q ，210x ∴->，2217(21)(21)11744(21)1212144(21)x x x x y x x x x -+-+++∴===-++---．11=+…．当且仅当17(21)44(21)x x -=-，即x =时取得最小值．1+． （3）函数y =的最大值为 ．【解答】解：设t = 则22x t =-，(0)t >211212t y t t t===++．Q 12t t +…，当且仅当t =∴2112t t+„．∴y „．．故答案为4．课后作业：1.已知305x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ．310B ．910C ．95D ．12【解答】解：305x <<Q ， 则2115359(35)5(35)()55220x x x x x x +--=⨯-⨯=„， 当且仅当535x x =-即310x =时取最大值 故选：A ．2.已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( )A ．12B ．2C ．1 D【解答】解：0a >Q ，0b >，且22a b +=， 则21121(2)()2222a b ab a b +=⨯⨯=g „， 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值12． 故选：A ．3.已知a ，(0,)b ∈+∞，则下列不等式中不成立的是( )A ．a b++B ．11()()4a b a b++…C 22D ．2aba b+【解答】解：a Q ，(0,)b ∈+∞；.Aa b ∴+…，当a b =时取“=”；12ab =时取“=”；∴a b+a b ===”； ∴该不等式成立；.B a b +…a b =时取“=”；11a b +a b =时取“=”； ∴11()()4a b ab++…，当a b =时取“=”； ∴该不等式成立；C ．222a b ab +…，当a b =时取“=”； ∴22=a b =时取“=”； ∴该不等式成立；.D a b +…，当a b =时取“=”； ∴1a b +„ ∴2aba b+„a b =时取“=”；∴该不等式不成立．故选：D ．4.已知0x >，0y >，且22426x y x y +++=，则2x y +最大值是 ．【解答】解：Q 222(2)42x y x y ++…，222(2)64222x y x y x y x y +∴=+++++…，令20x y t +=>，上式化为22120t t +-„，解得01t <„． t ∴的最大值即2x y +1．1． 5.函数y 的最大值为 ． 【解答】解：设t = 则22x t =-，(0)t >211212t y t t t===++．Q 12t t +…，当且仅当t =∴2112t t+„．∴y „．．．。