第五讲 不等式基础讲析一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

练习：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

练习:（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21log log 21+t t a a 和的大小（2）设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

如 （1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是2 B、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2-（2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为______四.常用不等式有：（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

练习：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

练习：（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

（2）不等式(0x -≥的解集是____（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >的解集为______（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

练习：（1）解不等式25123xx x -<---（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为____________八．绝对值不等式的解法1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：（1）解不等式|21|2|432|+-≥-x x（2）解不等式|||1|3x x +->（3）两边平方：若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。

注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 练习：（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是__________（2）解不等式2()1ax x a R ax >∈-提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式02>+-bax x 的解集为__________十一．含绝对值不等式的性质：a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+. 如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 练习：（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（答：)1,+∞）； （2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____ （3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（4）若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.练习：已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围___3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .（周日）一、选择题1、若a ，b 是实数，且a>b ，则下列结论成立的是（ ）A. 22b a >B.1ab<C. 0)b a lg (>-D. b a )21()21(< *2、若a<0，－1<b<0，则（ ）A. 2ab ab a >>B. a ab ab 2>>C. 2ab b ab >>D. a ab ab 2>>（周一）*3、设a>b>1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P +=+==，则（ ） A. R<P<Q B. P<Q<R C. Q<P<R D. P<R<Q*4、若），（），的解集是（∞+-∞->++420c bx ax 2 ，则对于函数c bx ax x ++=2)(f 应有（ ）A. )1(f )2(f )5(f -<<B. )1(f )5(f )2(f -<<C. )5(f )2(f )1(f <<-D. )5(f )1(f )2(f <-<**5、函数344)(23+++=ax ax x x f 的定义域是（),∞+∞-，则实数a 的取值范围是（ ） A. )43,0( B. )43,0[C. ),41(+∞ D. ),(+∞-∞（周二）6、不等式（x+5）（3－2x ）≥6的解集是（ ） A. ]1,(--∞),29[+∞ B. ]29,1[- C. ),1[]29,(+∞--∞D. ]1,29[-7、设二次不等式），的解集是（31102->++c bx ax ，则ab=（ ） A. －6B. －5C. 6D. 5*8、设A=},0|{},032|{22≤++=>--b ax x x B x x x 若]4,3(,==B A R B A ，则a+b=（ ）A. －7，B. －1C. 1D. 7（周三）二、填空题10、若不等式}212|x {02->-<<++x x c bx ax 或的解集是，则关于x 的不等式的解集是0a bx cx 2>+- .*11、不等式0)1()52()1)(3()52()2(223>-++-+-x x x x x x 的解集是 . *12、不等式（1－|x|）（x+1）>0的解集是 .13、若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域是R ，则k 的取值范围是 .*14、若奇函数y=f （x ），（)0≠x 当x ),0(+∞∈时，f （x ）=x －1，则不等式xf （x －1）<0的解集是 . 三、计算题*15、解关于x 的不等式R a x x a ∈>--,12)1(（周五）16、关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合是{－2}，求实数k 的取值范围。