二次函数与代数综合中考要求重难点1. 理解二次函数图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系；2. 理解二次函数图象与x 轴的位置关系与一元二次方程解的情况的联系；3. 会利用二次函数图象判断一元二次方程的根的个数；4. 会根据抛物线与x 轴的位置关系求字母系数；5. 会用图象法求一元二次方程的近似解；6. 掌握抛物线与x 轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关的概念解题；7. 掌握并运用二次函数()()12y a x x x x =--解题；8. 理解二次函数与不等式之间的关系；9. 会用函数的观点去看方程和会用数形结合的思想去解决问题； 10. 理解二次函数与一次函数、反比例函数之间的关系。

11. 会将二次函数、一次函数与反比例函数综合应用。

课前预习你知道“函数”的发展史吗？你知道“函数”是怎样发展来的吗？让我们一起回顾一下函数概念的发展史吧。

函数（function ）这一名词，是德国的数学家莱布尼茨17世纪首先采用的． 与莱布尼茨几乎同时，瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义． 1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数的如下定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数．换句话说定义为：由x 和常量所构成的任一式子都可称之为关于x 的函数．约翰·柏努意的学生瑞士数学家欧拉，把约翰·柏努意关于函数的定义又推进了一步，使之更加明朗化．为了适应当时所出现的各种情况，为了适应数学的发展，法国数学家柯西引入了新的函数定义。

在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词．德国数学家黎曼引入了新的定义：“对于x 的每一个值，y 总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x ，y 之间的对应方法如何，均将y 称为x 的函数．”1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义，这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个x 的对应值．1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x 与y 之间的对应关系是无关紧要的，所以重新定义，这个抓住了概念的本质属性，曾被比较长期的使用着．上面我们对函数概念的历史发展作了概述，我们看到，“函数”这个重要概念发展到近代，经过了一段如此漫长的道路，从某种意义上来说，它反映了人类对事物逐渐精确化的认识过程．数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．例题精讲模块一 二次函数与一元二次方程1. 求二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的图象与x 轴的交点坐标，就是令0y =，求20ax bx c ++=中x 的值的问题。

此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程的根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数。

2. 当20ax bx c ++=中的0∆>时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点；当20ax bx c ++=中的0∆=时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有一个交点； 当20ax bx c ++=中的0∆<时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴没有交点；3. 抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点之间的距离公式||AB ==()0∆>【例1】 （2020 广东）求二次函数221y x x =--与x 轴的交点坐标？ 【难度】1星【解析】求二次函数221y x x =--与x 轴的交点坐标，也就是令0y =，解一元二次方程即可。

【答案】对于221y x x =-- 令0y =，则2210x x --=解得11x =21x =∴二次函数221y x x =--与x 轴的交点坐标为()1，()1【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线经过点()2,8，求二次函数的解析式【难度】1星【解析】通过交点确定函数的解析式，可以采用双根式。

【答案】∵220x x +-= ∴11x =，22x =-∴交点坐标为()1,0，()20-，设抛物线的解析式为()()12y a x x =-+ 将点()2,8代入得 ()()82122a =-+ 解得2a =∴二次函数的解析式为2224y x x =+-【例2】 已知抛物线()221423y k x kx k =+++-，求：（1）k 为何值时，抛物线与x 轴相交于两点，仅相交于一点、不想交？ （2）k 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点，分别在原点的两侧？ 【难度】2星【解析】判断抛物线与x 轴的交点情况，主要判断24b ac -；两交点是否在原点两侧，要由根与系数的关系来推断。

【答案】（1）()()()224442123824b ac k k k k -=-⨯+-=+ ∴当8240k +>，且()210k +≠即当3k >-且1k ≠-时，抛物线与x 轴交于两点 当8240k +=，且()210k +≠ 即当3k =-时，抛物线与x 轴交于一点当8240k +<，且()210k +≠即当3k <-时，抛物线与x 轴无交点（2）设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ∵抛物线与x 轴的两个交点分别在原点的两侧，则 240b ac ->，且120x x < 又24824b ac k -=+，()122321k x x k -=+∴()824023021k k k +>⎧⎪-⎨<⎪+⎩解得312k -<<∴当312k -<<时，抛物线与x 轴的两个交点分别在原点的两侧【巩固】（2019 武汉）已知抛物线()221y x k x k =++-与x 轴有两个交点，且这两个交点分别在直线1x =的两侧，则k 的取值范围是？【难度】2星【解析】本题要求两个交点分别在直线1x =的两侧，则两根中一根大于1，另一根小于1。

【答案】∵抛物线与x 轴有两个交点，且在直线1x =的两侧 ∴()()120110x x ∆>⎧⎪⎨--<⎪⎩即()1212010x x x x ∆>⎧⎪⎨-++<⎪⎩∴解得3k <-【巩固】m 为何值时，抛物线()2121y m x mx m =-++-与x 轴没有交点？ 【难度】1星【解析】判断函数图象与x 轴的交点情况要通过判断∆来决定。

【答案】()()2224184m m m ∆=--=- ∵图象与x 轴没有交点 ∴840m -< 所以当12m <时，函数与x 轴没有交点【例3】 已知二次函数2241y x x =--的图象与x 轴交与A 、B 两点，与y 轴交于点C ，求ABC ∆的面积 【难度】2星【解析】本题的关键是求线段AB 的长 【答案】依题意知()0,1C -21AB x x =-==∴11122ABC c S AB y ∆=⋅⋅==模块二 二次函数与一元二次不等式1. 二次函数2y ax bx c =++与一元二次不等式20ax bx c ++>及20ax bx c ++<之间的关系如下：（其中12x x < ）【例4】 已知二次函数2y x x a =-+(0)a >，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ） A ．1m -的函数值小于0 B ．1m -的函数值大于0 C ．1m -的函数值等于0D ．1m -的函数值与0的大小关系不确定【难度】2星【解析】由题意得：此二次函数与x 轴有两交点，两交点横坐标为1x ，212()x x x <，两交点的距离为d = ∵0a >，∴1d <，∵当x 取m 时，函数值小于0， ∴12x m x <<，∴1211m x x x -<-<，∴11m x -< ∴当x 取1m -时，函数值大于0【答案】B【巩固】小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式245x x -+的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x 的值，小亮负责找值为0时x 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A ．小明认为只有当2x =时，245x x -+的值为1. B ．小亮认为找不到实数x ，使245x x -+的值为0.C ．小梅发现245x x -+的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值D ．小花发现当x 取大于2的实数时，245x x -+的值随x 的增大而增大，因此认为没有最大值.【难度】2星【解析】当2451x x -+=时，解得122x x ==，故A 正确当2450x x -+=时，0∆<，故B 正确∵2245(2)1x x x -+=-+，当2x =时，有最小值1，但没有最大值.故C 错 D 正确.【答案】D【例5】 （2020 北京中考）已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.【难度】3星【解析】二次函数与方程、不等式综合.【答案】（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤． ∵k 为正整数， ∴123k =，，．（2）当1k =时，方程22410x k k ++-=有一根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，则(30)A -，，(10)B ，．依题意翻折后的图象如图所示． 当直线12y x b =+经过A 点时，可得32b =； 当直线12y x b =+经过B 点时，可得12b =-． 由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<【例6】 阅读材料，解答问题。

例：用图象法解一元二次不等式：2230x x --> 设223y x x =--，则y 是x 的二次函数 ∵10a => ∴抛物线开口向上又∵当0y =时，2230x x --= 解得11x =-，23x =∴2230x x -->的解集为1x <-或3x >（1）观察图象，直接写出一元二次不等式2230x x --<的解集是 （2）仿照上例，解一元二次不等式210x ->。