v
0C0
1
v1
0C0
2
v2
0C0
1
0C0
2
v2 v1
1
0C0
1
1
0C0
2
2
第三章 弹性波的相互作用
讨论:1)若两杆波阻抗相同,
0C0
1
0C0
2
v
1 2
v1
v2
1 2
0C0
v2
v1
v
0C0 1 v1
0C0
1
0C0 0C0
2
2
v2
v2 v1
1
0C0
1
1
0C0
2
15
第三章 弹性波的相互作用
0区: v1 0 , 1 0
2区: v2 , 2 0
3区: 33000C0C00((vv33vv21))
1 v3 2 v2
3
1 2
0C0v2
4区:
4
3
4 0 0C0 (v4
v3 )
v44
0 0
16
第三章 弹性波的相互作用
当 t L2 (C0 )2 时,B2杆中左行加载波到达自由面,反射的卸
6
第三章 弹性波的相互作用
两波相遇:右端杆速度 v1 ,左端杆速度 v2 ,
两波相遇相当于两弹性杆共轴撞击的
情况.有时也称为内撞击.
二次波:从一次波相遇处,分别向杆的 两端传播内反射波,右行二次波AB 和AD.
AB右行波经过后, 状态从1 3'
3 '1 0C0 v3 ' v1
AD左行波经过后, 状态从 2 3"
2 0
v2 2v1
结论:在自由端边界上, 入射和反射波相遇界面 处,应力为零而质点速度 加倍.
12
第三章 弹性波的相互作用
2)自由端的反射
3 1 2
v3 v1 v2
入射波 发射波
令 v1 v2 则 v3 2v1, 3 0
满足自由端反射的应力边条件, 对于法向入射波在自由端 反射时,可把端面想像成一面镜子,反射波恰好是入射波的倒 像.
5
第三章 弹性波的相互作用
一次波：
左行波过后,即跨过特征线LA,使杆处于v1,1,1 状态,1区:
1 0 0C0 (v1 0) v1 0 C0 (1 0)C0
1
E
右行波过后,跨过特征线OA,杆处于 v2,2,2 状态,2区:
2 0C0v2
2
v2 C0
2
E
13
第三章 弹性波的相互作用
3.4 有限长杆的共轴撞击
前面讨论的是无限长杆中应力波的传播,不考虑波在端面处的 反射问题.本节讨论有限长杆中应力波的传播.
例: 杆B2长为L2, 速度 v2 , 杆B1长为L1, v1 0,且 L2< L1.两杆无
初应力和应变.讨论短杆撞击长杆的问题.
v2
v1 0
反射波
入射波
11
2)自由端的反射
问题: 一初始自然状态的细长杆,在t=0时 0 刻右端受 v1 强冲击突加载荷作用,杆的左 端为自由端,讨论该杆中波的传播问题.
分析:左行拉伸入射波阵面后,1区状态:
1 0C0v1 在 t L / C0 时入射波到达杆左端自由
面,反射波过后2区的状态:
2 1 0C0 (v2 v1) 2 0
B2
B1
分析: t L2 (C0 )2 在短杆中传播的弹性波首先在自由端反 射,当t 2 L2 (C0 )2 时,该右行反射波回到撞击接触面.此后情况 与两杆波阻抗比值相关.
14
第三章 弹性波的相互作用
(1)
0C0
1
0C0
2
从短杆自由面反射的右行卸载波将如同在同一杆中传播一
样无反射地通过撞击接触面. 两杆的波速可以不同.
v0
9
第三章 弹性波的相互作用
左行入射波后1区状态:
1 0C0v1
3
t L / C0时刻,入射波达到固定端,在固定
端反射后3区状态:
3 1 0C0 (v3 v1)
由于固定端边条件 v 0 ,使得反射
波后质点运动速度为零,即 v3 0 ,得
3 1 0C0 (v3 v1) 21
8
第三章 弹性波的相互作用
3.3弹性波在固定端和自由端的反射 反射波:反射扰动. 杆中传播的应力波到达杆的另一端时,将发生波 的反射.与边界条件有关. 弹性波入射波与反射波的总效果可按叠加原理确定. 1) 固定端的反射
问题: 一初始自然状态的细长杆,在t=0时刻右端受 v1 强冲击
突加载荷作用,杆的左端固定,讨论该杆中波的传播问题.
第三章 弹性波的相互作用
3.1 两弹性波的共轴撞击
L1中:右行强间断弹性波
0
0C0
1
v
v1
(1)
L2中:左行强间断弹性波
0 0C0 2 v v2 (2)
B2
B1
1
第三章 弹性波的相互作用
碰撞面上应力和速度相等,质点速度相同(连续条件),应力相同 (作用力与反作用力互等条件)
(1)和(2)解出撞击后杆中质点的速度和应力:
3 "2 0C0 v3 " v2
7
第三章 弹性波的相互作用
在界面处有应力相等,速度相等.
3
' 3
" 3
v3 v3' v3"
两弹性波相互作用后杆中质点速度和应力为
v33
v1
1
v2
2
叠加原理:弹性波相互作用时,其结果可由两作用波分别单独传 播时的结果叠加(代数和).弹性波的控制方程是线性的,因此,叠 加原理必定成立.
若波阻抗相同,且 v1 v2 则 v 0 0c0v2
3
第三章 弹性波的相互作用
0C0
1
v1 0
v0
0c0
2
v2
相当于杆L2撞击刚壁.
2)
若
0c0
2
则 v v2
0c0
1
v2
v1
相当于刚性杆对弹性杆的撞击.
4
第三章 弹性波的相互作用
3.2 两弹性波的相互作用 研究对象:静止的自然状态的弹性杆,左右两端突加载荷v2 和v1 . 分析:从杆的左端产生右行拉伸波;杆的右端产生左行拉伸波.
v1
结论: 在固定端截面上,入射波与反射波相遇界面处质点速度
为零, 应力加倍.
10
若在 3 1 2 中 令 v2 v1 则得: v3 0, 3 21
v3 v1 v2
法向入射弹性波在固定端反 射时,可把端面想象为一面镜子, 反射波恰好是入射波的正像.两 波相互作用后,质点速度为零为 应力加倍.
载波在B2杆中传播,使杆中的状态卸载到 v 0, 0
t 2 L2 (C0 )2 时,该卸载波达到两杆接触面,使碰撞面处 的应力和速度卸载到 v 0, 0 ,碰撞结束.卸载波继续在长
杆B1中传播.
5区状态:
5
3
5 0 0C0
(v5
v3 )
v55
0 0
17
第三章 弹性波的相互作用
卸载波后,B1长杆中状态为应力为零,质点速度为零.由上 述分析可知,在长杆中一由加载强间断波阵面和卸载强间断波 阵面组成的一应力脉冲.