第06练-平面向量与复数一、单选题 1．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．12D ．-1【答案】C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，yx取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦UC ．⎡⎣D ．)(⎡⋃⎣【答案】B 【解析】 【分析】虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得22(2)1,0x y y ++=≠，yx表示圆上点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】虚数()2++x yi ，得0y ≠， 虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1，2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠，yx ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0yx ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， yx取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3BOC AOC ∠=∠=， 切线,OA OB 的斜率分别为33,33-， 所以30yx-≤<或30y x <≤. 故选:B.【点睛】本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题.4．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．12-B ．0C ．12 D．2【答案】B 【解析】 【分析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，，再计算OP OQ ⋅u u u r u u u r得到答案. 【详解】121i 1i 1i1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，，，，故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.5．已知向量a r ，b r 满足||3a =r ，||2b =r，|2|+=r r a b a r 与b r的夹角为（ ）A ．6πB ．4π C ．2 3π D ．3π 【答案】D 【解析】 【分析】转化|2|+=r r a b 222(2)4()4()a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，可得3a b ⋅=r r ，由cos ,||||a ba b a b ⋅<>=r rr r r r 即得解.【详解】222|2|(2)4()4()52a b a b a a b b +=+=+⋅+=r r r r r r r r Q又22()||9,a a ==r r 22()||4b b r r ==3a b ∴⋅=r r1cos ,2||||a b a b a b ⋅∴<>==r rr r r r,3a b π∴<>=r r故选：D 【点睛】本题考查了向量的数量积，模长和夹角运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出x,y 满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值【详解】如图可知x ，y 均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题7．如图，在ABC ∆中，12AN AC P =u u u v u u u v ，是BN 的中点，若14AP mAB AC =+u u u v u u u v u u u v，则实数m 的值是（ ）A ．14B ．1C ．12 D ．32【答案】C 【解析】 【分析】以,AB AC u u u v u u u v 作为基底表示出AP u u u v，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵P N ，分别是BN AC ，的中点，∴()111222AP AB BP AB BN AB AN AB AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u v 111224AN AB AC +=+u u u r u u u r u u u r .又14AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴12m =.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．8．已知E 为ABC V 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ma =u u u r r ，AQ nb =u u u r r ，则11m n+=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．13【答案】A 【解析】 【分析】由E 为ABC V 的重心可得，()13AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，结合已知可用,AP AQ u u u r u u u r 表示AE u u u r，然后由,,P E Q 共线可求.解：由E 为ABC V 的重心可得，()13AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r， ∵AP ma =u u u r r ，AQ nb =u u ur r ，()111133AE AB AC AP AQ m n ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∵,,P E Q 共线，11113m n ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 则113m n+=， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用，属于中等试题.二、多选题9．下面四个命题中的真命题为( ) A ．若复数z 满足1R z∈，则z ∈R B ．若复数z 满足z2∈R ，则z ∈RC ．若复数z1，z2满足12z z R ∈，则12z z =D ．若复数z ∈R ，则z R ∈ 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的基本概念，结合举例说明，逐项判定，即可求解. 【详解】 若复数z 满足1R z∈，则z R ∈，故命题A 为真命题； 复数z i =满足21z R =-∈，则z R ∉，故命题B 为假命题；若复数12,2z i z i ==满足12z z R ∈，但12z z ≠，故命题C 为假命题； 若复数z ∈R ，则z z R =∈，故命题D 为真命题. 故选：AD . 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的运算，其中解答中熟记复数的基本概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.10．设向量(),2a k =v，()1,1b =-v ，则下列叙述错误的是( )A ．若2k <-时，则a v 与b v的夹角为钝角B ．a v的最小值为2C ．与b v共线的单位向量只有一个为⎝⎭D ．若2a b =v v，则k =-【答案】CD 【解析】 【分析】根据a r 与b r 的夹角为钝角，得出0a b ⋅<r r 且a r 与b r不共线，求出k 的取值范围，可判断A 选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B 选项的正误；根据与b r共线的单位向量为b b±r r 可判断C 选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若a r 与b r 的夹角为钝角，则0a b ⋅<r r 且a r 与b r不共线，则202a b k k ⎧⋅=-<⎨-≠⎩vv ，解得2k <且2k ≠-，A 选项中的命题正确；对于B选项，2a =≥=r ，当且仅当0k =时，等号成立，B 选项中的命题正确；对于C选项，b =r b r 共线的单位向量为b b ±rr ，即与b r共线的单位向量为,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项中的命题错误； 对于D 选项，222a b ==r rQ ，即2422k +=，解得2k =±，D 选项中的命题错误.故选：CD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及向量的夹角、模长以及单位向量等相关知识，考查推理能力，属于中等题.11．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =u u u r u u u r，2AD DC =u u u r u u u r，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=-u u u r u u u r B ．0OE OC +=u u u r u u u r rC ．32OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r D ．ED u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为76【答案】BCD 【解析】 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),(3E A B C D -，设123(0,),3),(1,),(,)3O y y BO y DO y ∈==-u u u r u u u r ，BO uuu r ∥DO u u u r ，所以133y y -=-，解得：2y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=u u u r u u u r r，所以选项B 正确；22OA OB OC OE OC OE ++=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=u u u r u u u r，所以选项A 错误；1(,33ED =u u u r ，BC =u u u r ，ED u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==u u u u u u r u u u r r ，所以选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.12．有下列说法其中正确的说法为（ ）A ．若a b v v P ，b c v P v ，则a c v P v：B ．若230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，AOC S ∆，ABC S ∆分别表示AOC ∆，ABC ∆的面积，则:1:6AOC ABC S S ∆∆=；C ．两个非零向量a v ，b v ，若a b a b -=+v vv v ，则a v 与b v 共线且反向；D ．若a b v v P ，则存在唯一实数λ使得a b =λv v【答案】BC 【解析】 【分析】A 选项错误，例如0b =r r，推不出a c r r ∥，B 选项利用向量可确定O 点位置，可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16,故正确，C 选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =r r. 【详解】A 选项错误，例如0b =r r ，推不出a c r r∥，B 选项,设AC 的中点为M, BC 的中点为D, 因为230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，所以2220OM OD ⨯+=u u u u r u u u r r ,即2OM OD =-u u u u r u u u r ,所以O 是MD 的三等分点，可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的13,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16，根据三角形面积公式可知正确，C 选项两边平方可得22||||a b a b -⋅=r r r r ，所以cos ,1a b <>=-r r ，即夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =r r. 故选B C.【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.三、解答题13．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅u u u u v u u u u v；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u u v u u u u v ，并指出向量1OZ u u u u v 、2OZ u u u u v满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-u u u u v u u u u v；（2）证明详见解析，当ab cd =时. 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ u u u u r 、2OZ u u u u r计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅u u u u r u u u u r 的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r所以125OZ OZ ⋅=-u u u u r u u u u r证明（2）1z a bi =+Q ，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =u u u u r Q ，()2,OZ c d =u u u u r12OZ OZ ac bd ∴⋅=+u u u u r u u u u r ，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+u u u u r u u u u r()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++u u u u r u u u u r()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥ 所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u r u u u r ，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ u u u u r u u u u r P .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．14．在平面直角坐标系xOy 中，设向量(1,2sin )a θ=r ，(sin(),1)3b πθ=+r ，R θ∈. （1）若a b ⊥r r，求tan 2θ的值； （2）若a r //b r ，且(0,)2πθ∈，求θ的值.【答案】（1）14-；（2）6πθ=. 【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标关系，建立方程，结合正切的倍角公式进行计算即可；（2）根据向量平行的坐标公式，建立方程进行求解，即可得答案．【详解】 （1）若a b ⊥r r ，则sin()2sin 03πθθ++=，即1sin 2sin 02θθθ+=，即5sin cos 22θθ=-，则tan 5θ=-，则22tan 5tan 2312814125tan θθθ==-=-=-++． （2）若//a b r r ，则2sin sin()103πθθ+-=，即1(sin )2sin 1022θθθ+⋅-=，得2sin sin 10θθθ+-=2sin cos 0θθθ-=，即cos cos )0θθθ-=， Q (0,)2πθ∈，cos 0θ∴≠，cos 0θθ-=cos θθ=，即tan θ=， 即6πθ=．【点睛】本题主要考查向量的应用，结合向量垂直，向量平行的坐标公式，建立方程关系，结合三角函数的倍角公式进行转化是解决本题的关键，难度不大．15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =v ，(2,)n a c b =+v ，且m n ⊥u v v .（1）求角B 的大小；（2）若b =4a c +=，求ABC V 的面积.【答案】(1) 23B π=(2) 【解析】【分析】（1）由m n ⊥u r r ，得0m n ⋅=u r r，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角．（2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．【详解】 （1）∵m n ⊥u r r ，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=u r r ，即2cos cos cos 0a B c B b C ++=由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+=∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-，∴23B π= （2）由余弦定理，22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+ ∵13b =，4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac =则ABC V 的面积133sin 24S ac B == 【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题．16．在中，满足，是中点. （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值. 【答案】(1)；(2).【解析】试题分析： （1）由向量的夹角公式可求；（2），则，，由此可用表示出，从而可得最小值．试题解析：（1）设向量与向量的夹角为,,令，.（2）∵，∴，设，则.而，所以.当且仅当时，的最小值是.。