2019-2020学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷一、选择题1．“2019武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＝1B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣13．2019年下半年猪肉价格上涨，是因为猪周期与某种病毒叠加导致，生物学家发现该病毒的直径约为0.000 000 32mm，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是（）A．3.2×107B．32×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣84．下列因式分解正确的是（）A．3ax2﹣6ax＝3 （ax2﹣2ax）B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2D．ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）25．下列各式与相等的是（）A．B．C．D．6．如图等边△ABC边长为1cm，D、E分别是AB、AC上两点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在A’处，A在△ABC外，则阴影部分图形周长为（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（）A．被8整除B．被m整除C．被（m﹣1）整除D．被（2m﹣1）整除8．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．99．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB＝6，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE：AD＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（）A．6B．9C．12D．1410．已知a，b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+．①若ab＝1时，M＝N②若ab＞1时，M＞N③若ab＜1时，M＜N④若a+b＝0，则M•N≤0则上述四个结论正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题3分，共18分）11．分式的值为0，则x的值是．12．已知等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于9cm，它的周长为．13．若4•2n＝2，则n＝．14．分式方程＝的解是．15．如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点（2020，1）的是点．16．如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为．三、解答题（共8个小题，共72分）17．（1）计算：a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2（2）因式分解：9x2y+6xy+y18．已知；如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：AE＝EB．19．（l）化简：﹣（2）先化简（﹣）•，再取一个适当的数代入求值．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1，B1，C1；（2）若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为；（3）计算△ABC的面积．21．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式例如由图1可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）请回答下列问题．（1）写出图2中所表示的数学等式是；（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x，y的式子表示）．（3）通过上述的等量关系，我们可知当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越（填“大“或“小“）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越（填“大”或“小”）．22．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？23．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE 于点P．（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM．①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是．②若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．24．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，Rt△ABC中∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC＝20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．（1）在图2的△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°，请在图2中画出△ABC关于点B的二分割线，且∠DBC角度是．（2）已知∠C＝20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，∠BAC的度数是．（3）已知∠C＝a，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，请求出∠BAC的度数（用a表示）．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．“2019武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义进行分析即可．解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：C．2．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＝1B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣1【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0．解得；x≠1．故选：B．3．2019年下半年猪肉价格上涨，是因为猪周期与某种病毒叠加导致，生物学家发现该病毒的直径约为0.000 000 32mm，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是（）A．3.2×107B．32×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000 000 32＝3.2×10﹣7．故选：C．4．下列因式分解正确的是（）A．3ax2﹣6ax＝3 （ax2﹣2ax）B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2D．ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2【分析】根据分解因式的步骤：先提公因式，再用公式法进行分解，可得答案．解：A、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故原题分解错误；B、x2+y2不能分解，故原题分解错误；C、a2+2ab﹣4b2不能分解，故原题分解错误；D、ax2﹣2ax+a＝a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2，故原题分解正确；故选：D．5．下列各式与相等的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐项判断即可．解：∵＝，∴选项A不符合题意；∵═＝，∴选项B符合题意；∵＝，∴选项C不符合题意；∵＝，∴选项D不符合题意．故选：B．6．如图等边△ABC边长为1cm，D、E分别是AB、AC上两点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在A’处，A在△ABC外，则阴影部分图形周长为（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm【分析】由题意得AE＝A′E，AD＝A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC 的周长．解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，所以AD＝A′D，AE＝A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，＝BC+BD+CE+AD+AE，＝BC+AB+AC，＝3cm．故选：D．7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（）A．被8整除B．被m整除C．被（m﹣1）整除D．被（2m﹣1）整除【分析】将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除．解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5）2﹣32，＝（4m+8）（4m+2），＝8（m+2）（2m+1），∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数，∴该多项式肯定能被8整除．故选：A．8．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．9【分析】根据完全平方公式和平方差公式将a2+2ab+b2﹣c2＝10的左边因式分解得到（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，再将a+b+c＝5整体代入即可求解．解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，（a+b）2﹣c2＝10，（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，∵a+b+c＝5，∴5（a+b﹣c）＝10，解得a+b﹣c＝2．故选：A．9．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB＝6，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE：AD＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（）A．6B．9C．12D．14【分析】设AB交CD于O，连接BD，证明△ECA≌△DCB（SAS），得出∠E＝∠CDB ＝45°，AE＝BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．求出△ABC的面积．再求出OA 与OB的比值即可解决问题解：设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，如图所示：∵∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ECA＝∠DCB，在△ECA和△DCB中，，∴△ECA≌△DCB（SAS），∴∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD，∵∠EDC＝45°，∴∠CDB＝∠EDC，∵AE：AD＝1：2，∴BD：AD＝1：2，在Rt△ADB中，CA＝CB＝6，∴S△ABC＝×6×6＝18，∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM＝ON，∵＝＝＝＝2，∴S△AOC＝18×＝12；故选：C．10．已知a，b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+．①若ab＝1时，M＝N②若ab＞1时，M＞N③若ab＜1时，M＜N④若a+b＝0，则M•N≤0则上述四个结论正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】①根据分式的加法法则计算即可得结论；②根据分式的加法法则计算即可得结论；③根据分式的加法法则计算即可得结论；④根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．解：∵M＝+，N＝+，∴M﹣N＝M＝+﹣（+）＝+＝＝，①当ab＝1时，M﹣N＝0，∴M＝N，故①正确；②当ab＞1时，2ab＞2，∴2ab﹣2＞0，当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，∴M＞N或M＜N，故②错误；③当ab＜1时，a和b可能同号，也可能异号，∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，而2ab﹣2＜0，∴M＞N或M＜N，故③错误；④M•N＝（+）•（+）＝++，∵a+b＝0，∴原式＝+＝＝，∵a≠﹣1，b≠﹣1，∴（a+1）2（b+1）2＞0，∵a+b＝0∴ab≤0，M•N≤0，故④正确．故选：B．二、填空题（每题3分，共18分）11．分式的值为0，则x的值是1．【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0且x≠0，∴x＝1．故答案为1．12．已知等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于9cm，它的周长为22cm．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解：分两种情况：当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．故答案为：22cm．13．若4•2n＝2，则n＝﹣1．【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．解：∵4•2n＝22•2n＝22+n＝2，∴2+n＝1，解得n＝﹣1．故答案为：﹣1．14．分式方程＝的解是x＝9．【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘x（x﹣3），得3x﹣9＝2x，解得x＝9．检验：把x＝9代入x（x﹣3）＝54≠0．∴原方程的解为：x＝9．故答案为：x＝9．15．如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点（2020，1）的是点A，C．【分析】先作直线y＝1，以C为圆心以1为半径作圆，发现在第一次滚动过程中，点A、B经过点（2，1），同理可得，再根据每3个单位长度正好等于正三角形滚动一周即可得出结论．解：由题意可知：第一次滚动：点A、B经过点（2，1），第二次滚动：点B、C经过点（3，1），第三次滚动：点A、C经过点（4，1），第四次滚动：点A、B经过点（5，1），…发现，每三次一循环，所以（2020﹣1）÷3＝673，∴这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点（2020，1）的是点A、C，故答案为：A，C．16．如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为．【分析】可以作CG∥AB构造∠GCA＝∠CAB＝30°，再过点D作DF⊥CG交AC于点E，得EF＝CE，所以DE+CE＝DE+EF＝DF最小，根据特殊角三角函数值即可求得DF的长．解：如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，作CG∥AB∴∠GCA＝∠CAB＝30°过点D作DF⊥CG交AC于点E，∴EF＝CE所以DE+CE＝DE+EF＝DF最小，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，∴AB＝＝2∵D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝∵∠DCF＝60°∴DF＝DC•cos60°＝所以DE+CE的最小值为．故答案为．三、解答题（共8个小题，共72分）17．（1）计算：a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2（2）因式分解：9x2y+6xy+y【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法法则和积的乘方法则分别计算，再合并同类项即可；（2）先提取公因式，再套用完全平方公式．解：（1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2＝a8+a8+4a8＝6a8；（2）9x2y+6xy+y＝y（9x2+6x+1）＝y（3x+1）218．已知；如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：AE＝EB．【分析】首先利用SSS定理证明△ADB≌△BCA，再根据全等三角形对应角相等可得∠CAB＝∠DBA，再根据等角对等边可得AE＝BE．【解答】证明；∵在△ABD和△BAC中，，∴△ADB≌△BCA（SSS），∴∠CAB＝∠DBA，∴AE＝BE．19．（l）化简：﹣（2）先化简（﹣）•，再取一个适当的数代入求值．【分析】（1）根据分式的加减运算法则计算，再约分即可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝•﹣•＝3x+3﹣x+1＝2x+4，当x＝2时，原式4+4＝8．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）；（2）若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为3；（3）计算△ABC的面积．【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，则PA+PB 的最小值＝A′B，根据勾股定理即可得到结论；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知，A1的坐标为（﹣1，1）、B1的坐标为（﹣4，2）、C1的坐标为（﹣3，4）；（2）如图所示：作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，则PA+PB的最小值＝A′B，∵A′B＝＝3，∴PA+PB的最小值为3；（3）△ABC的面积＝3×3﹣×3×1﹣×1×2﹣×2×3＝，故答案为：（﹣1，1），（﹣4，2）（﹣3，4），5．21．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式例如由图1可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）请回答下列问题．（1）写出图2中所表示的数学等式是2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）；（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x，y的式子表示）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2．（3）通过上述的等量关系，我们可知当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越大（填“大“或“小“）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越小（填“大”或“小”）．【分析】（1）图b面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a，宽为b的矩形面积之和求出，表示即可；（2）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x﹣y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；解：（1）2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）；（2）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2；（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小；故答案为：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b），4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2，大，小．22．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有＝，解得：x＝30．经检验，x＝30是原方程的解，x+10＝30+10＝40．答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，解得y≤11，∵y为整数，∴y最大为11．答：他们最多可购买11棵乙种树苗．23．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE 于点P．（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM．①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是AP＝2PM．②若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△CDB，可得∠ACE＝∠CBD，由三角形的内角和定理可得结论；（2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；②延长BP至H，使PH＝PC，连接AH、CH，延长PM＝MN，连接CN，由“SAS”可证△ACH≌△BCP，可得AH＝BP，∠AHC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可证△CMN ≌△BMP，可得CN＝BP＝AH，∠NCM＝∠PBM，由“SAS”可证△AHP≌△NCP，可得AP＝PN＝2PM；【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，且AE＝CD，∴△AEC≌△CDB（SAS）∴∠ACE＝∠CBD，∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝180°﹣∠ACB＝120°；（2）①AP＝2PM，理由如下：∵△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，∴PB＝PC，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，在Rt△PMC中，PC＝2PM，∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，∴AP＝PC，∴AP＝2PM；故答案为：AP＝2PM；②仍然成立，理由如下：延长BP至H，使PH＝PC，连接AH、CH，延长PM＝MN，连接CN，如图3所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，∴△PCH是等边三角形，∴CH＝PH＝PC，∠PCH＝∠PHC＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCH，∴∠BCP＝∠ACH，且AC＝BC，CP＝CH，∴△ACH≌△BCP（SAS），∴AH＝BP，∠AHC＝∠BPC＝120°，∴∠AHP＝120°﹣60°＝60°，∵点M是边BC的中点，∴CM＝BM，且MN＝PM，∠CMN＝∠PMB，∴△CMN≌△BMP（SAS），∴CN＝BP＝AH，∠NCM＝∠PBM，∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，∴∠NCP＝60°＝∠AHP，且CN＝AH，CP＝PH∴△AHP≌△NCP（SAS），∴AP＝PN＝2PM．24．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，Rt△ABC中∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC＝20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．（1）在图2的△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°，请在图2中画出△ABC关于点B的二分割线，且∠DBC角度是20°．（2）已知∠C＝20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，∠BAC的度数是35°．（3）已知∠C＝a，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，请求出∠BAC的度数（用a表示）．【分析】（1）首先了解二分割线的定义，然后把∠ABC分成90°角和20°角即可；（2）可以画出∠A＝35°的三角形；（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．解：（1）如图所示：∠DBC＝20°，故答案为：20°（2）如图所示：∠BAC＝35°故答案为：35°；（3）如图，若∠ABC是最大角时，△DBC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，∵DB＝DC，∴∠C＝∠DBC＝α，∴∠ADB＝2α，且∠ABD＝90°，∴∠BAC＝90°﹣2α，如图，△ABD是等腰三角形，△DBC是直角三角形，∵∠BDC＝90°﹣α，且AD＝BD，∴∠BAC＝∠DBA＝45°﹣，若∠BAC是＝90°，满足题意，故∠BAC＝90°或90°﹣2α或45°﹣．。