2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对【答案】A【解析】列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得2019a 的值. 【详解】 依题意23411231141115,1,154a a a a a a a =-==-==-=-=，故数列是周期为3的周期数列，故2019345a a ==，故选A. 【点睛】本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.2．向量(2,)a t =v，(1,3)b =-v ，若a v ，b v 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ）A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-【答案】C【解析】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，230a b t =-+<v v n ，得23t <. 向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C. 【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.3．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC V 为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得222222cos ,cos 22c b a c a b A B bc ac +-+-==代入原式得2222222222222222,22222c a b c b a c b a c a b c b a a c bc c ac bc-++-+--++-=-=解得2220a b c a b 或=-+= 则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.5．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v在向量a v 方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r),=0，即()2·20a a b +=vv v即a r g b r=﹣2∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=vv v =﹣1，故选B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．6．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ） A ．48πB ．12πC ．12πD ．3π【答案】D【解析】先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R∴=,所以ABC∆的外接圆面积为=3ππ.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．已知数列{a n}中，a n＝n2－kn(n∈N)，且{a n}单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，2]B．(－∞，2)C．(－∞，3]D．(－∞，3)【答案】D【解析】根据函数的单调性可得a n+1﹣a n＞0对于n∈N恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．【详解】∵数列{a n}中()2*na n kn n N=-∈，且{a n}单调递增∴a n+1﹣a n＞0对于n∈N恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）=2n+1﹣k＞0对于n∈N恒成立∴k＜2n+1对于n∈N恒成立，即k＜3故选D．【点睛】本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．8．在ABCV中，已知,2,60a xb B===o，如果ABCV有两组解，则x的取值范围是( )A．23⎛⎫⎪⎪⎝⎭，B．23⎡⎢⎣⎦，C．23⎡⎢⎣⎭，D．2,3⎛⎝⎦【答案】A【解析】已知,,a b B，若ABCV有两组解，则sina Bb a<<，可解得x的取值范围. 【详解】由已知可得sina Bb a<<，则sin602x x︒<<，解得23x<<.故选A.【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解.9．一艘海轮从A 处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东15°的方向直线航行，20分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察此灯塔，其方向是南偏东60°，在B 处观察，灯塔在其正东方向，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A ．102海里 B ．103海里C ．202海里D ．203海里【答案】C【解析】由题意画出图形，利用正弦定理即可直接得解. 【详解】如图所示，易知，在ABC V 中，20AB =海里，45CAB ∠=︒，30ACB ∠=︒， 根据正弦定理得sin 45sin 30BC AB=︒︒，解得202BC =（海里）．故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理的实际应用，关键是转化出条件，属于基础题.10．若||1OA =u u u v ，||3OB u u u v 0OA OB ⋅=u u u v u u u v，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ）A ．13B ．3C 3D 3【答案】B【解析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】解：30AOC ︒∠=Qcos ,2OC OA ∴<>=u u u r u u u rOC OA OC OA⋅∴=u u u r u u u r u u u r u u u r ()2mOA nOB OA mOA nOBOA+⋅∴=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r2= 1OA =u u u r Q，OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u ur= 229m n ∴=又C Q 在AB 上0m ∴>，0n >3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．11．若等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若*n N ∀∈，都有10n S S ≤，则（ ） A ．0d > B ．9100a a ⋅>C ．217S S >D ．190S ≥【答案】D【解析】由*n N ∀∈，都有10n S S ≤，可得10110,0,0d a a <≥≤，再根据等差数列的性质即可判断. 【详解】Q 等差数列{}n a 的公差0d ≠，*n N ∀∈，都有10n S S ≤，10110,0a a ∴≥≤，()1191019101919219022a a a S a +⨯∴===≥.故选：D . 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.12．给定两个单位向量OA u u u v ，OB uuu v ，且3OA OB ⋅=-u u u v u u u v，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，OC xOA yOB =+u u u v u u u v u u u v，则3x y -的最小值为（ ）A ．3-B ．1-C ．2-D ．0【答案】B【解析】给定两个单位向量OA u u u v ，OB uuu v ，且3OA OB ⋅=-u u u v u u u v 则56AOB π∠=，建立如图所示的坐标系，则A （1，0），B （cos150°，sin150°），即312B ⎫-⎪⎪⎝⎭设∠AOC=5,06παα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ ，则()cos ,sin OC αα=u u u v 因为OC xOA yOB =+u u u v u u u v u u u v 则3cos cos 32,12sin sin 2x y x y y ααααα⎧-=⎪⎧=+⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩， 3x y -)3cos 32sin 3sin 2sin 3παααααα⎛⎫-=+=+⎪⎝⎭因为506πα≤≤，[]71sin ,131,233632x y ππππαα⎛⎫⎡⎤≤+≤∴+∈--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 所3x y -有最小值-1.故选B二、填空题13．下列命题中正确的有________.(填序号) ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若 =a b r r ，则a b=r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r； ⑤若a b =r r，b c =rr，则a c =r r；⑥若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r ；【答案】④⑤【解析】根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案. 【详解】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；=a b r r ,由于 a r 与b r 方向不确定，所以 a r与b r 不一定相等，故②不正确；AB DC =u u u r u u u r，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确；在▱ABCD 中，,//AB CD AB CD =,所以一定有AB DC =u u u r u u u r，所以④正确；⑤显然正确；零向量与任一向量平行，故//a b r r ，//b c r r时，若0b =r r，则a r 与c r不一定平行，故⑥不正确．故答案为：④⑤. 【点睛】本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题.14．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为)2224a b c --，则A =____________. 【答案】23π（或120︒） 【解析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 【详解】解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC的面积为)2224a b c --cos A ， 又因为S △ABC ＝1sin 2bc Acos A ， 所以tan A由A ∈（0，π）可得A ＝23π． 故答案为：23π. 【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题． 15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则2020S =_______． 【答案】12020【解析】代入11n n n a S S ++=-,再证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,继而求得1n S 的通项公式再计算2020S 即可.【详解】因为11n n n a S S ++=-,所以,11n n n n S S S S ++-=-,即：1111n n S S +-=,所以,数列｛1nS ｝是以1为首项,1为公差的等差数列, 所以,1n S ＝1＋（n －1）×1＝n ,所以,1n S n =,所以,202012020S =故答案为：12020【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题. 16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，若ABC △的面积为4，则当a c +的值最小时ABC △的周长为____________．【答案】【解析】由222sin sin sin sin sin A C B A C +=+及正弦定理可得222a c b ac +=+，所以由余弦定理的推论可得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为0B π<<，所以3B π=．因为ABC V 的面积为4，所以11sin sin 22344ac B ac ac π===，即3ac =，所以a c +≥=a c ==a c +的最小值为此时a c =，3B π=，所以ABC V 是等边三角形，故a c +的值最小时ABC V 的周长为．三、解答题17．已知a r ，b r ，c r在同一平面内，且()1,2a =r .（1）若||c =r //c a r r，求c r ；（2）若||b =r ()()22a b a b +⊥-r r r r ，求a r 与b r 的夹角.【答案】（1）(2,4)c =r 或(2,4)c =--r（2）π.【解析】（1）设(),c x y =r，根据//c a r r ，得到 20x y -=，再根据||c =r方程组求解.（2）根据22a b a b +⊥-rrrr，得到(2)(2)0a b a b +⋅-=r r ，结合2||5a =r，||b =求得a b ⋅rr ，再求夹角. 【详解】（1）设(),c x y =r，//c a r rQ ，(1,2)a =r， ∴20x y -=，∴2y x =，∵||c =r=∴2220x y +=，即22420x x +=， ∴24x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=-⎩∴(2,4)c =r或(2,4)c =--r. （2）∵22a b a b +⊥-rrrr， ∴(2)(2)0a b a b +⋅-=r r， ∴222320a a b b +⋅-=rrrr ，即222||32||0a a b b +⋅-=rr r r又∵2||5a =r，225||24b ==r， ∴5253204a b ⨯+⋅-⨯=rr ，∴52a b ⋅=-rr ，∵||a =r||2b =r∴5cos 1||||a ba b θ-⋅===-⋅r r r r∵[]0,θπ∈，∴θπ=. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+． （1）求B 的大小；（2）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）23B π= （2）1sin 2ABC S ac B ∆== 【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出3ac =，再利用三角形的面积公式进行求解. 试题解析：（Ⅰ）由cos cos 2B b C a c =-+ cos sin cos 2sin sin B BC A C⇒=-+ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒=--()2sin cos sin A B B C ⇒=-+ 2sin cos sin A B A ⇒=- 1cos 2B ⇒=-又0πB <<，所以2π3B =. （Ⅱ）由余弦定理有()22222π2cos 22cos 3b ac ac B a c ac ac =+-=+-- ，解得3ac =，所以1sin 2ABC S ac B V ==点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的()22222π2cos 22cos3b ac ac B a c ac ac =+-=+--. 19．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，310a =，1111S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及此时n 的值.【答案】（1）319n a n =-+；（2）当6n =时，n S 有最大值为651S =【解析】（1）根据已知条件列出关于1,a d 的方程组，求解出1,a d 即可求出通项公式； （2）利用0d <对应{}n a 为递减等差数列，根据10n n a a +≥⎧⎨≤⎩确定出n 的取值，从而n S 的最大值以及取最大值时n 的值都可求. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由310a =可得1210a d +=，由1111S =可得1115511a d +=，所以1121051a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1163a d =⎧⎨=-⎩，所以16(1)(3)319n a n n =+-⨯-=-+；（2）由131903160n n a n a n +=-+≥⎧⎨=-+≤⎩，解得161933n ≤≤，所以当6n =时，n S 有最大值，此时最大值为651S =. 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将n S 的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出n S 的最大值以及取最大值时n 的值.20．已知向量33cos ,sin 22x x a r ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求a b ⋅r r 及a b +r r ；（2）若()sin f x a b b x =⋅+r rr r ，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）2,2cos a b cos x a b x r rr r n =+= （2）()min 2f x =- ；()max 1f x =【解析】试题分析：(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算法则可得：cos2a b x ⋅=r r ， 2cos a b x +=r r . (Ⅱ)首先化简函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得()min 2f x =- ；()max 1f x =. 试题解析：（1）33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭rra b +==rrQ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos 0x ∴≥∴ 2cos a b x +=rr（2）由（1）知：()cos22cos sin f x x x x =⋅cos22cos 23x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()min 2233x x f x 当即时，πππ∴+===-()max 2=0133x x f x ππ+==当即时，21．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos B CA B C+=+.（1）求角A 的大小； （2）若a =22b c +的取值范围.【答案】(1) 3A π=； (2) (5,6].【解析】（1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角A 的大小；（2）先求得 B +C=23π，根据B 、C 都是锐角求出B 的范围，由正弦定理得到b=2sinB ，c=2sinC ，根据 b 2+c 2=4+2sin （2B ﹣6π） 及B 的范围，得 12＜sin （2B ﹣6π）≤1，从而得到b 2+c 2的范围． 【详解】 （1）由sinA cosA =sinB sinCcosB cosC++ 得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC ， 即sin （A ﹣B ）=sin （C ﹣A ）， 则A ﹣B = C ﹣A ，即2A=C+B ， 即A=3π．. （2）当∵B+C=23π，∴C=23π﹣B ．由题意得 22032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜， ∴6π＜B ＜2π．由 a b c sinA sinB sinC ===2，得 b=2sinB ，c=2sinC ， ∴b 2+c 2=4 （sin 2B+sin 2C ）=4+2sin （2B ﹣6π）．∵6π＜B ＜2π，∴12＜sin （2B ﹣6π）≤1，∴1≤2sin （2B ﹣6π）≤2．∴5＜b 2+c 2≤6．故22b c +的取值范围是(]5,6. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断sin （2B ﹣6π）的取值范围是本题的难点．22．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且()2*,,n n n a S a n N∈成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明（1）中的猜想；（3）设102n n b a =-，n T 为数列{}||n b 的前n 项和，求n T .【答案】（1）11a =，22a =，33a =，猜想n a n =（2）证明见解析（3）229,15940,6n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩【解析】（1）由22n nn a a S +=，分别令1,2,3n n n ===求解，猜想n a n =.（2）利用数列的通项与前n 项和的关系证明，分2n ≥和1n =两种情况讨论.（3）根据102n b n =-，分15n ≤≤和6n ≥两种情况讨论求解. 【详解】（1）由已知22n nn a a S +=所以11a =，22a =，33a =， 猜想n a n =.（2）证明当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --=数列{}n a 为等差数列， 又由（1）11a =，22a = 所以()*n a n n =∈N . （3）102n b n =-，当15n ≤≤时，()()12128102 (92)2n n n n b b n n T b b b n n ++-=+++===-+当6n ≥时，()()()2125612516......2 (940)n n n T b b b b b b b b b b b n n =+++-++=+++-++++=-+∴229,15940,6n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩. 【点睛】本题主要考查数列的通项与前n 项和的关系以及等差数列的求和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。