2020届高考数学仿真押题卷——四川卷(文理合卷2)第Ⅰ卷一.选择题:本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}11,lg(2)M y y x x N x y x ==++-==-,则()N M I ðR 为( )A .∅B .MC .ND .{2}2.(理)已知,x y ∈∈R R ,i 为虚数单位,且[(2)i +](1i)20081004i x y --=-,则1i 1i x y++⎛⎫⎪-⎝⎭的值为 ( ) A .20102B .-1C .2020+2020iD .20102i(文)已知数列{}n a 的前n 项和是(0n n S a m a =-≠且1)a ≠,那么“数列{}n a 是等比数列”的充要条件是( ) A .1m =B .1m ≥C .1m ≤D .m 为任意实数3.已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切,圆心在直线0x y +=上,则圆C 的方程为A .22(1)(1)2x y ++-=B .22(1)(1)2x y -++=C .PF PA +D .22(1)(1)2x y +++=4.设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如图所示,则()y f x =的图象最有可能的是5.若函数22()cos ()sin ()y a b x a b x x =++-∈R 的值恒等于2,则点(,)a b 关于原点对称的点的坐标是 ( ) A .(2,0)B .(-2,0)C .(0,-2)D .(-1,1)6.在长方体1111ABCD A B CD -中,11,AA AD DC ===1AC 与11D C 所成的角的正切值为 ( ) AB CD 7.如图,正五边形ABCDE 中,若把顶点,,,,A B C D E 种,使得相邻顶点所染颜 色不同,则不同的染色方法共有( ) A .30种 B .27种 C .24种D .21种8.已知,,A B C 是平面上不共线的三点,O 为平面ABC 内任一点,动点P 满足等式1[(1)(1)3OP OA OBλλ=-+-u u u r u u u r u u u r(12)](OC λλ++∈u u u r R 且0)λ≠,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A .内心B .垂心C .重心D .AB 边的中点9.已知函数()f x =1201x x <<<,则( ) A .1212()()f x f x x x >B .1212()()f x f x x x =C .1212()()f x f x x x <D .无法判断11()f x x 与22()f x x 的大小10.定义:若数列{}n a 为任意的正整数n ,都有1(n n a a d d ++=为常数),则称{}n a 为“绝对和数列”,d 叫做“绝对公和” .已知“绝对和数列”{}n a 中,12a =,绝对公和为3,则其前2020项的和2009S 的最小值为( )A .-2020B .-3010C .-3014D .302811.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点,M 为双曲线上除顶点外的任意一点,且12F MF ∆的内切圆交实轴于点N ,则12||||F N NF g 的值为( ) A .2bB .2aC .2cD12.函数()f x 的定义域为D ,若对于任意12,x x D ∈,当12x x <时,都有12()()f x f x ≤,则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件: ①(0)0f = ②1()()32x f f x = ③(1)1()f x f x -=-则11()()38f f +等于( )A .34B .12C .1D .23第Ⅱ卷二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13.31nx ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27,则n 等于 ;系数最大的项是第 项.14.若数列{}n a 满足112,(1)2n n a na n a +=-+=,则数列{}n a 的通项公式n a = .15.(理)若函数321()3f x x a x =-满足:对任意12,[0,1]x x ∈都有12()()1f x f x -≤恒成立,则a 的取值范围是 .(文)过曲线2(0)xy a a =≠上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是 .16.(理)已知s 是正实数,如果不等式组:00x y s x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的区域内存在一个半径为1的圆,则s 的最小值为 .(文)tan18tan 42tan120tan18tan 42tan 60++=o o oo o o.三.解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且1cos 2a C cb +=. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若1a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围.18.(本小题满分12分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元;停在B 区域返券30元;停在C 区域不返券. 例如:消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和.(Ⅰ)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率;(Ⅱ)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为X (元).求随机变量X 的分布列和数学期望.第18题图19.(本小题满分12分)如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C⊥底面ABC ,112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. (Ⅰ)证明:1A O ⊥平面ABC ;(Ⅱ)求直线1AC 与平面1A AB 所成角的正弦值; (Ⅲ)在1BC 上是否存在一点E ,使得//OE 平面1A AB ,若不存在,说明理由;若存在,确定点E 的位置. 20.(本小题满分12分)如图,设抛物线21:4(0)C y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,焦点为2F ;以12,F F 为焦点,离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的交点为P ,延长2PF 交抛物线于点Q ,M 是抛物线1C 上一动点,且M 在P 与Q1ABCO A 1B 1C 第19题图之间运动.(Ⅰ)当1m =时,求椭圆2C 的方程;(Ⅱ)当12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数时,求MPQ ∆面积的最大值.21.(本小题满分12分) 已知数列{}n x 满足14x =,21324n n n x x x +-=-.(Ⅰ)求证:3n x >; (Ⅱ)求证:1n n x x +<; (Ⅲ)求数列{}n x 的通项公式. 22.(本小题满分12分)PyxQ第20题图已知函数1ln ()xf x x+=. (Ⅰ)若函数在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)如果当1x ≥时,不等式()1kf x x ≥+恒成立,求实数k 的取值范围;(Ⅲ)求证[]22(1)(1)()n n n e n -*+>+⋅∈!N .参考答案一:1-5 D (理)B (文)A BCB 6-10 BADCB 11-12 AA 二: 13.【答案】:9 5 14.【答案】:4n-215.【答案】:(理)⎡⎢⎣⎦ (文)22a16.【答案】:(理)2+(文)-1三:17.解:(Ⅰ)由1cos 2a C cb +=得1sin cos sin sin 2A C CB += …1分 又()sin sin sin cos cos sin B AC A C A C =+=+ …3分1sin cos sin 2C A C ∴=,sin 0C ≠Q ,1cos 2A ∴=, 又0A <<πQ 3A π∴= …5分(Ⅱ)由正弦定理得:sinsin a B b B A ==,c C =…7分 )())1sin sin 1sin sinl a b c B C B A B =++=+=++112cos 2B B ⎫=++⎪⎪⎝⎭12sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,3A π=Q 20,,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭5,666B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3.…10分(Ⅱ)另解:周长l 1a b c b c =++=++ 由(Ⅰ)及余弦定理2222cos a b c bc A =+-221b c bc ∴+=+22()1313()2b c b c bc +∴+=+≤+ 2b c +≤又12b c a l a b c +>=∴=++> 即ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3.…10分18.解:设指针落在A,B,C 区域分别记为事件A,B,C . 则111(),(),()632P A P B P C ===.…3分(Ⅰ)若返券金额不低于30元,则指针落在A 或B 区域.111()()632P P A P B ∴=+=+=…6分即消费128元的顾客,返券金额不低于30元的概率是12. (Ⅱ)由题意得,该顾客可转动转盘2次. 随机变量X 的可能值为0,30,60,90,120.…7分111(0)224P X ==⨯=; 111(30)2233P X ==⨯⨯=;11115(60)2263318P X ==⨯⨯+⨯=;111(90)2369P X ==⨯⨯=;111(120)6636P X ==⨯=.…10分所以,随机变量X 的分布列为:其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .…12分19.解:(Ⅰ)证明:因为11A A AC =,且O 为AC 的中点, 所以1AO AC ⊥.…1分又由题意可知,平面11AAC C ⊥平面ABC ,交线为AC ,且1A O ⊂平面11AAC C , 所以1A O ⊥平面ABC .…4分(Ⅱ)如图,以O 为原点,1,,OB OC OA 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.由题意可知,112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥; 112OB AC ∴==. 所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B -则有:11(0,1,(1,1,0).AC AA AB ===u u u u r u u u r u u u r设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ,则有 10000AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u ru u u rn n ,令1y =,得1,x z =-= 所以(1,1,=-n .…6分 1第19题图111cos ,|||A C A C A C ⋅<>==u u u u ru u u u r u u u u r n n |n因为直线1AC 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1AC u u u u r所成锐角互余,所以sin θ= …8分(Ⅲ)设0001(,,),,E x y z BE BC λ==u u u ru u u u r即000(1,,)(x y z λ-=-,得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=-u u u r…10分令//OE 平面1A AB ,得=0OE ⋅u u u rn ,即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ,E 为1BC 的中点.…12分20.解:(Ⅰ)当1m =时, 24y x =,则12(1,0),(1,0)F F -设椭圆方程为22221(0x y a b a b +=>>),则1,c =又12c e a ==,所以22,3a b ==所以椭圆C 2方程为22143x y += …4分(Ⅱ)因为c m =,12c e a ==,则2a m =,223b m =,设椭圆方程为2222143x y m m +=由222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22316120x mx m +-= …6分即(6)(32)0x m x m +-=,得23P mx =代入抛物线方程得p y =,即2(3m P 212557,24333p m m m PF x m PF a PF m =+==-=-=,12623mF F m ==, 因为12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数,所以3m =…8分此时抛物线方程为212y x =,(2,P ,直线PQ方程为:3)y x =--.联立23)12y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩,得2213180x x -+=,即(2)(29)0x x --=,所以92Q x =,代入抛物线方程得Q y =-,即9(,2Q -∴252PQ ==. 设2(,)12t M t 到直线PQ 的距离为d,(t ∈-则2752d t ==- …10分当t =max 752d =即MPQ ∆面积的最大值为12522⨯. …12分 21.解:(Ⅰ) 证明:用数学归纳法证明 1)当1n =时, 143x =>.所以结论成立. 2)假设(1)n k n =≥时结论成立,即3n x >,则2213(3)3302424n n n n n x x x x x +---=-=>--.所以13n x +>.即1n k =+时,结论成立.由1)2)可知对任意的正整数n ,都有3n x >.…4分(Ⅱ)证明:221343(1)(3)242424n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +--+-----=-==---.因为3n x >,所以(1)(3)024n n n x x x ---<-,即10n n x x +-<.所以1n n x x +<.…8分(Ⅲ)解:2213(1)112424n n n n n x x x x x +---=-=--,2213(3)332424n n n n n x x x x x +---=-=--,所以21111()33n n n n x x x x ++--=--. 又111413343x x --==--, 所以133111log 2log 33n nn n x x x x ++--=--.…10分又1311log 13x x -=-, 令31log 3n n n x a x -=-,则数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列. 所以12n n a -=. 由31log 3n n n x a x -=-,得133n a n n x x -=-. 所以11121231313131n n n n a n a x --++--==--.…12分22.解:(Ⅰ)因为1ln ()x f x x+=,0x > ,则ln ()xf x x'=-,… 1分当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<.所以()f x 在(0,1)上单调递增;在(1,)+∞上单调递减,所以函数()f x 在1x =处取得极大值.… 2分因为函数()f x 在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值,所以1,112a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得11.2a <<… 4分(Ⅱ)不等式()1kf x x ≥+, 即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )(),x x g x x++=所以22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln (),x x x x x x xg x x x '++-++-'==…6分令()ln ,h x x x =-则1()1h x x'=-,1,()0.x h x '≥∴≥Q ()h x ∴在[1,)+∞上单调递增,min [()](1)10h x h ∴==>, 从而()0g x '>故()g x 在[1,)+∞上也单调递增,min [()](1)2g x g ∴==,所以2k ≤…8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知:2()1f x x >+恒成立,即122ln 11,11x x x x x -≥=->-++ 令(1)x n n =+,则2ln[(1)]1(1)n n n n +>-+,所以 2ln(12)1,12⨯>-⨯ 2ln(23)1,23⨯>-⨯ 2ln(34)1,34⨯>-⨯ ………… ……2ln[(1)]1(1)n n n n +>-+.叠加得:22ln[123⨯⨯⨯ (211)(1)]2[1223n n n ⨯+>-++⨯⨯…1](1)n n + 112(1)2211n n n n n =-->-+>-++… 10分则22123⨯⨯⨯…22(1)n n n e -⨯+>,所以[]22(1)(1)()n n n e n -*+>+⋅∈!N…12分。