一、 空间曲线的参数化若积分曲线Γ的参数方程 ],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x Γ，：,则曲线积分的计算公式为⎰⎰'=++βα)())(),(),(({d d d t x t z t y t x P z R y Q x P Γ}d )())(),(),(()())(),(),((t z t z t y t x R t y t z t y t x Q '+'+],[d )()()())()()((d )(222βαβα∈'+'+'=⎰⎰t t t z t y t x t ,z t ,y t x f s x,y,z f Γ，曲线积分计算的关键是如何将积分曲线Γ参数化。
下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。
1. 设积分曲线⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F Γ：,从中消去某个自变量,例如z ，得到Γ在 xoy 平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程),(),(t y y t x x ==然后将它们代入0),,(0),,(==z y x G z y x F 或中，解出)(t z z =由此得到Γ的参数方程：],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x ，。
例1将曲线⎩⎨⎧==++yx a z y x Γ2222：，(其中0>a )用参数方程表示。
解：从Γ的方程中消去y ，得到xoz 平面上的投影曲线2222a z x =+,这是椭圆，它的参数方程为]2,0[,sin ,cos 2π∈==t t a z t ax ，将其代入Γ的方程，得到第七讲 曲线积分与曲面积分t a y cos 2=,所以Γ的参数方程为]2,0[,sin cos 2cos 2π∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t t a z t a y t a x Γ：。
2. 若Γ的方程中含有园、椭圆或球的方程时，要充分利用园、椭圆或球的 所熟知的参数方程先将其参数化，再代入Γ的另一方程，求出另一变量的参数表达式。
例2 将曲线⎩⎨⎧=++=ayy x y x z Γ22222：，(其中0>a )用参数方程表示。
解：Γ在xoy 平面的投影曲线为ay y x 222=+,这是一个圆，先将其参数化。
因为22222)(2a a y x ay y x =-+⇒=+,所以它的参数方程为]2,0[t sin cos π∈⎩⎨⎧+==，ta a y ta x ，将其代入22y x z +=得 ]2,0[t )sin 1(2)sin ()cos (222π∈+=++=，t a t a a t a z所以Γ的参数方程为]2,0[,)sin 1(2sin cos 2π∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+==t t a z t a a y t a x Γ：。
例3 对例1加一个条件0≥x ，求它的参数方程。
解：2222a z y x =++是球面，引入球坐标，],0[],2,0[,cos sin sin cos sin πϕπθϕθϕθϕ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧===a z a y a x由于x y =得)0(4cos sin ≥=⇒=x ，πθθθ，故],0[,cos sin 22sin 22πϕϕϕϕ∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===a z a y a x 二、曲线积分的计算1.注意到曲线积分的被积函数),(y x f 是定义在积分曲线上的，因此它的自变量应满足积分曲线方程，所以首先可用积分曲线方程0),(=y x L ϕ：去化简被积函数。
2.对称性的应用(以第一类平面曲线积分为例)(1)曲线L 关于x 轴对称，是指),(),(y x y x -=ϕϕ,换句话说，若,),(L y x ∈则它的对称点L y x ∈-),(；(2)曲线L 关于y 轴对称，是指),(),(y x y x -=ϕϕ,换句话说，若,),(L y x ∈则它的对称点L y x ∈-),(；(3)曲线L 关于原点对称，是指),(),(y x y x --=ϕϕ,换句话说，若,),(L y x ∈则它的对称点L y x ∈--),(；(4)曲线L 关于直线x y =对称(或直线x y -=对称)，是指),(),(x y y x ϕϕ=,(或),(),(x y y x --=ϕϕ),换句话说，),(),(x y y x 与互为对称点，),(),(x y y x --与互为对称点。
若曲线积分⎰Ls y x f )d ,(的被积函数),(y x f 在任意的对称点处的函数值互为相反数，则0)d ,(=⎰Ls y x f ；在任意的对称点处函数值都相等，则⎰⎰=1)d ,(2)d ,(L Ls y x f s y x f ，其中1L 是相应对称积分曲线的一半。
例1 计算 (1)⎰++Ly x x ds )(22,其中：L )0(222>=+a a y x ; (2) ⎰++++Ly x y x xy ds )]34(sin 432[2222π,其中：L 13422=+y x ,周长为a 。
解：(1)由于L 关于y 轴对称，被积函数x 在对称点处的函数值互为相反数，所以0ds =⎰Lx 。
由于L 关于直线x y =对称，函数22y x -在对称点处互为相反数,所以0)ds (22=-⎰Ly x ,即⎰⎰=LLy x ds ds 22，从而有 32222ds 21)ds (21ds a a y x x LL Lπ==+=⎰⎰⎰ 由于L 的参数方程为]2,0[sin cos πθθθ∈==，，y a x ，所以⎰⎰⎰⎰==+=πππθθθθθθθθ0452045202222444d sin 2d sin d sin cos sin ds aaa a a y L5524522-454543224134d sin 4d sin 2d sin 2a a a aaππθθθθθθππππ=⋅⋅====⎰⎰⎰.（2）⎰++++Ly x y x xy ds )]34(sin 432[2222π⎰⎰++++=LL y x y x xy ds )]34(sin 121)34[(12ds 22222πa L12ds )sin 1211(120=++=⎰π. 其中L 关于x 轴对称，且2xy 在对称点处的值互为相反数，所以0ds 2=⎰Lxy .例2设⎩⎨⎧≤≤=其它020e ),(y-x y x f y-x，求弧长的曲线积分⎰Ls y x f )d ,(，其中L 为正方形1||||=+y x 的边界。
解：如图⎰⎰=ABEFGy-x Ls s y x f d e )d ,(,由于折线ABEFG 对关于直线x y -=对称，且在对称点上有),(),(x y f y x f --=,所以)d e d e (2d e 2)d ,(⎰⎰⎰⎰+==BEy-x ABy-x ABEy-x Ls s s s y x f]1,21[1:∈⎩⎨⎧==x -x y x x AB ，,)1e (22d 2ed e 1-12121-==⎰⎰x s x-AB y-x ； ]0,21[-1:∈⎩⎨⎧+==x x y x x BE ，,e,22d 2e d e 021==⎰⎰-x s BEy-x原式)1e e (2)d e d e (2d e 2-1-+=+==⎰⎰⎰BEy-x ABy-x ABEy-x s s s 。
例3 计算⎰++Γs y z y d )2(222，其中)0(2222>⎩⎨⎧==++a x y a z y x Γ，：。
解：(1)由于在Γ上x y =，所以⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+++=++ΓΓΓΓΓs y a s y s a s y z y x s y z y d 2d d d )(d )2(2222222222π 由例1Γ的参数方程为]2,0[,sin ,cos 2,cos 2π∈===t t a z t ay t a x Γ：,则 2tdt cos 2dt )sint ()cost 2()cost 2()cost 2(d 320232022222aa a a a a s y Γπππ=='+'+'=⎰⎰⎰.所以3222222d )2(a a s y z y Γππ+=++⎰。
3. 格林公式的应用⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+DLy x yQ x P y y x Q x y x P d )d (d ),(d ),( (1) 若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线(或曲线)使之构成封闭曲线，再应用格林公式；(2) 若封闭曲线L 所围成的区域D 内有“奇点”,则在奇点外成立yQx P ∂∂=∂∂等式的条件下，有⎰⎰+=+εL Ly y x Q x y x P y y x Q x y x P d ),(d ),(d ),(d ),(成立，其中L ε是围绕奇点的正向简单闭曲线，通常是园或椭圆等。
例1 设,}10,10),,({≤≤≤≤=y x y x D 记L 为它的正向边界曲线。
证明：2d e d e d e d e sinx -sin -sinx sin ≥-=-⎰⎰Ly Ly x y y x x y y x证：由格林公式得 ⎰⎰⎰⎰⎰+=∂-∂-∂∂=-Dy D y Lyy x y x y y x x x y y x d )d e e [(d ]d )e ()e ([d ed esinx -sin sinx -sin sinx-sin2d d e e 2d )d e e [(sinx -sinx sinx -sinx =⋅≥+=⎰⎰⎰⎰DDy x y x其中⎰⎰⎰⎰=DDy x y x d d e d d e -siny -sinx ，是由于D 是关于直线x y =对称，即⎰⎰⎰⎰=DDx y f y x f σσ)d ,()d ,(。
同理可证2d e d e -sinx sin ≥-⎰Ly x y y x 。
两积分相等可由格林公式得出。
例2 计算⎰+-Ly x xy y x 224d d ，其中L 是以(1,0)为中心R (R >1)为半径的正向圆周。
解：首先验证yyx yy x y x x y x x ∂+-∂=++-=∂+∂)4()4(4)4(222222222成立。
由于在L 为边界的闭区域D 内222244y x yy x x +-+，有不连续点(0,0)，因此在D 内部作正向闭曲线2224εε=+y x L ：，其中ε充分小，所以ππεεεεεε22d d 2d d 14d d 4d d 22222222=⋅==-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰DL L L y x x y y x y x x y y x y x x y y x例3. 已知关于坐标的曲线积分A y x xy y x L=+-⎰2)(d d ϕ(常数)，其中函数)(x ϕ可导，且L ，1)1(=ϕ是围绕(0,0)的任一分段光滑正向闭曲线，求（1）函数)(x ϕ的表达式；（2）A 的值。