2012年成人高考（高起专、本）数学模拟试题（一）（理工类）一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}{}a x x B x x A ≤=<=,2，若B A ⊆，则有（ ）A ．2>aB ．2≤aC ．2≥aD ．2<a 2．已知0>ab ，则“ab x =”是“b x a ,,成等比数列”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．设函数)(x f y =的定义域是[]1,1-，那么函数)(log 21x f y =的定义域是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B ．[]2,0C ．[)+∞,2D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,04．函数)6(log 25.0x x y --=的单调递增区间是（ ） A ．),21(+∞- B ．)2,21(- C ．)21,(--∞ D ．)21,3(--5．复平面上点21,Z Z 分别对应复数i z z 3,121==，将向量21Z Z 绕点1Z 逆时针旋 转︒90，得向量31Z Z ，则点3Z 对应的复数3z 为（ ）A ．i --3B ．i +3C ．i 43+D ．i --26．M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线焦点，定点)1,3(P ，则MFMP +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．圆台上、下底面面积分别为21cm 和249cm ，平行于底面的截面圆面积为 225cm ，那么截面到上、下底面距离之比为（ ） A ．3：1 B ．1：2 C ．2：1 D ．1：3 8．直线042=--y x 绕它与x 轴的交点逆时针旋转4π所得的直线方程是（ ） A ．063=-+y x B ．023=-+y x C ．063=--y x D ．02=++y x9．若)(log )(m x x f a -=的图象过点（3，1），)(x f 的反函数)(1x f -的图象过点 （0，2），则a 和m 的值顺次为（ ）A ．3,21B ．1,21 C ．2，3 D ．2，1 10．x y 2sin =向x 轴负方向平移125π后得到)(x f y =的图像，则)(x f 的单调递增区间是（ ）A ．)(6,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ππππ B ．)(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππC ．)(432,42Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D ．)(322,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 11．i ii i 212)1()31(63++--++-等于（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．i12．已知直二面角βα--l ，直线α⊂a ，直线β⊂b ，且b a ,与l 均不垂直，那么直线a 和b 的关系为（ ）A ．a 和b 不可能垂直，也不可能平行B ．a 和b 不可能垂直，但可能平行C ．a 和b 可能垂直，但不可能平行D ．a 和b 可能垂直，也可能平行 13．已知5,4==b a ，向量a 与b 的夹角为3π，则b a ⋅=（ ） A ．40 B ．20 C ．30 D ．1014．直线⎩⎨⎧==a t y a t x sin cos （t 是参数）与圆⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 2cos 24y x （ϕ是参数）相切，则直线的倾斜角α为（ ）A ．656ππ或 B ．434ππ或 C ．323ππ或 D ．656ππ--或15．任意抛掷三枚硬币，恰有一枚硬币国徽朝上的概率是（ ）A ．41B ．31C ．83D ．43二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）16．若函数322+-=x x y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 21log ,0上的最大值是3，最小值是2，则a 的取值范围是 。
17．已知n n n x a x a x a a x ++++=+Λ2210)1(中，4623a a n =-，那么n x )1(+的展开式中，中间两项依次是 。
18．在4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，由这4张卡片组成个位数字不是2，百位数字不是3的四位数有 个。
19．P 为椭圆1162522=+y x 上一点，它到椭圆的右焦点距离为4，那么它到椭圆的左准线的距离为 。
三、解答题（本大题共5题，共59分，解答应写出推理、演算步骤） 20．（本小题满分11分）用边长为60cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转︒90角，再焊接而成（如下图），问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？ 21．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PC PA =，︒=∠︒=∠=∠30,90BAC ACB APC ，平面ABC PAC 平面⊥．（1）求证：平面PBC PAB 平面⊥． （2）若2=PA ，求三棱锥P —ABC 的体积． 22．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，已知3,211+==+n n n a a a a ，设211+=n n a b ． （1）证明数列{}n b 是等比数列． （2）求数列{}n a 的通项公式． 23．（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作倾斜角为︒135的直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为θ，且3tan =θ，求椭圆的离心率e 的值． 24．（本小题满分12分） 已知)21121()(+-=x x x f （1）指出函数的奇偶性，并加以证明．（2）求证：对函数定义域内的任何x ，恒有0)(>x f ．参考答案一、 选择题1．C 2．A 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．A 9．D 10．A 11．C 12．B 13．D 14．A 15．C 二、 填空题16．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41 17．54126,126x x 18．14 19．10三、 解答题20．解 设水箱底边长为xcm ，则水箱高（单位：cm ）260xh -=． 水箱容积（单位：cm 3）)600(26032<<-=x x x ． 由问题的实际情况来看，如果x 过小，水箱的底面积就很小，容积V 也就很小；如果x 过大，水箱的高就很小，容积V 也就很小，因此，其中必有一适当的x 值，使容积V 取得最大值．求)(x V 的导数，得 22360)(x x x V -='． 令0)(='x V ，即023602=-x x ，解得01=x （不合题意，舍去），402=x ．当x 在（0，60）内变化时，导数)(x V '的正负如下表：因此在40=x 处，函数)(x V 取得极大值，并且这个极大值就是函数)(x V 的最大值．将40=x 代入)(x V ，得最大容积21．证（1）Θ平面⊥PAC 平面ABC ，AC BC ⊥ ∴ ⊥BC 平面PAC ，PA BC ⊥ 又Θ PC PA ⊥，⊥∴PA 平面PBC 由于 ⊂PA 平面PAB∴ 平面⊥PAB 平面PBC ．解（2）过P 作AC PD ⊥交AC 于D ，则⊥PD 平面ABC由2=PA ，知2=PD ，22=AC ，322=BC22．解（1）显然0≠n a由 31+=+n nn a a a 得nn a a 3111+=+ 即 n n b b 31=+∴ 数列{}n b 是一个以121111=+=a b 为首项，以3为公比的等比数列． （2）由（1）知13211-=+n n a 这就是求的数列{}n a 的通项公式．23．解 设椭圆的右焦点为)0,(c ，其中222b a c -=，直线的AB 方程为由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=12222b y ax c x y 消去y 并整理，得0)(2)(2222222=-+-+b c a cx a x b aΘ 022≠+b a ，08))((44422222224>=-+-=∆b a b c b a a c a设两交点),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ，则222212ba ca x x +=+ 由已知1-=AB k 及3tan =θ 得311=-+OMOM k k解得 2=OM k 或21=OM k由于 b a >，∴ 2122==ab k OM所以 21211122222=-=-==ab ac e故 22=e ． 24．解 （1）)(xf 的定义域为{}0,≠∈x R x x 但又 )()21121()21122()21121)(()(x f x x x x f x x x x=+-=--=+--=-- ∴ )(x f 是偶函数．（2）当0>x 时，12>x，所以0)(>x f ．当0<x 时，由)(x f 是偶函数，所以也有0)(>x f ． 总之，对一切)0,(≠∈x R x x 恒有0)(>x f ．。