2019-2020学年四川省绵阳市三台县高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.如图所示，在正中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量中与相等的是A.B.C.D.2.已知，则数列一定是A. 等差数列B. 等比数列C. 递增数列D. 等差数列又是等比数列3.已知向量，若，则A. B. C. D. 64.若1和a的等差中项是2，则a的值为A. 4B. 3C. 1D.5.在中，，则A等于A. B. 或 C. D.6.已知向量，，，且在方向上的投影为，则A. 2B. 1C.D. 07.等差数列的前n项和为，若，则等于A. 52B. 54C. 56D. 588.在中，若sin A：sin B：：2：4，则cos C的值为A. B. C. D.9.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于A. B. C. D.10.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为A. 磅B. 磅C. 磅D. 磅11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形12.在中，a，b，c分别为A，B，C的对边，O为的外心，且有，，若，x，，则A. B. 2 C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知向量，，若，则______．14.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为和，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC为______米．15.设等比数列的前项n项和为，若，，则______．16.已知的内角A，B，C成等差数列，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，则有下列四个命题：；若a，b，c成等比数列，则为等边三角形；若，则为锐角三角形；若，则．则以上命题中正确的有______把所有正确的命题序号都填在横线上．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）17.已知等差数列的前n项和为，且满足，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．18.已知向量．求向量，的夹角；求的值．19.在梯形ABCD中，已知，，，，．Ⅰ求CD的长；Ⅱ求的面积．20.已知数列中，，，其前n项和满足：．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，求证：；Ⅲ设为非零整数，，是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立．若存在求出的值，若不存在说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：是的中位线，且，则与向量相等的有，．故选：D．由题意先证明且，再利用中点找出所有与向量相等的向量本题考查了相等向量的定义，利用中点和中位线找出符合条件的所求的向量．2.答案：A解析：解：，则数列一定是等差数列，公差为不一定是等比数列，是常数列．故选：A．根据等差数列与等比数列的定义即可判断出结论．本题考查了等差数列与等比数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：，，解得．故选：A．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属基础题．利用1和a的等差中项是2，可得，即可求出a的值．【解答】解：和a的等差中项是2，，，故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题，但解决此问题时要注意求解出sin A后，不要误认为A有两解，还要注意三角形中大边对大角．由正弦定理可得，可求再由根据三角形大边对大角可求A．【解答】解：由正弦定理可得，故选：A．6.答案：B解析：解：在方向上的投影为，，又，，故选：B．由平面向量数量积的定义可知，，而，代入数据即可得解．本题考查平面向量数量积的定义，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．等差数列中，由，解得，再由等差数列的通项公式和前n项和公式能求出．【解答】解：等差数列中，，，解得，．故选：A．8.答案：A解析：解：由正弦定理可知，sin A：sin B：：b：：2：4可设，，由余弦定理可得，故选：A．由正弦定理可知，sin A：sin B：：b：：2：4，可设，，，由余弦定理可得，可求．本题主要考查了正弦定理a：b：：sin B：sin C，及余弦定理的应用，属于基础试题9.答案：A解析：解：由题意及图，可知：，，，．故选：A．本题可将与作为基底向量来表示，即可得到，的值．本题主要考查基底向量的建立，以及向量的线性运算．属基础题．10.答案：D解析：解：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，设这5份从小到到依次为，，，，，则，，解得，．最小的1份为．故选：D．利用等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出结果．本题考查等差数列的首项的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.答案：A解析：解：，，，由余弦定理可得：，解得，由已知及余弦定理可得：，可得：，的形状为等腰三角形．故选：A．由已知利用余弦定理可求c，a的值即可判断得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12.答案：A解析：解：设三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，可得，，即为，即有，可得，，，可得，，若可得，即有，化为，又可得，即有，化为，解得，，则，故选：A．设三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B，A，C，再将的两边点乘，，运用向量数量积的定义和性质，可得x，y的方程组，解方程可得x，y的值，即可得到所求值．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查向量数量积的定义和性质，以及三角形函数的化简和求值，注意运用方程思想，考查运算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：根据题意，向量，，若，则，解可得，则，则；故答案为：．根据题意，由向量的数量积判断向量垂直的方法可得的值，即可得的坐标，进而计算可得答案．本题考查向量数量积判断向量垂直，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.答案：解析：解：由题意可知，，，，．故答案为：．由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义，属于基础题．15.答案：448解析：【分析】本题考查等比数列的性质，属于基础题．由等比数列的性质可得，，，成等比数列，并设其公比为q，可解得，由即可求得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得，，，成等比数列，并设其公比为q，又由题意可得，，，，故答案为：448．16.答案：解析：解：，B，C成等差数列，，又，，即正确；，b，c成等比数列，，由余弦定理得，，，，是等边三角形，即正确；，由余弦定理得，，，，是直角三角形，即错误；，即，即，即，，，，，即正确．故答案呢为：．结合等差中项公式和三角形的内角和即可判断；结合等比中项公式，和余弦定理以及中得到的，进行运算可得，进而作出判断；把代入余弦定理化简运算可得，于是，进而可作出判断；充分利用条件，观察规律将其进行移项，然后结合平面向量的加法、减法和数量积运算可得即，从而进行判断．本题考查解三角形中余弦定理的应用，平面向量的加法、减法和数量积运算，考查学生的推理论证能力和运算能力，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ设等差数列的公差为d，由，得，解之得：，，即；Ⅱ，，，．解析：Ⅰ设等差数列的公差为d，列出含d的方程组，求出d与，即可求解出的通项公式；Ⅱ利用Ⅰ中求得的求出，再求其和即可．本题主要考查等差数列通项公式的求法及等比数列前n项和的求法，属于基础题．18.答案：解：向量．；向量夹角；．解析：直接对模长平方整理即可求解；直接展开其数量积即可求解结论．本题主要考查平面向量数量积以及模长的应用，属于基础题目．19.答案：解：Ⅰ，．在中，由正弦定理得：，即．解得：．Ⅱ在中，．又在梯形ABCD中，，，．在中，由余弦定理得：即：解得或舍．又．解析：Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果．Ⅱ利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20.答案：解：Ⅰ由已知可得，即：且，数列是以为首项，公差为1的等差数列，；Ⅱ解：由Ⅰ知，；，，，，即；Ⅲ解：，，假设存在确定的值，使得对任意，都有恒成立，即恒成立，即恒成立，即：恒成立．当n 为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，；当n 为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，；即，又为非零整数，则综上所述：存在，使得对任意，都有．解析：Ⅰ构造新等式，两等式作差即可求解；Ⅱ根据裂项求和即可求解结论．Ⅲ把恒成立转化为恒成立，再分类讨论求解即可．本题主要考查数列通项公式的求解以及裂项求和公式的应用，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．第11页，共11页。