专题十 对数函数【高频考点解读】1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)． 【热点题型】题型一 对数式的运算 【例1】 求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2； (3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245.【提分秘籍】1．化同底是对数式变形的首选方向，其中经常用到换底公式及其推论． 2．结合对数定义，适时进行对数式与指数式的互化．3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化． 【举一反三】(1)若2a ＝5b ＝10，求1a ＋1b 的值；(2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x 的值．【热点题型】题型二对数函数图象及应用【例2】若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2，则下列关系中不可能成立的是() A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b【提分秘籍】由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【举一反三】已知函数若a、b、c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是( )(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)【解析】作出f(x)的大致图象.不妨设a<b<c，因为a、b、c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，由函数的图象可知10<c<12，且|lga|=|lgb|，因为a≠b，所以lga=-lgb，可得ab=1，所以abc=c∈(10,12)，故选C.【答案】C【热点题型】题型三对数函数性质及应用例3．函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．【提分秘籍】1．比较对数式大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．2．当对数函数底数大小不确定时要注意分a>1与0<a<1两种情况讨论．【举一反三】(1)(设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>aC ．c >b >aD ．c >a >b(2)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为( )A.12，2B.12，4C.22， 2 D.14，4【热点题型】题型四 复合对数函数图象的应用【例4】 已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1【提分秘籍】结合图象抓住内外层函数的单调性，可确定参数关系是解决本题的关键，对于复合型对数函数的单调性，注意内外层单调性一致，函数为增函数，内外层单调性相反，函数为减函数．【举一反三】函数f (x )＝－2ln 1＋x1－x的图象可能是( )【热点题型】题型五与对数函数有关的复合函数单调性应用例5、若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为()A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)【提分秘籍】1．求与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤(1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些简单初等函数复合而成的，将复合函数分解成简单初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；2．已知复合函数单调性求参数范围时，要注意真数大于0这一条件．【举一反三】设0<a<1，函数f(x)＝log a(a2x－2a x－2)，则使f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，log a3) D．(log a3，＋∞)【高考风向标】1．（2014·山东卷）已知实数x，y满足a x＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋1＞1y2＋1B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C. sin x＞sin yD. x3＞y32．（2014·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. 3．（2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D4．（2014·广东卷）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．5．（2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .6．（2014·天津卷）函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.7．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D8．（2014·重庆卷）函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．9． （2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.10．（2013·山东卷）定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ；②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)11．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a ＝log 36， b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c12．（2013·浙江卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y)＝2lg x ·2lg yC ．2lg x·lg y＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x ·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y＝2lgx 2lgy ，故选择D.【随堂巩固】1．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2 D ．4解析：由题意可知a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，∴a 2＋a －6＝0，∴a ＝－3或2，又a >0，∴a ＝2.2．已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( ) A ．x ＜y ＜z B ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x3．若f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有f (x )>1，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(1,2) C ．(1,2) D.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析：f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有f (x )>1，也就是log a x >1，x ∈[2，＋∞)恒成立．∵x ≥2， log a x >1，∴a >1，∴1<a <2.答案：C4．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( )A.124B.112C.18D.385．设函数f (x )＝若f (m ) <f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)6．|1＋lg 0.001|＋ lg 213－4lg 3＋4＋lg 6－lg 0.02的值为________． 解析：原式＝|1－3|＋|lg 3－2|＋lg 300＝2＋2－lg 3＋lg 3＋2＝6.答案：67．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是______________．8．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系为________．(用“<”表示)9．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)．(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧og 2x 2－log 2x ＋2>2log 2x 2－x ＋⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2或0<x <1－1<x <2⇒0<x <1. ∴x 的取值为(0,1)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．11．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．单调递减区间是(1,3)．。