第七章 空间解析几何与向量代数
§7.1空间直角坐标系
一. 空间点的直角坐标
右手系
坐标轴，坐标面，卦限 空间点的直角坐标 横坐标，纵坐标和竖坐标 二.空间两点的距离
设M
1 X i , y i , z i ,M
2 X 2,y 2,Z 2 为空间两点
特殊地，点M X, y,z 与坐标原点O 0,0,0的距离
.向量的概念
1 .定义
3 .自由向量
4 .零向量
单位向量
零向量的方向可以看作是任意的 二.向量的加减法
(1 )交换律:a b b
a 的负向量：记 a
大小相等，方向相
反
三.向量与数的乖法
1 .定义
2 .运算规律
(1 )结合律:
(2 )分配律:
(2 )结合律:(a b)
c a (b c)
1. 2. 3.
=J
2
X 2 X 1
y 2 2
y i
Z 2
2
Z i
D = J x 2 y 2
z 2
§7 .2向量及其加减法
向量与数的乘法
2 .向径：OM 叫点M 对于点O 的向径
定理1 .设向量a 0，那么，向量b//a 存在唯一的实数
，使b a
注：(1 ). b 可以为零向量，此时 0
(2 ).规定零向量与任何向量都平行
3 .与a 同方向的单位向量：a 0
一. 向量在轴上的投影
1 .轴u 上有向线段 AB 的值.记AB 2.点A 在轴U 上的投影
* 3 .向量在.轴U 上的投影，记prj u AB
二. 向量的坐标
1 .
P 1P 2 Q i Q 2 R i R 2
2 .向量a 的坐标
a a x , a y
, a
z
a x ，a y , a z 为a 在x,y,z 轴上的投影
上式叫向量a 的坐标表示式
§7 .3
向量的坐标
AB
* 4 .（性质1 ）投影T h 向量AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角
的余弦：prj u AB
AB cos
5.（性质2 ） prj
prj a prj b
6 .（性质3 ） prj
prj a
M 1M 2 M 1P
M i Q M i R
X 2 X 1
y 2 *
j
上式称为向量基本单位向量的分解式
3
M1M2 X2 X i, y2 y i,Z2 Z i
OM x, y, z
4 .向量的坐标运算
5 .定比分点（有向线AB的定比分点）
AM / MB =
方向角的定义,0 ,0
a x a y a z M1M 2 M1M 2 M1M2
2 .，方向余弦
* 3 .向量
cos
cos
cos
a z
P390 cos
cos
cos
cos
cos
cos
的
模： a a x
2
V a x
/ 222
寸a x a y a z
a y
/ 222
\f a x a y a z
a z
/ 222
W x
a y a z
a
2 2
a y a z 1
一a x, a y, a z
例3 ,4
cos , cos , cos
§7 .4 数量积，向量积
一.向量的数量积
2 .由定义可得
(1 ) a a
(2) a b 0
3 .运算规律
(1)交换律a b
⑵分配律 a b
a bc
4.a b 的坐标表示(数量积的坐标表示式)
设 a a x , a y , a z , b b x ,b y ,b z 则 a b a x b x a y b y a z b z
5 .两向量夹角的余弦
a x
b x
a y
b y
a z
b z
2 2 2
/~2
2 2
a x a y a z Y
b x b y
b z
试用向量证明三角形的余弦定理
(a b) (a b) a a b b 2a b
例 2 . P 395
prj
prj a
c
prj b
c
1 .定义 a b
b cos
cos
,c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定 小于等于 的角
二.两向量的向量积
a sin
方 向 垂 直 于
2.由定义可得：1 a a
a//b
3.运算规律：(1) a b
4.向量积的坐标表示式
a x a y
a z
b x b y
b z
例 4,5( P 399) § 7.7 平面及其方程
.平面的点法式方程 M 0M n A X x 0 二.平面的一般方程 y。

z Z o 0
Ax By Cz D (1)D 2 A
0 0.平面过原点 0. n 垂直X 轴,平行于 X 轴的平
面 B 0.平行于xoy 面的平面
.求通过x 轴和点(4,-3,-1)的平面方程
A=D=0 By+Cz=0 3B+C=0 C 3B
a 与
b 所决定的平面
y 3z 0
例4.截距式方程
设P a,0,0 ,Q O,b,O,RO,O,c a 0,b 0,c 0
三. 两平面的夹角
A 1A 2
B i B 2
C 1C 2
§ 7.8
空间直线及其方程
一.空间直线的一般方程
Ax By C 1Z D 1 A ，x B 2y C 2z D 2
二. 对称式方程与参数方程
1.S m,n, p 方向向量，p 。

X o ,y 0,Z 0
(1 )式称为直线的对称式方程或点向式方程
m ,n ,p 叫方向数，S 的方向余弦叫直线的
方向余弦
注：(1) m=0时,(1)式应理解为
X X 0
X (2 )m=n=0时,(1)式应理解为：
y y 0
X X 0 y y 0 z Z 0
m
n
p
(1
)
cos
B 12
C 12 J A 22
c 2
小 2
B 2
C 2
1
〃
2
A 1 A 2
B 1B 2
C 1C 2
A 1 邑
A ?
B 2
例6,例7 P 421 , P 422
C
4 4A B 2 C 2
AX 0 By 0 CZ 0 D
T A 2 B 2
Z i
y y。

z Z 0 P 0
X 0
d
C 1
C 2
A X 0 X 1
B y 0 y 1
2~
x x 0 mt
y 。

nt
Z 0 pt
例1.用对称式及参数方程表示直线
x y z 1
2x y 3z
i, j,k
y 0 1 4t 3t
三. 两直线的夹角
m 1m 2 nm P j P 2
例3 .求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程 S 2, 3,1 五. 杂题
例 4— 6 P 429
解：先找出直线上一点
P (1,0,-2) 2.参数方程 y 方向向量S n
n 2
1 ,1 ,1 2, 1,3
4, 1, 3
cos
寸m 12
2
n 1
2
P 1
仆22
2
n 2
2
P 2
L 1 L 2
m 1m 2
P l P 2
L 1 // L
m 2
P 427 例 2
n 1
n 2
P 1 P 2
四. 直线与平面的夹角
垂直时
sin I Am Bn
B
L//
CP I
7A 2 B 2 C 2
J m ^ n 2 P 2 :Am Bn Cp 0 ABC
A1x B1y C1z D1 0
平面束简介:
A2x B2y C2 z D2 0
A1x B1y C1z D1A2 x B2 y C2z D2 0
例7. 求直线
x
L:yz10在平面x+y+z=0 上的投影直线的方程x yz10
解：过L 作
一平面与x+y+z=0 垂直
xyz1xy z10
1 x 1y1z10 11101
y z
投影直线方程为：
10
z0。