闵行区2019学年第一学期九年级质量监控考试数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果把Rt △ABC 的各边长都扩大到原来的n 倍，那么锐角A 的四个三角比值 （A ）都缩小到原来的n 倍； （B ）都扩大到原来的n 倍； （C ）都没有变化； （D ）不同三角比的变化不一致． 2．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP > BP ，那么下列比例式能成立的是（A ）AB AP AP BP =； （B ）AB BP AP AB =； （C ）BP ABAP BP=； （D ）AB AP ． 3．k 为任意实数，抛物线2()0y a x k k a =--≠（）的顶点总在（A ）直线y x =上； （B ）直线y x =-上； （C ）x 轴上； （D ）y 轴上．4．如图在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC =，AE = BE ，那么有 （A ）△AED ∽△BED ； （B ）△BAD ∽△BCD ； （C ）△AED ∽△ABD ； （D ）△AED ∽△CBD ． 5．下列命题是真命题的是（A ）经过平面内任意三点可作一个圆； （B ）相等的圆心角所对的弧一定相等；（C ）相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线； （D ）内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和．6．二次函数2(0)y a x bx c a =++≠①0a <；②0abc >；③0a b c -+<；④240b ac -<其中正确的结论有（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知线段a = 4厘米，c = 9厘米，那么线段a 和c 的比例中项 ▲ 厘米．8．在Rt △ABC 中，∠C=90º，AB =10，2sin 5A =，那么BC = ▲ ． 9．抛物线22(1)3y x =--+在对称轴右侧的部分是 ▲ 的．（填“上升”或B C（第4题x（第6题“下降”）10．如果两个相似三角形的相似比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 ▲ cm ．11．e 为单位向量，a 与e 的方向相反，且长度为6，那么a = ▲ e ． 12．某人从地面沿坡度i =100米，这时他离地面的高度是 ▲ 米．13．已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处，那么tan BAE ∠= ▲ ．14．已知在Rt △ABC 中，∠C=90º，AC =3，BC =4，⊙C 与斜边AB 相切，那么⊙C 的半径为 ▲ ．15．设抛物线l ：2(0)y a x bx c a =++≠的顶点为D ，与y 轴的交点是C ，我们称以C 为顶点，且过点D 的抛物线为抛物线l 的“伴随抛物线”，请写出抛物线241y x x =-+的伴随抛物线的解析式 ▲ ．16．半径分别为3cm的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB=，那么圆心距O 1O 2的长为 ▲ cm ．17．正五边形的边长与边心距的比值为 ▲ ．（用含三角比的代数式表示）18．如图，在等腰△ABC 中，AB = AC = 4，BC = 6，点D 在底边BC 上，且∠DAC =∠ACD ，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）ACD B （第18题19．（本题满分10分）已知二次函数图像的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．20．（本题共2小题，第（1）小题2分，第（2）小题8分，满分10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB︰BC = 3︰2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设AB=a，AD=b，那么向量CG= ▲；（用向量a、b表示），并在图中画出向量DG在向量AB和AD方向上的分向量．21．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90º，AD= 2，BC= 4，tan3B ．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE=CF；（2）求：直径AB的长．BCFE（第21题22．（本题共2小题，第（1）小题3分，第（2）小题7分，满分10分） 2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B 岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A 点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B 岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30º的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7º方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A 点）到达B 岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？ （结果保留整数，参考数据：sin 230.39≈，cos230.92≈，tan 230.42≈；sin370.60≈，cos370.80≈，tan370.75≈．）上海 浙江ZB台 湾A北东（第22题图）上海CNDSZ舟山23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在△ABC 中，BD 是AC 边上的高，点E 在边AB 上，联结CE 交BD 于点O ，且AD OC AB OD ⋅=⋅，AF 是∠BAC 的平分线，交BC 于点F ，交DE 于点G ．求证：（1）CE ⊥AB ；（2）AF DE AG BC ⋅=⋅．24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C （0，2），与x 轴交于A （-3，0）、B 两点（点A 在点B（1）求这条抛物线的表达式； （2）联结BC ，求∠BCO 的余切值；x（第24题ABDC（第23题EFGO（3）如果过点C 的直线，交x 轴于点E ，交抛物线于 点P ，且∠CEO =∠BCO ，求点P 的坐标．25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，AC =BC ，∠ACB =90°，∠ADC =90°，CD =2，（点A 、B 分别在直线CD 的左右两侧），射线CD 交边AB 于点E ，点G 是Rt △ABC 的重心，射线CG 交边AB 于点F ，AD =x ，CE =y .（1）求证：∠DAB =∠DCF ；（2）当点E 在边CD 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）如果△CDG 是以CG 为腰的等腰三角形，试求AD 的长.（第25题ABDCEF G闵行区2019学年第一学期九年级质量监控试卷答案要点及评分标准一、选择题：1．C ； 2．A ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．B ．二、填空题：7．6； 8．4； 9．下降； 10．40； 11．-6； 12．50； 13；14．125； 15．21y x =-+； 16．2或4； 17．2tan36（2sin36cos36）．；18．1．三、解答题：19．解：设所求的二次函数解析式为2(1)4(0)y a x a =-+≠，………………………（2分）把B （0，3）代入得23(01)4a =-+解得：1a =-．…………………………（2分）令0y =，那么2(1)4=0x --+，解得：123,1x x ==-．………………………（2分） ∴CD=4．…………………………………………………………………………（2分）在△BCD 中，12BCD S ∆=·CD ·OB=143=62⨯⨯．………………………………（2分）20．解：（1）角平分线………………………………（1分）整体画对；……………………………（1分） （2）CG =12a -34b -．…………………（4分）画图及结论正确．……………………（4分）21．解：（1）过点O 作OH ⊥DC ，垂足为H ． ∵AD ∥BC ，∠ADC=90º，OH ⊥DC ， ∴∠BCN =∠OHC =∠ADC =90º．……（1分） ∴AD ∥OH ∥BC ．……………………（1分） 又∵OA=OB ．……………………………（1分） ∴DH=HC ．……………………………（1分） ∵OH ⊥DC ，OH 过圆心，∴EH = HF ．……………………………（1分） ∴DH -EH =HC -HF ．………………（1分） 即：DE =CF ．（2）过点A 作AG ⊥BC ，垂足为点G ，∠AGB = 90°， ∵∠AGB =∠BCN = 90°，∴AG ∥DC ．FE （第21题NH ABDC（第20题E F G∵AD ∥BC ，∴AD=CG ．……………………………………………………（1分） ∵AD= 2，BC= 4，∴BG= BC -CG =2．………………………………（1分） 在Rt △AGB 中，∵tan 3B =，∴tan 236AG BG B =⋅=⨯=．……………………………………………（1分） 在Rt △AGB 中，222AB AG BG =+∴AB=…………………………………………………（1分）22．解：（1）由题意得，AB=980千米，台风中心到达B 岛的时间是39.5小时．…（1分）∴9802539.5v =≈（千米）．…………………………………………………（1分） 答：台风中心从生成点（A 点）到达B 岛的速度是每小时25千米．…（1分） （2）过点S 作SH ⊥ZD ，垂足为点H ，∴∠SHZ = 90°， ∵∠NZD=30°，∠CZN=7°，∴∠CZD=∠CZN +∠NZD=7° + 30°=37°．………………………………（1分）在Rt △SHZ 中，sin ∠CZD =SHSZ．∵∠CZD=37°，SZ=250千米， ∴SH=SZ ·sin ∠CZD=250sin372500.60150⨯≈⨯≈（千米）．………（2分）∵150千米<170千米，∴设台风中心移动到E 处时上海开始遭受台风影响到F 处影响结束．即SE=SF=170（千米）．（第22题D∵在Rt △SEH 中，∠SHE = 90°，222SE SH HE =+，∴80HE ≈．（2分）∴EF=2EH ≈160（千米）．……………（1分）∴上海遭受这次台风影响的时间为16082020EF =≈（小时）．…………（1分） 答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．23．证明：（1）∵AD OC AB OD ⋅=⋅，∴AD AB OD OC=．………………………………（1分）∵BD 是AC 边上的高，∴∠BDC = 90°，△ADB 和△ODC 是直角三角形．…………………（1分） ∴Rt △ADB ∽Rt △ODC ．………………………………………………（1分） ∴∠ABD =∠OCD ．……………………………………………………（1分） 又∵∠EOB =∠DOC ，∠DOC +∠OCD +∠ODC =180°，∠EOB +∠ABD+∠OEB =180°．∴∠OEB = 90°．…………………………………………………………（1分） ∴CE ⊥AB ．………………………………………………………………（1分）（2）在△ADB 和△AEC 中，∵∠BAD =∠CAE ，∠ABD =∠OCD ，∴△ADB ∽△AEC ．………………………………………………………（2分） ∴AD AB AE AC =， 即AD AE AB AC=．…………………………………………（1分） 在△DAE 和△BAC 中∵∠DAE =∠BAC ，AD AE AB AC=． ∴△DAE ∽△BAC ．………………………………………………………（2分） ∵AF 是∠BAC 的平分线， ∴AG DE AF BC=， 即AF DE AG BC ⋅=⋅．…………………………………（1分）24．解：（1）设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠． 由题意得：229302b a a b c c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩………………………………………………（1分） 解得：23a =，83b =．……………………………………………………（2分） ∴这条抛物线的表达式为228233y x x =++．……………………………（1分） 注：用对称性求解析式酌情给分．（2）令y = 0，那么2282033x x ++=，解得13x =-，21x =-．………………………………………………………（1分）∵点A 的坐标是（-3，0）∴点B 的坐标是（-1，0）．…………………（1分） ∵C （0，2）∴1OB =，2OC =．…………………………………………（1分） 在Rt △ OBC 中，∠BOC =90º， ∴cot 2OC BCO OB∠==．………………………………………………………（1分）（3）设点E 的坐标是（x ，0），得OE =x ．∵CEO BCO ∠=∠， ∴cot cot CEO BCO ∠=∠．在Rt △ EOC 中，∴cot 22x OE CEO OC ∠===． ∴x =4，∴点E 坐标是（4，0）或 （-4，0）．………………………（1分） ∵点C 坐标是（0，2）， ∴11:2=222CE l y x y x =+-+或．……………………………………………（1分） ∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去），或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去）； ∴点P 坐标是（134-，38）或（194-，358）．………………………（2分）25．（1）证明：∵点G 是Rt △ABC 的重心，∴CF 是Rt △ABC 的中线．…………………………………………（1分）又∵在Rt △ABC ，AC =BC ，∠ACB =90°，∴CF ⊥AB ，即∠AFC =90°．…………………………………………（1分） ∵∠DEF =∠ADE +∠DAE =∠EFC +∠ECF ，且∠ADE =∠EFC =90°，∴∠DAB =∠DCF ．…………………………………………………（2分）（2）解： 如右图，过点B 作BH ⊥CD 于点H ． 可证△CAD ≌△BCH . ………………………（1分）∴BH = CD = 2，CH = AD = x ，DH = 2-x ．（1分）可证AD ∥BH .∴EH DE BH AD =．………………（1分） EH DE x =2，EHDH EH EH DE x =+=+22，224+-=x x EH ．……………（1分） )20(242242≤++=+-+=+==x x x x x x HE CH CE y ＜．…………（1+1分） （3）解： 当GC =GD 时，如图1，取AC 的中点M ，联结MD .那么MD =MC ，联结MG ，MG ⊥CD ，且直线MG 经过点B ．那么BH 与MG 共线．又CH =AD ，那么AD =CH =112CD =．………………………………（2分） 当CG =CD 时，如图2，即CG =2，点G 为△ABC 的重心，332CF CG ==，AB =2CF =6，2322AC AB ==， 2218414AD AC CD =-=-=．…………………………………（2分）综上所述，AD =1或14．。