闵行区2014学年第二学期九年级质量调研考试数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各数中，是无理数的是（A（B ）2π；（C ）247；（D2．a（A）2(a ；（B）2(a -；（C）a -（D）a + 3．下列方程中，有实数根的方程是（A ）430x +=； （B1-；（C ）22111x x x =--； （Dx -． 4．如图，反映的是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的频数（人数）分布直方图（部分）和扇形分布图，那么下列说法正确的是 （A ）九（3）班外出的学生共有42人； （B ）九（3）班外出步行的学生有8人；（C ）在扇形图中，步行的学生人数所占的圆心角为82º； （D ）如果该校九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人．5 （A ）矩形；（B ）等腰梯形． 6．下列命题中假命题是（A （B （C （D二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：124= ▲ ． 8．计算：31a a -⋅= ▲ ．9．在实数范围内分解因式：324x x -= ▲ ．学校_____________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………乘车50% 步行 x % 骑车 y % （第4题图）10．不等式组34,222x xxx-<⎧⎪⎨+≤⎪⎩的解集是▲ ．11．已知关于x的方程220x x m--=没有实数根，那么m的取值范围是▲ ．12．将直线113y x=+向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式为▲．13．如图，已知在梯形ABCD中，AB // CD，且AB = 3CD．设AB a=，AD b=，那么AO =▲ （用a、b的式子表示）．14．在Rt△ABC中，∠C = 90º，AC = 3，BC = 4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB相切，那么r =▲．15．从小敏、小杰等3名同学中任选2名同学担任校运动会的志愿者，那么恰好选中小敏和小杰的概率为▲ ．16．某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为▲ ．17．小丽在大楼窗口A处测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度AB = h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC =▲ 米（用α的三角比和h的式子表示）．18．如图，已知在Rt△ABC中，∠C = 90º，AC = BC = 1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB=∠BAF，那么BF = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）20．（本题满分10分）解方程：22212,320.x yx x y y+=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，已知在△ABC中，AB AC==sin B∠=D为边BC的中点．E 为边BC延长线上一点，且CE = BC．联结AE，F为线段AE的中点．求：（1）线段DF的长；（2）∠CAE的正切值．22．（本题满分10分，其中每小题各5分）货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内剩余油量y（升）与行驶时间x（时）之间关系：ABC（第18题图）A BD C（第13题图）O（第17题图）AB CD EF（第21题图）取值范围）；（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C 处，C 的前方12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油?（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升） 23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠A = 90º，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE ⊥CD ，DF 平分∠EDC ，交BC 于点F ，联结CE 、EF ． （1）求证：DE = DC ； （2）如果2BE BF BC =⋅，求证：∠BEF =∠CEF ． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y ax ax =--与x 轴相交于A 、B两点，与y 轴相交于点C ，其中点A 的坐标为（-3，0）．点D 在线段AB 上，AD = AC ． （1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的圆D 与圆C 外切，求圆C 的半径； （3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BNCN 的值． 25．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME // DN ，MF // AN ，联结EF ．（1）如图1，如果EF // BC ，求EF 的长； （2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的38，求AM 的长；（3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．闵行区2014学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．C ；3．D ；4．B ；5．D ；6．A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）A B CD M NE F（图1）（第24题图）AB CDEF A B C DM N E F （第25题图）7．2； 8．2a ； 9．2(4)x x -； 10．223x ≤<； 11．1m <-；12．113y x =-； 13．1233a b +；14．125；15．13；16．12001200302x x -=-；17．tan h α（或cot h α⋅）；181． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式13+-6分）4=． ……………………………………………………………………（4分）20．解：由① 得 122x y =-． ③……………………………………（2分）把③ 代入②，得 22(122)3(122)20y y y y ---+=．整理后，得 27120y y -+=．……………………………………………（2分） 解得 13y =，24y =． ……………………………………………………（2分） 分别代入③，得 16x =，24x =．…………………………………………（2分）所以，原方程组的解是116,3,x y =⎧⎨=⎩224,4.x y =⎧⎨=⎩…………………………………（2分） 另解：由② 得 ()(2)0x y x y --=．………………………………………………（2分）即得 0x y -=，20x y -=． ………………………………………………（2分） 原方程组化为212,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩212,20.x y x y +=⎧⎨-=⎩…………………………………………（2分） 解得原方程组的解为 114,4,x y =⎧⎨=⎩226,3.x y =⎧⎨=⎩……………………………………（4分） 21．解：（1）联结AD ．∵AB = AC ，D 为边BC 的中点，∴AD ⊥BC ．…………………（1分）在Rt △ABD 中，由AB =sin B ∠=， 得sin 4AD AB B =⋅∠==． ……………………………（1分）∴2BD =．∴24BC BD ==．……………………………………………………（1分） ∵CE = BC ，∴CE = 4．即得 DE = 6．………………………（1分） 在Rt △ADE 中，利用勾股定理，得AE ===又∵F 是边AE的中点，∴12DF AE ==．…………………（1分）（2）过点C 作CH ⊥AE ，垂足为点H ．∵CH ⊥AE ，AD ⊥BC ，∴∠CHE =∠ADE = 90º． ……………（1分） 又∵∠E =∠E ，∴△CHE ∽△ADE ．……………………………（1分）∴CH EH CEAD DE AE ==，即得46CH EH ==．解得CH =EH ．…………………………………（1分）∴AH AE EH =-==．………………………（1分）∴4tan 7CH CAE AH ∠===．…………………………………（1分） 22．解：（1）设所求函数为 y k x b =+．…………………………………………（1分）根据题意，得 150,120.b k b =⎧⎨+=⎩…………………………………………（1分）解得 30,150.k b =-⎧⎨=⎩………………………………………………………（2分）∴ 所求函数的解析式为 30150y x =-+． ………………………（1分）（2）设在D 处至少加w 升油．根据题意，得360460121504303021060w -⨯--⨯+≥⨯⨯+．……（3分）解得 94w ≥． …………………………………………………………（1分） 答：D 处至少加94升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油．…………………………………………………………………………………（1分） 说明：利用算术方法分段分析解答正确也给满分．23．证明：（1）过点D 作DH ⊥BC ，垂足为点H ．∵AD // BC ，∴∠ADH =∠DHC ．……………………………（1分） ∵DH ⊥BC ，∴∠ADH =∠DHC = 90º． 即得 ∠ADH =∠EDC = 90º． ……………………………………（1分） ∵ADE ADH EDH ∠=∠-∠， CDH EDC EDH ∠=∠-∠，∴∠ADE =∠CDH ．………………………………………………（1分） ∵AD // BC ，AB ⊥BC ，DH ⊥BC ，∴AB = DH ． ∵AB = AD ，∴AD = DH ． 又∵∠A =∠DHC = 90º，∴△ADE ≌△DHC ．………………（2分） ∴DE = DC ．………………………………………………………（1分） （2）∵DE = DC ，∠EDF =∠CDF ，∴DF 垂直平分CE ．………（1分）∴FE = FC ．即得 ∠FEC =∠FCE ．……………………………（1分）∵2BE BF BC =⋅，∴BE BCBF BE=． 又∵∠B =∠B ，∴△BEC ∽△BEF ．…………………………（2分） ∴∠BCE =∠BEF ．………………………………………………（1分） ∴∠BEF =∠CEF ．………………………………………………（1分） 24．解：（1）抛物线224y ax ax =--经过点A （-3，0），∴2(3)2(3)40a a ----=．………………………………………（1分）解得 415a =．…………………………………………………………（1分） ∴ 所求抛物线的关系式为 24841515y x x =--．…………………（1分）抛物线的对称轴是直线 1x =． ……………………………………（1分） （2）当 0x =，时，4y =-，即得 C （0，-4）．又由 A （-3，0），得5AC =．…………（1分） ∴AD = AC = 5．又由 A （-3，0），得 D （2，0）．∴CD =1分） 又由直线1x =为抛物线24841515y x x =--的对称轴，得 B （5，0）． ∴BD = 3．设圆C 的半径为r ．∵ 圆D 与圆C 外切，∴CD = BD + r ．…………………………（1分） 即得3r =+．解得3r =．……………………………………………………（1分）∴ 圆C的半径长为3． （3）联结DN ．∵AC = AD ，∴∠ACD =∠ADC ．………………………………（1分） ∵ 线段MN 被直线CD 垂直平分，∴MD = ND ． 即得 ∠MDC =∠NDC ．∴∠NDC =∠ACD ．∴ND // AC ． ∴BN BD NC DA=．………………………………………………………（1分） 即得 AD = 5．…………………………………………………………（1分） ∴AB = 8，即得 BD = 3,． ∴35BN BD CN DA ==．……………………………………………………（1分） 25．解：（1）∵AD // BC ，EF // BC ，∴EF // AD ．……………………………（1分）又∵ME // DN ，∴ 四边形EFDM 是平行四边形．∴EF = DM ．…………………………………………………………（1分） 同理可证，EF = AM ．…………………………………………………（1分） ∴AM = DM ．∵AD = 4，∴122EF AM AD ===．……………………………（1分）（2）∵38ADN MENF S S ∆=四边形，∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得 58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．……………………………………………（1分）∵ME // DN ，∴△AME ∽△AND ．∴22AMEADNS AMS AD∆∆=．……………………………………………………（1分）同理可证，△DMF∽△DNA．即得22DMFADNS DMS AD∆∆=．……………（1分）设AM = x，则4DM AD AM x=-=-．∴22(4)516168x x-+=．………………………………………………（1分）即得2430x x-+=．解得11x=，23x=．∴AM的长为1或3．………………………………………………（1分）（3）△ABN、△AND、△DNC能两两相似．……………………………（1分）∵AD // BC，AB = DC，∴∠B =∠C．由AD // BC，得∠DAN =∠ANB，∠ADN =∠DNC．∴当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，只有∠AND =∠B一种情况．……………………………………………………………………（1分）于是，由∠ANC =∠B +∠BAN，∠ANC =∠AND +∠DNC，得∠DNC =∠BAN．∴△ABN∽△DNC．又∵∠ADN =∠DNC，∴△AND∽△DNC．∴△ABN∽△AND∽△DNC．∴AB BNNC CD=，AN ADBN AN=．………………………………………（1分）设BN = x，则NC = 10 –x．∴5105xx=-．即得210250x x-+=．解得5x=．……………………………（1分）经检验：x = 5是原方程的根，且符合题意．∴5BN CN==．∴45ANAN=．即得AN=1分）∴当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，AN的长为。