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全国名校高中数学题库--圆锥曲线2
→ → ∵ OP · OQ = 0 ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 ( x1 − 1)( x 2 − 1) = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 [ x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1] = 0 (i )
4k (k + 1) − k i4k + k = 0 ,解得 k = −4 或 k = 0 (舍去) , 又 k = −4 < −1 , ∴ 直线 l 存在,其方程为 x + 4 y − 4 = 0
10 3 的椭圆. (9 分) 3
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 , k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) , Q( x 2 , y 2 ) ,则 y1 + y 2 = 4k , y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ,即 OP = ( x1 , y1 ) , OQ = ( x2 , y2 ) ,于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ,
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程:
x2 y2 1、 (1)已知双曲线 C1 与椭圆 C2 : + = 1 有公共的焦点,并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的 36 49 7 离心率 e2 之比为 ,求双曲线 C1 的方程. 3 2 (2)以抛物线 y = 8 x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P,求 P 点的轨迹方 程.
即 k 2 ( y1 − 1)( y2 − 1) + y1 y2 = 0 , ( k 2 + 1) y1 y2 − k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ,
由⎨
⎧ x = k ( y − 1)
2
得 y 2 − 4ky + 4k = 0
设 l:y = k ( x − 1) ,l与双曲线交于 P ( x1 ,y1 ) 、Q ( x 2 ,y 2 )
意知: MF = MN , 即动点 M 到定点 F 与定直线 x = −1 的距离相等,由抛物线的定义 知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F (1, 0 ) 为焦点, x = −1 为准线, ∴ 动点 R 的轨迹方程 为 y = 4x (2)由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y − 1)( k ≠ 0) ,
x2 y2 1 反射光线恰好通过椭圆 C : 2 + 2 = 1 (a>b>0)的两焦点,已知椭圆的离心率为 ,且 2 a b 6 x2-x1= ,求椭圆 C 的方程. 5 x2 y2 解 : 设 a =2 k , c = k , k ≠ 0 , 则 b = 3 k , 其 椭 圆 的 方 程 为 − =1. 4k 2 3k 2 0+2 1 − (−2) 由题设条件得: = , ① − k − x1 − 4 − x1 0+2 1 − (−2) = , ② − k − x2 − 4 − x2 6 x2-x1= , ③ 5 11 x2 y2 由①、②、③解得:k=1,x1= − ,x2=-1,所求椭圆 C 的方程为 + = 1. 5 4 3 1 4、在面积为 1 的 ∆PMN 中, tan M = , tan N = −2 ,建立适当的坐标系,求出以 M 、 N 为 2 焦点且过 P 点的椭圆方程. 解:以 MN 的中点为原点, MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标 系,设 P ( x , y ) . 5 ⎧ ⎧ y x= ⎪ x − c = −2, ⎪ 5 2 ⎪ 3c 则 ⎪ ∴ ⎨ 即 P( , ) ∴ 1 ⎪ y = , 2 3 3 ⎨ ⎪y = 4 c且c = 3 2 ⎪x+c ⎪ 2 ⎩ 3 ⎪ cy = 1 .
7、 设双曲线
∵ c 2 = a 2 + 3, ∴ a = 1,c = 2
1 ⎧ m+ ×4 ⎪ 2m + 4 2 3x − 4 ⎧ = ⎪x = m= 1 3 ⎪ ⎪ 1 ⎪ 1+ 2 ,∴点 P 的坐标为 为 ,由定比分点坐标公式可得 ⎪ ,即 ⎨ 2 ⎨ 2 ⎪n = 3 y 1 ⎪ n + ×0 ⎪ ⎩ 2 2n ⎪y = 2 = ⎪ 1 3 1+ ⎪ ⎩ 2
x +6 ⎧ x= 0 ⎪ ⎪ 2 ,∴ ⎧ x0 = 2 x − 6 . (2)解:设点 M ( x0 , y0 ), P ( x, y ) ,则 ⎨ ⎨ ⎩ y0 = 2 y ⎪ y = y0 ⎪ ⎩ 2 2 2 代入 y0 = 8 x0 得: y = 4 x − 12 .此即为点 P 的轨迹方程. 2、 (1) ∆ABC 的底边 BC = 16 , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30,建立适当的坐标系求此三 3 角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹. (2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA,求点 A 5
∴ 双曲线方程为y y = ± x 3 3
4分
(II)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,AB 的中点 M x,y
(
)
∵ 2| AB| = 5| F1 F2 | ∴| AB| = 5 5 | F1 F2 | = × 2c = 10 2 2
点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 3、如图,两束光线从点 M(-4,1)分别射向直线 y= -2 上两点 P(x1,y1)和 Q(x2,y2)后,
⎧ a 2 + b 2 = 13 y2 x2 y2 x2 ⎪ 2 2 2 2 − = 1( a , b > 0) 则 解得 a = 9, b = 4 双曲线的方程为 − =1 ⎨ a + b 13 a2 b2 9 4 = ⎪ 2 ⎩ a 9
2
2
2
∴ ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 10 3 3 x1 ,y 2 = − x 2 , 2 x = x1 + x 2 , 2 y = y1 + y 2 3 3 3 3 ∴ y1 + y 2 = ( x 1 − x 2 ) ,y 1 − y 2 = ( x1 + x 2 ) 3 3 又y1 = ∴
∴ 所 求 椭 圆 方 程 为
3 sinA 5
2RsinC-2RsinB=
3 ·2RsinA 5
4x y + =1 15 3
2
2
⎪ ⎩
∴ AB − AC =
3 BC 5
4 ⎧ 25 + 2 = 1, ⎧ 2 15 2 ⎪ ⎪12a 3b ⎪a = , 得⎨ 4 ⎨ 3 2 2 2 ⎪a − b = , ⎪b = 3. ⎩ ⎪ 4 ⎩
2 2 2
⎧ y = k ( x − 1) ⎪ 由⎨ 2 x 2 得 (3k − 1) x 2 − 6k 2 x + 3k 2 − 3 = 0 y − =1 ⎪ 由(i) (ii)得 k 2 + 3 = 0 3 ⎩ 6k 2 3k 2 − 3 则x1 + x 2 = 2 ,x1 x 2 = 2 (ii ) 3k − 1 3k − 1
∴k 不存在,即不存在满足条件的直线 l .
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭圆 a2 b2 外的动点,满足 | F1Q |= 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 c (Ⅱ)求点 T 的轨 PT ⋅ TF2 = 0, | TF2 |≠ 0. (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |= a + x ; a 迹 C 的方程; (Ⅲ)试问: 在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,
| OP | 1 = ,由角平分线性质可 | OQ | 2
| OP | | PR | 1 1 = ,又∵点 R 在线段 PQ 上,∴|PR|= |RQ|,∴点 R 分有向线段 PQ 的比 = | OQ | | RQ | 2 2
y2 x2 − = 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 , 离心率为 2. (I) 求此双曲线的渐近线 l1 、l2 a2 3 的方程; (II)若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点,且 2| AB| = 5| F1 F2 | ,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方 程,并说明轨迹是什么曲线; (III)过点 N (1, 0) 能否作出直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两 → → 点,且 OP · OQ = 0 .若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解: (I)∵ e = 2 , ∴ c 2 = 4a 2
⎧ ′ x x = , 2 ⎪ y2 ⎪ 3 代入①,得 的轨迹方程为 x ①由题意有 ⎨ A + = 1( y ≠ 0) ,其轨迹是椭圆(除去 x y 900 324 ⎪ y′ = ⎪ 3 ⎩
轴上两点) . (2)分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) ,可 转化为边长的关系. 解:sinC-sinB=
⎛ 3x − 4 3 y ⎞ ⎛ 3x − 4 ⎞ ⎛ 3 y ⎞ , ⎟ ,代入圆的方程 x2+y2=4 可得 ⎜ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 4, 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4⎞ 4⎞ 16 16 ⎛ ⎛ 即 ⎜ x − ⎟ +y2= (y≠0). ∴点 R 的轨迹方程为 ⎜ x − ⎟ +y2= (y≠0). 3⎠ 9 3⎠ 9 ⎝ ⎝ 6、已知动圆过定点 (1, 0 ) ,且与直线 x = −1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程;(2) 是否存 uu u v uuu v 在直线 l ,使 l 过点(0,1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且满足 OP ⋅ OQ = 0 ?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解: (1)如图,设 M 为动圆圆心, F (1, 0 ) ,过点 M 作直线 x = −1 的垂线,垂足为 N ,由题