绝密★启用前2020届全国100所名校高考模拟金典卷（五）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．若(12)a i ti i +=+（i 为虚数单位，,a t R ∈），则t ai +等于（） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -答案：A根据复数乘法的运算法则，结合复数相等的定义进行求解即可. 解：因为(12)2a i ti i ti t +=⋅+=-，所以1,22t a a t =⎧⇒=-⎨=-⎩．所以12t ai i +=-．故选：A 点评：本题考查复数的乘法运算，考查了复数相等的定义，考查了数学运算能力． 2．已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则RA B ⋃=（）A ．3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <C ．3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|2}x x 答案：D根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可. 解： 因为{}{242B x xx x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以RA B ⋃={|2}x x .故选：D 点评：本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.3．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若(2)(6)0.15P P ξξ<=>=，则(24)P ξ≤<等于（）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 答案：B根据正态分布密度曲线的对称性可知，若(2)(6)P P ξξ<=>，函数的对称轴是4ξ=，所以(24)0.50.150.35P ξ≤<=-=，故选B.4．已知函数()f x 在R 上可导，则“0'()0f x =”是“0()f x 为函数()f x 的极值”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C若()00f x '=，但0x 两侧没有变号，也不是极值点，()0f x 也不是函数()f x 的极值，反过来，若()0f x 是函数()f x 的极值，那0x 就是函数的极值点，即()00f x '=，所以()00f x '=是()0f x 是函数()f x 的极值的必要不充分条件，故选C.5．执行下面的程序框图，输出的S 为（）A ．17B ．27C ．47D ．67答案：A 解：考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当i=1时，进入第一次循环，有2S 7=； 当i=2时，进入第二次循环，有4S 7=； 当i=3时，进入第三次循环，有1S 7=； 当i=4时，进入第四次循环，有2S 7=； 当i=5时，进入第五次循环，有4S 7=； 当i=6时，进入第六次循环，有1S 7=； 结束循环，输出1S 7=. 故选A ．6．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为78,26n S a a +=，则11S 为（） A ．66 B ．55C ．66-D ．55-答案：C根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、等差数列的下标性质进行求解即可. 解：()()781116226756a a a d a d a d a -=+-+=+==-， 1111161111662a a S a +=⨯==-． 故选：C 点评：本题考查等差数列的下标性质，考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力．7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为（）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为A ．B ．C ．D ．答案：D根据点的坐标在空间直角坐标系内画出满足条件的四面体，然后选出正（主）视图即可. 解：满足条件的四面体如左图，依题意投影到yOz 平面为正投影，所以正（主）视方向如图所示，所以得到正（主）视图效果如右图. 故选：D点评：本题考查三视图及空间点的坐标,考查了空间想象能力． 8．数()sin()f x A x ωϕ=+（其中,0,||2A πωϕ><）的图象如图所示，为了得到()3sin 3g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象上所有的点（）A ．向左平移6π个单位长度，纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变 C ．向右平移6π个单位长度，纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变 D ．向右平移3π个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 答案：D根据函数()f x 的最小值、对称中心、对称轴以及函数()f x 过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，可以求出()f x 的解析式，最后根据正弦型函数图象变换的性质进行求解即可.解：因为()f x 的最小值为1-，所以1A =，再由对称中心与对称轴的距离可得周期74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+．因为()f x 过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2,3k k πϕπ=+∈Z ．因为||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以()sin 2,()3sin 233f x x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则需将()f x 向右平移3π个单位，即sin 2sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后再将sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到()3sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：D 点评：本题考查了通过正弦型三角函数的图象求解析式问题，考查了正弦型函数的图象变换性质，考查了数学运算能力．9．《九章算术》卷第五《商功》中，提到这样一种立体图形：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．”对于这个立体图形，如果将上棱长缩短至1丈，那么它的体积为（）A ．92立方丈 B ．5立方丈 C ．4立方丈 D ．6立方丈答案：A根据题意可知该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，运用棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可. 解：将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，即119311(123)1232V =⨯⨯⨯+⨯-⨯=． 故选：A 点评：本题考查数学文化及空间几何体的体积，考查了空间想象能力和数学运算能力． 10．已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ∆=（）A ．83B 83C ．163D ．33答案：B 解：设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12121211222MFN S p y y y y y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯-=-，直线方程是()31y x =-与抛物线方程联立，2314y y ⎛⎫=- ⎪⎭，整理为：234430y y --=，1212,43y y y y +==-，所以()2121212164163y y y y y y -=+-=+=833，故选B. 11．函数()222sin 33,144x x f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．答案：B()222sin 1x xf x x =+，它是33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的奇函数，故D 错；又当30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥，故C 错；又()()()()223222sin cos 12sin '21x x x x x x xf x x++-=+，故'02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，选B. 点睛：判断函数的图像，不仅要从函数的奇偶性，还要看函数的一些局部性质，如局部点的切线的斜率的正负等.12．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是() A ．4a ≤ B ．46a -≤≤ C ．4a ≤或6a ≥ D ．6a ≥答案：D根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围 解：依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选：D.点评：本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题13．已知()3,4a →=，(),1b x →=，若a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，则实数x 等于________．答案：7 解：∵()3,4a →=，(),1b x →=，∴()3,3a b x →→-=-又a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭∴()33120x ⨯-+= ∴7x = 故答案为714．设2521001210(32)x x a a x a x a x -+=++++，则1a 等于_________．答案：240-()()()55523212xx x x -+=--，所以含x项的系数是()()()()455411551212240C x C x x ⋅⋅-⋅-+-⋅⋅⋅-=-，所以1240a =-，故填：-240.15．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，24AB CD ==，60BAD ∠=，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD （包括端点C 、D ）有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.答案：)1,+∞过C 作垂线与x 轴、双曲线分别相交于F 、E ，作出示意图，设双曲线方程为22221,(02)4x y a a a-=<<-，由题意只需E C y y ≥即可. 解：过C 作垂线与x 轴、双曲线分别相交于F 、E ，如图，设双曲线方程为22221,(02)4x y a a a-=<<-，由题意，只需E C y y ≥，即可，又由已知，4,2AB CD ==，所以1,BF CF ==C y ，当1x =时，222114y a a-=-，所以2221(4)(1)y a a =--，E y =，≥1a ≤-或1a ≥（舍），所以离心率12c e a a ==≥=+.故答案为：)1,+∞点评：本题考查求双曲线的离心率，考查学生的基本计算能力与逻辑推理能力，是一道中档题. 16．已知首项为4的数列{}n a 满足1141n n n n a a a a +++=+，若1234910S a a a a a a =+++，则S 的值为__________.答案：4由1141n n n n a a a a +++=+可得()()11113n n n n a a a a ++--=，令1nn na d a -=，则13n n d d +=-，所以数列{}n d 是周期为2的周期数列，进一步可得数列{}n a 是周期为2的周期数列，从而使问题得到解决. 解： 由1141n n n n a a a a +++=+，整理得()()11113n n n n a a a a ++--=，即()()11113n n n n a a a a ++--=，令1n n n a d a -=，则13n n d d +=-，所以13n n d d +=-，213n n n d d d ++=-=，所以数列{}n d 是周期为2的周期数列，所以221n n a a ++-=1nna a -，化简得2n n a a +=，即数列{}n a 是周期为2的周期数列，由14a =得215a =，所以12349104545S a a a a a a =+++=⨯=. 故答案为：4 点评：本题主要考查数列的周期性，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的压轴填空题.三、解答题17．已知锐角ABC 的角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，且32sin sin 32A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A ；（2）若角A 的平分线交BC 于点D ，且2AD ==，求a ．答案：（1）3A π=；（2（1）根据两角和的正弦公式，结合辅助角公式、特殊角的正弦值和正弦函数的图象进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合等腰三角形的性质、锐角的三角函数定义进行求解即可. 解： （1）因为212sin sin 2sin sin cos sin 322A A A A A A A A π⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11132cos 2sin 2222622A A A π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 所以22,623A k A k k πππππ-=+⇒=+∈Z ，又02A π<<，得3A π=．（2）6BAD π∠=，由正弦定理得sin sin sin BD AD B BAD B =⇒=∠ 所以555,,4341261212B C CDA πππππππππ==--=∠=--=，所以52,2cos12AC AD DC AD π===⋅=所以a BD DC =+=点评：本题考查了正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力.18．近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从80后和90后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：（1）根据调查的数据，是否有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；（2）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的80后、90后员工参加.80后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x ；90后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y ，求x y <的概率. 参考数据：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）.答案：（1）没有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，理由见解析（2）12（1）直接利用卡方公式计算即可；（2）“x y <”包含：“0x =，1y =”、“0x =，2y =”、“0x =，3y =”、“1x =，2y =”、“1x =，3y =”、“2x =，3y =”六个互斥事件，分别计算出6个互斥事件的概率，相加即可得到答案. 解：（1）2K 的观测值为()()()()()()221002020402060406040n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯4004001002.778 6.6355760000⨯⨯=≈<.所以没有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”.（2）“x y <”包含：“0x =，1y =”、“0x =，2y =”、“0x =，3y =”、“1x =，2y =”、“1x =，3y =”、“2x =，3y =”六个互斥事件.且()03123342336640,1400C C C C P x y C C ===⨯=，()032133423366120,2400C C C C P x y C C ===⨯=， ()03303342336640,3400C C C C P x y C C ===⨯=，()1221334233661081,2400C C C C P x y C C ===⨯=， ()123033423366361,3400C C C C P x y C C ===⨯=，()213033423366362,3400C C C C P x y C C ===⨯=， 所以()4124108363620014004002P x y +++++<===.点评：本题考查独立性检验与独立事件、互斥事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.19．已知在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =，点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SF SC λ=，SA ∥平面BEF .（1）求实数λ的值；（2）求二面角S BE F --的正切值.答案：（1）13；（2）12（1）连接AC ，设AC BE G =，由线面平行的性质定理可得SA ∥FG ，再利用GEA GBC △∽△即可得到答案；（2）以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，易知EA 为平面SEB 的一个法向量，再求出平面EFB 的法向量n ，利用公式cos ,m n m n m n⋅=计算即可. 解：（1）连接AC ，设ACBE G =，则平面SAC 平面EFB FG =，∵SA ∥平面BEF .，SA ∴∥FG ，GEA GBC ∽△△，12AG AE GC BC =∴=， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13λ∴=. （2）5SA SD ==，SE AD ∴⊥，2SE =，又2AB AD ==，BE AD ⊥，60BAD ∠=︒，3BE ∴=222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥，又AD BE E =，SE ∴⊥平面ABCD ，以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A ，()0,3,0B，()0,0,2S ，易知EA 为平面SEB 的一个法向量，设()1,0,0m EA ==， 设平面EFB 的法向量(),,n x y z =，则()(),,0,3,000n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=，()(),,1,0,202n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1z =，则2,0x y ==，所以()2,0,1n =，25cos ,m n m n m n⋅∴==， 设二面角S BE F --的大小为θ， 则25cos θ=，5sin θ=，所以1tan 2θ=，即所求二面角的正切值是12.点评：本题考查空间几何体及空间向量的应用，涉及到线面平行的性质定理，向量法求二面角的大小，考查学生的计算能力，是一道中档题.20．如图，椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>的右顶点为(2,0)A，左、右焦点分别为1F、2F，过点A且斜率为12的直线与y轴交于点P，与椭圆C交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点1F．（1）求点B的坐标；（2）过点P且斜率大于12的直线与椭圆交于,M N两点(||||)PM PN>，若:PAM PBNS Sλ=△△，求实数λ的取值范围．答案：（1）31,2⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）(4,423)+（1）根据题意设出点B的坐标，代入椭圆方程中，再根据斜率公式，结合222a b c=+，进行求解即可；（2）根据已知面积之比，通过三角形面积公式可以得到2PM PNλ=-，设直线MN方程，与椭圆方程联立，根据MN斜率大于12，结合一元二次方程根与系数关系、平面向量共线坐标表示公式进行求解即可.解：（1）因为1BF x⊥轴，得到点2,bB ca⎛⎫--⎪⎝⎭，所以22222,21,3()21aabba a cca b c=⎧=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪=⎩⎪=+⎩B的坐标为31,2⎛⎫--⎪⎝⎭．（2）因为1sin22(2)12sin2PAMPBNPA PM APMS PM PMS PN PNPB PN BPNλλλ⋅⋅∠===⇒=>⋅⋅∠△△，所以2PM PN λ=-．由（1）可知(0,1)P -，椭圆C 的方程是22143x y+=．设MN 方程为()()11221,,,,y kx M x y N x y =-，联立方程221,1,43y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx +--=，即得122122843(*)843k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩又()()1122,1,,1PM x y PN x y =+=+，有122x x λ=-，将122x x λ=-代入（）可得222(2)1643k k λλ-=+． 因为12k >，有2221616(1,4)3434k k k =∈++， 则2(2)14λλ-<<且24423λλ>⇒<<+．综上所述，实数λ的取值范围为(4,423)+．点评：本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了数学运算能力.21．已知函数()()()ln 1f x x x x ax b =---，（,a b ∈R ，a ，b 为常数，e 为自然对数的底数）.（1）当1a =-时，讨论函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上极值点的个数；（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12xf x ke <成立，求正实数k的取值范围.答案：（1）证明见解析；（2）()2,+∞ （1）当1a =-时，()()'ln 121xfx x x b x =-+++-，记()()'g x f x b =-，利用导数研究()g x 在11,1e e ⎛⎫++⎪⎝⎭函数值的情况，将()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上极值点的个数转化为()g x b =-根的个数问题，分类讨论即可得到；（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12x f x k e<⋅，即()()22ln 12x x x x e x ke--++<，即()2ln 12x e x x e k x--++<⋅，记()()ln 12h x x x e =--++，()2x e x k xϕ=⋅，利用导数分别研究(),()h x x ϕ的最值，即可得到答案. 解：（1）当1a =-时，()()'ln 121xfx x x b x =-+++-，记()()'g x f x b =-， 则()()()()''223211322,01211x x g x g x x x x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+==⇒=---， 当131,2x e ⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()'0g x <，3,12x e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()'0g x >， 所以当32x =时，()g x 取得极小值6ln 2-，又1212g e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()1124g e e e+=++，()()'0f x g x b =⇔=-，当6ln 2b -≤-，即ln 26b ≥-时，()'0f x ≥，函数()f x 在区间11,1e e⎛⎫++ ⎪⎝⎭上无极值点；当26ln 22b e e -<-<++即22ln 26e b e---<<-时，'0f x 有两不同解，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上有两个极值点； 当21224e b e e e ++≤-<++即12242e b e e e---<≤---时，'0f x 有一解，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上有一个极值点；当124b e e -≥++即124b e e ≤---时，()'0f x ≤，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上无极值点.（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12x f x k e <⋅，即()()22ln 12x x x x e x ke --++<，即()2ln 12x e x x e k x--++<⋅记()()ln 12h x x x e =--++，()2x e x k xϕ=⋅，由()'12111x h x x x -=-=--，当12x <<时()'0h x >，当2x >时，()'0h x <， 所以当2x =时，()h x 取得最大值，最大值为()2h e =，又()()222'221222x x xk e x e e x x k x x ϕ⋅--=⨯=，当12x <<时，()'0x ϕ<，当2x >时，()'0x ϕ>，所以当2x =时，()x ϕ取得最小值2ke ，所以只需要22kee k <⇒>，即正实数k 的取值范围是()2,+∞. 点评：本题考查函数与导数综合及不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论的思想以及逻辑推理能力，是一道有一定难度的压轴题.22．已知直线l的参数方程为1x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为24cos sin 40ρρθθ--+=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB ⋅.答案：（1）直线l 的普通方程是y =，曲线C 的直角坐标方程是()(2223x y -+-=；（2）4 （1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决； （2）将3πθ=代入曲线C 的极坐标方程得2540ρρ-+=，利用A B OA OB ρρ⋅=计算即可. 解：（1）由1x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数t ，得直线l的普通方程)1y x =-，即y =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入24cos sin 40ρρθθ--+=中，得22440x y x +--+=，即()(2223x y -+=，曲线C 的直角坐标方程是()(2223x y -+=（2）直线l 的极坐标方程是3πθ=，代入曲线C 的极坐标方程得2540ρρ-+=，故可得4A B ρρ⋅= 所以4A B OA OB ρρ⋅==.点评：本题考查直角坐标、极坐标、参数方程互化，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 23．已知()|23|,()|21|f x x g x x =+=-． （1）求不等式()()2f x g x <+的解集；（2）若存在x ∈R ，使得()(1)|32|f x g x a >++-成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）(,0)-∞；（2）40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）根据绝对值的性质分类讨论求解不等式的解集； （2）利用绝对值的性质进行求解即可. 解：（1）不等式()()2f x g x <+等价于3,2(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或31,22(23)(21)2x x x ⎧-≤⎪⎨⎪++-<⎩或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩，解得32x <-或302x -<， 所以不等式()()2f x g x <+的解集是(,0)-∞． （2）()(1)|23||21||2321|2f x g x x x x x -+=+-++--=，|32|2a ∴-<，故实数a 的取值范围是40,3⎛⎫⎪⎝⎭．点评：本题考查了用分类讨论法求解绝对值不等式，考查了用绝对值的性质求解不等式能成立问题，考查了数学运算能力.。