第二部分核心主干专题突破专题2.3 力与曲线运动目录【突破高考题型】 (1)题型一曲线运动、运动的合成与分解 (1)题型二平抛(类平抛)运动的规律 (4)题型三圆周运动 (7)类型1水平面内圆周运动的临界问题 (7)类型2竖直平面内圆周运动的轻绳模型 (8)类型3竖直平面内圆周运动的轻杆模型 (9)【专题突破练】 (11)【突破高考题型】题型一曲线运动、运动的合成与分解1．曲线运动的理解(1)曲线运动是变速运动，速度方向沿切线方向。

(2)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧。

2．运动的合成与分解(1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成。

(2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质。

(3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵循平行四边形定则。

【例1】(2022·学军中学适应考)2021年10月29日，华南师大附中校运会开幕式隆重举行，各班进行入场式表演时，无人机从地面开始起飞，在空中进行跟踪拍摄。

若无人机在水平和竖直方向运动的速度随时间变化关系图像如图所示，则无人机()A．在0～t1的时间内，运动轨迹为曲线B．在t1～t2的时间内，运动轨迹为直线C．在t1～t2的时间内，速度均匀变化D．在t3时刻的加速度方向竖直向上【答案】C【解析】在0～t1的时间内，无人机沿x方向和y方向均做初速度为零的匀加速直线运动，其合运动仍是直线运动，A错误；在t1～t2的时间内，无人机的加速度沿y轴负向，但初速度为t1时刻的末速度，方向不是沿y轴方向，初速度和加速度不共线，因此运动轨迹应是曲线，B错误；在t1～t2的时间内，无人机加速度沿y轴负向，且为定值，因此其速度均匀变化，C正确；在t3时刻，无人机有x轴负方向和y轴正方向的加速度分量，合加速度方向不是竖直向上，D错误。

【例2】．(2022·成都诊断)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑轻质定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。

当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图所示)，下列判断正确的是()A．P的速率为v B．P的速率为v cos θ2C．绳的拉力等于mg sin θ1D．绳的拉力小于mg sin θ1【答案】B【解析】：将小车的速度v进行分解，如图所示则v P ＝v cos θ2，故A 错误，B 正确；小车向右运动，θ2减小，v 不变，则v P 逐渐增大，说明物体P 沿斜面向上做加速运动，由牛顿第二定律F T －mg sin θ1＝ma ，可知绳子对P 的拉力F T ＞mg sin θ1，故C 、D 错误。

【例3】．[多选]一快艇从离岸边100 m 远的河流中央向岸边行驶，快艇在静水中的速度—时间图像如图甲所示；河中各处水流速度相同，速度—时间图像如图乙所示。

则( )A ．快艇的运动轨迹一定为直线B ．快艇的运动轨迹一定为曲线C ．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 sD ．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m 【答案】BC【解析】： 由题图知，两分运动一个为匀加速直线运动，一个为匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，即运动轨迹一定为曲线，A 错误，B 正确；当快艇速度方向垂直于河岸时，所用时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a ＝0.5 m/s 2，由d ＝12at 2，得t ＝20 s ，而合速度方向不垂直于河岸，位移大于100 m ，C 正确，D 错误。

【系统归纳】 1．合运动性质的判断(1)若加速度与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。

(2)加速度恒定则为匀变速运动，加速度不恒定则为非匀变速运动。

2．三种过河情景分析过河时间最短船头正对河岸时，渡河时间最短，t min＝dv船(d为河宽)过河路径最短(v水<v船时)合速度垂直于河岸时，航程最短，x min＝d。

船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v水v船过河路径最短(v水>v船时)合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河，最短航程s短＝dcos α＝v水v船d3.绳、杆牵连速度问题把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。

如下为四种常见的速度分解模型：题型二平抛(类平抛)运动的规律【例1】如图所示，一小球在斜面的顶端以初速度v0水平抛出，最后落到斜面上。

已知斜面的倾角为α，小球的质量为m，重力加速度为g。

求：(1)小球落到斜面时速度大小和方向与水平面夹角的正切值。

(2)小球离斜面最远时的速度大小和运动时间。

【答案] (1)v 01＋4tan 2α 2tan α (2)v 0cos α v 0tan αg【解析】 (1)如图所示，设小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为θ小球在水平方向上做匀速直线运动，有v x 1＝v 0，x ＝v 0t 小球在竖直方向上做自由落体运动，有 v y 1＝gt ，y ＝12gt 2小球落到斜面上，所以有tan α＝y x ＝gt2v 0解得t ＝2v 0tan αgtan θ＝v y 1v x 1＝gtv 0＝2tan α小球落到斜面上的速度v 1＝v x 12＋v y 12＝v 01＋4tan 2α。

(2)当小球的运动方向与斜面平行时，小球与斜面相距最远，设此时经历时间为t ′，小球的运动方向与水平方向的夹角为α，则有 v x ＝v cos α，tan α＝v y v x ＝gt ′v x ，v x ＝v 0解得t ′＝v 0tan αg ，v ＝v 0cos α。

【规律总结】处理平抛运动问题的五个关键点(1)平抛运动(或类平抛运动)，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成法则求合运动。

(2)对于从斜面上平抛又落到斜面上的问题，竖直位移与水平位移的比值等于斜面倾角的正切值。

(3)若平抛的物体垂直打在斜面上，打在斜面上的水平速度与竖直速度的比值等于斜面倾角的正切值。

(4)做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同。

(5)抓住两个三角形：速度三角形和位移三角形，结合题目呈现的角度或函数方程找到解决问题的突破口。

【例2】(2022·河北新高考测评)2021年9月13日，在美国网球公开赛女双决赛中，张帅/斯托瑟以2∶1战胜美国组合高芙/麦克纳利，获得冠军。

如图所示是比赛中的一个场景，网球刚好到达最高点且距离地面H ＝1.5 m 时张帅将球沿垂直球网方向水平击出。

已知球网上沿距地面的高度为h ＝1 m ，击球位置与球网之间的水平距离为3 m ，与对面边界的水平距离取15 m ，g 取10 m/s 2，不计空气阻力。

若球能落在对面场地内，则下列说法正确的是( )A ．球击出时速度越大，飞行的时间越长，飞行的距离越大B ．球被击出时的最小速度为10m/sC ．以最小速度将球击出，落地时球的速度方向与水平地面的夹角为30°D ．球被击出时的最大速度为10 m/s 【答案】 C【解析】 球被击出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，因为下落高度一定，因此球在空中飞行的时间不变，与击出时的速度无关，A 错误；球能落到对面场地内，首先球要过网，因此球刚好从网上沿飞过时对应的初速度为最小的击出速度，由H －h ＝12gt 2得t ＝1010 s ，球在水平方向做匀速直线运动，则v min ＝x 1t ＝310 m/s ，球落地时竖直方向的分速度为v y ＝2gH ＝30 m/s ，设落地时速度方向与水平地面间的夹角为θ，则tan θ＝v y v min ＝30310＝33，即夹角为θ＝30°，B 错误，C 正确；当以最大速度击出球时，由H ＝12gt 21得t 1＝3010s ，则球被击出时的最大速度为v max＝x2t1＝530 m/s，D错误。

【规律总结】处理平抛运动中的临界问题的关键结合实际模型，进行分析找出关于临界条件的关键信息。

此类问题的临界条件通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件代入即可求解。

许多体育运动都可简化为平抛运动的模型，在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件。

题型三圆周运动类型1水平面内圆周运动的临界问题【例1】[多选]港珠澳大桥总长约55公里，是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的跨海大桥。

如图所示的路段是一段半径为120 m的圆弧形弯道，路面宽度为12 m，路面外侧比内侧高60 cm。

由于下雨，路面被雨水淋湿，路面对轮胎的径向(即垂直于前进方向)最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车可视为质点，取重力加速度g＝10 m/s2，取路面倾角的余弦值为0.99，正弦值按照题目要求计算。

则汽车以下列各个速度大小行驶，可以安全通过此圆弧形弯道的是()A．60 km/h B．70 km/hC．80 km/h D．90 km/h【答案】ABC【解析】以汽车为研究对象，路面对轮胎的径向静摩擦力和路面对汽车的支持力沿圆周半径方向分力的合力提供汽车做圆周运动的向心力，当达到最大静摩擦力时，汽车做匀速圆周运动的向心力最大，此时速度为最大速度v m，作出汽车的受力分析如图所示其中路面的倾角为θ，汽车质量为m ，水平方向上有F N sin θ＋f m cos θ＝mv m 2R ，竖直方向上有F N cos θ＝f m sin θ＋mg ，最大静摩擦力f m 等于正压力F N 的0.4倍，即f m ＝0.4F N ，联立以上三式可解得v m ＝gR (0.4cos θ＋sin θ)cos θ－0.4sin θ，根据几何关系得sin θ＝0.6 m12 m ＝0.05，由题述可知路面倾角的余弦值为cos θ＝0.99，代入数据解得v m ＝23.5 m/s ＝84.6 km/h ，只要小于84.6 km/h 都可以安全通过，选项A 、B 、C 均正确。

【规律总结】水平面内圆周运动临界问题的三个关键点 (1)物体沿竖直方向的合力为零。

(2)水平方向沿半径指向圆心的合力提供向心力。

(3)当物体与水平面间的静摩擦力达到最大值时物体相对水平面开始滑动。

类型2 竖直平面内圆周运动的轻绳模型【例2】 (2022·北京模拟)如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O 在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v ，此时绳子拉力大小为F ，拉力F 与速度的平方v 2的关系如图乙所示，图像中的数据a 和b 以及重力加速度g 都为已知量，以下说法正确的是( )A ．数据a 与小球的质量有关B ．数据b 与小球的质量无关C ．比值ba 只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关D ．利用数据a 、b 和g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径【答案】 D【解析】 当v 2＝a 时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力，则有：mg ＝m v 2r，解得：v 2＝gr ，解得：a ＝gr ，与物体的质量无关，A 错误；当v 2＝2a 时，对物体受力分析，则有：mg ＋b ＝m v 2r ，解得：b ＝mg ，与小球的质量有关，B 错误；根据A 、B 项分析可知：b a ＝m r ，与小球的质量有关，与圆周轨道半径有关，C 错误；由a ＝gr ，b ＝mg ，解得：r ＝a g ，m ＝bg，D 正确。