P83 习题5.15.1.1 证：设 * 运算有左幺元为e l，∴∀x∈S，e l*x=e l，∵ * 运算可交换，∴ x*e l，∴ e l为右幺元，∴ e l为幺元。

设 * 运算有右幺元为e r，∴∀x∈S，x*e r，∵ * 运算可交换，∴ e r*x=e r，∴ e r为左幺元，∴ e r为幺元。

※5.1.2 解：⑴是。

⑵否。

是。

5.1.3 证：⑴∀x,y∈I x*y=x+y－xy y*x=y+x－yx∵普通的乘法和加法运算均是可交换的，∴ x+y=y+x ，xy=yx ，∴ x+y－xy = y+x－yx∴ x*y=y*x ，∴ *可交换。

⑵∀x,y,z∈I x*(y*z)=x+(y*z)－x(y*z)=x+(y+z－yz)－x(y+z－yz)∵普通的乘法和加法运算均是可结合且可交换的，乘法对加减法是可分配的，∴上式 =x+y+z－yz－xy－xz +xyz = x+y+z－xy－xz－yz+xyz同理 (x*y)*z=(x*y)+z－(x*y)z=(x+y－xy)+z－(x+y－xy)z=x+y+z－xy－xz－yz+xyz∴ x*(y*c)= (x*y)*c ∴ *可结合。

※解：⑶ 0为幺元。

⑷ 0的逆元为0，2的逆元为2，其余无逆。

5.1.4 证：⑴ 2*3=2，3*2=3，二者不等，故不可交换。

⑵∀x,y,z∈N，x*(y*z)=x*y=x，(x*y)*z=x*z=x，二者相等，故结合律成立。

※答：无单位元，故元素无逆元。

5.1.5 证：∵ *可结合，∴∀x∈A，(x*x)*x=x*(x*x)又∵ x*x∈A，根据题中给定的条件，∴ x*x=x。

※P84 习题5.25.2.15.2.2 解：×对+可分配。

+对×不可分配。

例b+(a×b)=b+a=b，(b+a)×(b+b)=b×a=a，二者不等。

上封闭，根据代数系统的定义。

5.2.3 解：⑴ 是。

∵ 两运算皆在S1⑵ 是。

∵ S⊆B，再根据⑴和子代数的定义。

1⑶ 是。

∵ S 2⊆B ，两运算皆在S 2上封闭，根据子代数的定义。

⑷ 否。

∵ a ⊕b=1∉S 3 ⊕在S 3上不封闭。

P86 习题5.35.3.1 ⑴ 证明：因为两个代数载体集合基数不同，所以无法在两个集合之间建立双射。

⑵ 例：代数({a,b},*)和({0,1},∧)同类型， 它们的运算表如右。

载体集合基数均为2，运算表如右。

两集合之间的双射只有两种可能； ① f(a)=0，f(b)=1 。

此时，f(a*b)=f(b)=1 ≠ f(a)∧f(b)=0∧1=0，∴ f 不是同态。

② f(a)=1，f(b)=0。

此时，f(a*b)=f(b)=0 ≠ f(a)∧f(b)=1∧0=1，∴ f 不是同态。

∴ 两代数之间不存在同态映射，∴ 两代数不同构。

5.3.2 证：⑴ 按已知条件可知，A 和B 为同类型的代数系统。

⑵ ∀m,n ∈N① 当m 和n 至少有一个不是2的幂时，m ×n 也必不是2的幂。

不妨设m 不是2的幂。

∴ f(m ×n)=0，f(m)×f(n)=0×f(n)=0，∴ f(m ×n)=f(m)×f(n) ② 当m 和n 都是2的幂时，m ×n 也必是2的幂。

∴ f(m ×n)=1，f(m)×f(n)=1×1=1，∴ f(m ×n)=f(m)×f(n)∴ f 是一个A 到B 的同态映射。

※ 5.3.3 证：两代数是同类型的。

取双射f ：S →P ，f(a)=3，f(b)=2，f(c)=1， f(a*a)=f(a)=3=f(a)◦f(a)=3◦3，f(a*b)=f(b)=2=f(a)◦f(b)=3◦2， f(a*c)=f(c)=1=f(a)◦f(c)=3◦1，f(b*a)=f(b)=2=f(b)◦f(a)=2◦3， f(b*b)=f(b)=2=f(b)◦f(b)=2◦2，f(b*c)=f(b)=2=f(b)◦f(c)=2◦1， f(c*a)=f(c)=1=f(c)◦f(a)=1◦3，f(c*b)=f(b)=2=f(c)◦f(b)=1◦2，f(c*c)=f(c)=1=f(c)◦f(c)=1◦1，∴ f 是同态，∴ f 是同构。

※ 5.3.4 答：是。

证：两代数是同类型的。

取双射f ：{Φ,A}→{{a,b},A}，f(Φ)={a,b}，f(A)=A 。

f(Φ∩Φ)=f(Φ)={a,b}=f(Φ)∩f(Φ)={a,b}∩{a,b}， f(Φ∩A)=f(Φ)={a,b}=f(Φ)∩f(A)={a,b}∩A ， f(A ∩Φ)=f(Φ)={a,b}=f(A)∩f(Φ)=A ∩{a,b}， f(A ∩A)=f(A)=A=f(A)∩f(A)=A ∩A ；f(Φ∪Φ)=f(Φ)={a,b}=f(Φ)∪f(Φ)={a,b}∪{a,b}， f(Φ∪A)=f(A)=A=f(Φ)∪f(A)={a,b}∪A ，f(A ∪Φ)=f(A)=A=f(A)∪f(Φ)=A ∪{a,b}， f(A ∪A)=f(A)=A=f(A)∪f(A)=A ∪A ， ∴ 两代数同构。

5.3.5 证：∀x,y ∈S h(x*y)=f 1(x*y)*'f 2(x*y) ∵ f 1 和f 2皆为从(S,*)到(S ',*')的同态，∴ h(x*y)=( f 1(x) *' f 1(y)) *' ( f 2 (x) *' f 2(y)) ∵ *' 运算是可交换和可结合的，∴ h(x*y)=( f 1(x) *' f 2 (x) ) *' ( f 1(y)*' f 2(y) )=h(x) *' h(y)∴ h 是从 (S,*) 到 (S ',*') 的同态映射。

※ 5.3.6 证：首先指出代数(S,*,△)和(S ",*",△")是同类型的。

∀x,y ∈S ，∵ h 1是同态，∴ ∃x ',y '∈S '，使 h 1(x)=x ' 且 h 1(y)=y ' ； ∴ h 1(x*y)=h 1(x)*'h 1(y)=x '*'y ' ；又∵ h 2是同态，∴ ∃x ",y "∈S "，使 h 2(x ')=x " 且 h 2(y ')=y " ； ∴ h 2(x '*'y ')=h 2(x ')*"h 2(y ')=x "*"y " ； ∴ (h 2◦h 1)(x*y)=h 2(h 1(x*y))=h 2(x '*'y ')=x "*"y "，∴ h 2◦h 1是同态。

※P88 习题5.45.4.1 证：⑴ ∀b a ∈F ，∵ ab=ab ，∴ b a ～b a ，∴ ～是自反的。

∀b a ,d c ∈F ，若b a ～d c ，∴ ad=cb ，∴ cb=ad ，∴ d c ～b a，∴～是对称的。

∀b a ,d c ,f e ∈F ，若b a ～d c ，d c ～fe，∴ ad=cb 且cf=ed ，∴ c=ed/f ，∴ ad=(ed/f)b ，∴af=eb ，∴b a ～fe，∴～是传递的。

∴ ～是等价关系。

⑵ ∀(ba,dc ),(fe ,h g )∈～，∴ad=cb ，eh=gf 。

b a +f e =bf be af +，d c +h g =dhdg ch +，∴ (af+be)dh=adfh+bdeh ，∵ ad=cb ，eh=gf ， ∴ (af+be)dh=cbfh+bdgf=(ch+dg)bf ，∴ bf be af +～dhdgch +， 即 b a +f e ～d c +h g，∴ ～关于+运算是同余的。

⑶ ∀(b a ,d c ),(f e ,h g )∈～，∴ad=cb ，eh=gf 。

b a -f e =bf be af -，d c -h g =dhdgch -∴ (af-be)dh=adfh-bdeh ，∵ ad=cb ，eh=gf ， ∴ (af-be)dh=cbfh-bdgf=(ch-dg)bf ，∴ bf be af -～dhdgch -， 即 b a-f e ～d c -hg，∴ ～关于二元 - 运算是同余的。

⑷ ∀(b a ,d c )∈～，∴ad=cb ，∴ -ad=-cb ，∴ b a -～dc -，即-b a ～-d c ，∴ ～关于一元 - 运算是同余的。

∴ ～是代数(F,+,-,-)上的同余关系。

※ 5.4.2 答：全否。

证：⑴ －1～－5，6～1，但－1+6=5～－5+6=1⑵ －7～1，1～9，但－7～9，～不是传递的，故不是等价关系。

⑶ －1～－2，1～1，但－1+1=0～－2+1=－1 ⑷ ≥是偏序关系，非等价关系。

5.4.3答：否。

证：例 21～42，△21=41，△42=162=81，∴(△21,△42)∉～。

5.4.4 解：⑴ ～关于+运算不是同余的。

例：1～1，1～-1，1+1=2，1+(-1)=0，(2,0)∉～。

⑵ ～关于×运算是同余的。

证：∀(a,b),(c,d)∈～，∴ |a|=|b|且|c|=|d|，|a ×c|=|a|×|c|=|b|×|d|=|b ×d|，∴ a ×c ～b ×d 。

5.4.5 证：设R 和T 为代数(S,*,△)上的任意两个同余关系。

⑴ ∴ R 和T 均为S 上的等价关系。

由题2.5.3⑴已证得R ∩T 也是S 上的等价关系。

⑵ ∀(a,b),(c,d)∈R ∩T ，∴(a,b),(c,d)∈R 且(a,b),(c,d)∈T ， ∵ R 和T 均为S 上的同余关系，∴ (a*c,b*d)∈R 且(a*c,b*d)∈T ， ∴ (a*c,b*d)∈R ∩T ，∴ R ∩T 关于 * 运算是同余的。

⑶ ∀(a,b)∈R ∩T ，∴(a,b)∈R 且(a,b)∈T ，∵ R 和T 均为S 上的同余关系，∴ (△a,△b)∈R 且(△a,△b)∈T ， ∴ (△a,△b)∈R ∩T ，∴ R ∩T 关于 △ 运算是同余的。

∴ R ∩T 是代数(S,*,△)上的同余关系。

※ 5.4.6 证：例 S={1,2,3}，代数系统的运算表如右 R 1={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)} R 2={(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)} R 1和R 2都是S 上的同余关系。