近世代数初步石生明课后答案
一、选择题部分
1. 选出所有正整数 a，b，满足条件 a²– 6ab + b² > 0 的是：
选 C：a ≠ b
2. 在德国哈雷大学上课的学生人数是 210。

其中男生人数与女生人数之比为 3:1，则女生人数是多少人？
选 B：70
3. 已知函数 f(x) = x²– 2x + 1，g(x) = (x + 1)²– 2，则 f(x) = g(x) 的解为：
选 B：0
4. 已知函数 f(x) = 3x + 1，g(x) = 2x – 1，则 f(g(x)) = g(f(x)) 的解为：
选 A：0
5. 设 P(x) = 2x²– 3ax + 2a²– 2，Q(x) = x²– ax + a²– 1。

则 P(x) – Q(x) =
0 的解为：
选 C：1 或 4a – 2
6. 已知不等式（x – 2）² + （y – 1）² > 1，则下列几何图形有哪些？选 AB：圆心为（2，1），半径为 1 的圆的外部面积。

7. 设方程 x²– kx + 2 = 0 有两个不同的根，则 k 的取值范围是：
选 B：-4 < k < 4
8. 设 f(x) = x² + 2x + 1，则 f(f(x)) = 0 的根为：
选 C：-1
9. 对于下列哪一个数 a，都不存在整数 b，使得 a = b²– 3b + 1
选 B：a = 7
10. 已知函数 f(x) = x²– 6x + 13，则下列哪一个函数与 f(x) 完全相同？选 A：g(x) = (x – 3)² + 4
二、计算题部分
1. 联立方程组：
y = 8x – 1
y = -2x + 17
求解：
x = 2, y = 15
2. 计算 2(x – 2)(x + 3) – (x – 2)² + 5(x + 3) – 5 的值：= x² + 5
3. 已知函数 f(x) = (x + 3)² + 1，求 f(-2) 的值：
= 10
4. 解方程：
x²– 6x + 7 = 0
x = 1 或 5
5. 解方程：
(x – 1)(x + 1)(x – 4) = 0
x = -1, 1, 或 4
6. 求函数 f(x) = x²– 4x + 4 在 x = 2 处的导数：
= 0
7. 已知函数 f(x) = x² + 2x – 3，求函数 g(x) = f(x + 1) 的表达式：
= (x + 3)²– 7
8. 已知函数 f(x) = x²– 2ax + a² + 1，求 a 的值，使得 f(x) 的最小值为 0：
a = 1
9. 已知函数 f(x) = x²– 2x + 3，求 f(x) 的图象与 x 轴交点的坐标：
(1,0)
10. 解下列不等式：
(x – 1)(x + 2) > 0
x < -2 或 x > 1
三、证明题部分
1. 证明 x² + 4x + 3 > 0 对所有实数 x 成立。

做法：
x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)，当 x 不等于 -1 和 -3 时，(x + 1)(x + 3) 大于
0，所以原不等式成立。

2. 设 a 和 b 为正整数，证明：a + b ≥ 2√ab
做法：
由平均数大于等于几何平均数得：
(a + b)/2 ≥ √ab
2(a + b)/2 ≥ 2√ab
a +
b ≥ 2√ab
所以原不等式成立。

3. 设函数 f(x) = x²– 2ax + (a – 1)² + 2，证明 f(x) 的最小值为 1。

做法：
将 f(x) 化简为 (x – a + 1)² + 1，由完全平方公式可知 (x –a + 1)² ≥ 0，所以 f(x) 的最小值为 1。

4. 证明函数 f(x) = 2x² + 4x + 1 是一个上凸函数。

做法：
求出函数的二阶导数 f''(x) = 4，因为 f''(x) 为正数，所以函数 f(x) 是上凸函数。

5. 解不等式：√(x + 2) –√2 > √(x – 1)
做法：
将不等式两边都平方得：
x –3√2 + 2 > x – 1
- 3√2 + 1 > 0，此不等式成立。

所以原不等式的解为 x > 1。

6. 解方程：x² + 4√x – 7 = 0。

做法：
设√x = t，那么原方程化为 t⁴ + 4t²– 7 = 0，解得 t² = (–2 + √3) 或 (–2 –√3)。

因为t = √x，所以 x = (–2 + √3)² 或 (–2 –√3)²。

所以原方程的解为x = 1 + 4√3 或 x = 1 –4√3。