近世代数课后习题参考答案第五章扩域1扩域、素域1. 证明：F(S)的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域.证一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为 a 1) 若a,b ^送则一定有a ^…^n)b FCh’ z —m)易 知 a-b FC'1^'2^ - n, -l/：2^' , -m 但 F(「1,〉2,n, L 2…，F) V从而 b-a ，、2) 若 a,b V ,且 b = 0 则 —b ・ FCJ ：2,…,'-m)从而有 abdFC-1^-2^ : n, -1, -2/' , F) 72单扩域1.令E 是域F 的一个扩域，而 a • F 证明a 是F 上的一个代数元，并且F(a) =F证 因a-a=0故a 是F 上的代数元.其次，因a ，F ,故F(a) F 易见 F(a)二 F ，从而 F (a)二 F2i +1 2 •令F 是有理数域•复数i 和2—1在F 上的极小多项式各是什么?3 .详细证明，定理3中 a 在域F 上的极小多项式是 p(x)证 令山是F(x)中的所有适合条件 f(a)=0的多项式作成f (x)的集合.1)-k 是F(x)的一个理想(i )若 f(x),g(x)：h 则 f (a) =0, g(a) =0因而 f (a) -g(a) = 0 故 f (x) -g(x)山 ii )若f (x) •山，h(x)是F(x)的任一元 那么 h(a)f(a) =0 则 h(x)f (x)山2) 是一个主理想设 p (x)是山中a !的极小多项式2i +1 i 一1F(i)与F( )是否同构？i — 1 1,在F 上的极小多项式为x 2 - x • 52i +1 2因F(i) =F( ) 故这两个域是同构的.i T 2i 1i -1那么，对山中任一f(X)有f (x) =P i(x)q(x) r(x)这里r(x) =0或r(x)的次数但f(a)二P i(a)q(a) R(x)因f(a) = 0, p i(a) =0 所以r(a) = 0若r(x)=0 则与p1x是a的极小多项式矛盾.故有f(x) = p1 (x)q(x)因而=(p1(x)(3)因p(a)=0 故p(x) ■-R(x)| p(x) 因二者均不可约，所以有p(x)=a»(x)又p(x), p i(x)的最高系数皆为1那么a =1 这样就是p(x) = R (x)4.证明：定理3中的F(a) = K证设f • K,,则在定理3的证明中，K = K'之下有.n nf a n x - a n」x 川…川-a但 a—；x, a i Q 故必f ^a n：n ' a n/n」a。

这就是说k FG ) 因而F(a)二K3代数扩域1•令E是域F的一个代数扩域，而「是E上的一个代数元，证明圧是E上的一个代数元证因为：•是F上的代数元所以Q + …+e n a n又因为E是F的代数扩域，从而FGc，…編) 是F的代数扩域，再有a是F(e°,e,…e n)上的代数元，故FCeneJeOua)FG，e,…，e n」,e n )的有限扩域，由本节定理1 ,知FG,q, ,e n4,e n/)是F的有限扩域，因而是F的代数扩域，从而a是F上的一个代数元.2•令F ,E和L是三个域，并且F二二E，假定(I : F)而E的元「在F上的次数是n,并且(m,n) =1证明：.在I 上的次数也是1 证设(I (〉)： I =r 因为 I (：•)二丨二F 由本节定理1 (I (a): F) =rm另一方面，因为(F(cc) :F)|(I (a) :F 仍由本节定理！ ！ 即有nrm 但由题设知(m,n)=1 故nr又：•在I 上的次数是r ，因而其在I 上的极小多项式的次数是1 :-在I 上的次数是n ，因而其在F 上的极小多项式的次数是 n由于〉在上的极小多项式能整除 :-在F 上的极小多项式所以r 岂n 因而r = n3 •令域！的特征不是2,E 是F 的扩域，并且(E ：F)=4证明存在一个满足条件F I E 的E 的二次扩域 F 的充分与必要条是:(E:F)=4，而〉在F 上的极小多项式是x 4- ax 2b证充分性：件的的二次扩域必要性: 由于存在I 满足条件F I E 且为F 的二次扩域即(1: F) =2因此可得((E :1) =2 我们容易证明，当 F 的特征不是2时，且 则而！在！上的极小多项式是！ 同样 E = I (a)而［在x2- f 上的极小多项式是 这样 12二 f , f • F,：2 =i,i I那么 i 2二 f ,22f ,f^ f 22所以〉4=i2由于：•在F 上的极小多项式为 x 4 ax 2b故a 2F F 及 a F F2(：2)因而(F(a2)：F)=1 所以(F(a 2)：F)=2 由本节定理1知：这就是说，F(a)是一个满足条2^2 ： f； '-2= 2fj 2 f1 f^ f2^-2 令-2 f1 b = fj 一f22 f同时可知a,b均属于F •.工4- a^2• b = 0 由此容易得到E=F(a04.令E是域F的一个有限扩域，那么总存在E的有限个元:‘，―,…：m 使E 二F(〉I，〉2,…：m)证因为E是F的一个有限扩域，那么把E看成F上是向量空间时，则有一个基宀二辽厂一二订显然这时E =F(：1，： 2；：m)5 •令F是有理数域,，看添加复数于F所得扩域"E^F(23,2^i) E2二F(23,23wi)证明(F(23) =2,(巳：F) =6证易知上的极小多项式是!即(F(23):F -3同样23上的极小多项式是即乍疔(23)) =42 2X4— 23X2 2 ・2?由此可得((E i : F) =6,伍：F) =124多项式的分裂域1•证明：有理数域F上多项式x4 1其中a是x41的一个根的分裂域是一个单扩域F(a)4 丄证X 1的4个根为『2丄i』2 J2 n/2 寸‘2丄iU‘2』2 血a^T V，a^T-T，a^-y T，a^_W又印=a'；a2 - -aJ,a3 _ -a所以F(&,印£2£3) = F(a)2 •令F是有理数域，x3- a是F上一个不可约多项式，而a是x3- a的一个根，证明F(a)不是x3- a在F上的分裂域.证由于a是x3-a的一个根，则另外两个根是a；,a；2，这里；，；2是x2x 1的根若F (a)是X’ - a的在H上的分裂域那么a ：, a F (a)这样，就是F二F(；)二F(a)由3。

3定理！有但(F(；):F)|(F (a)F) 此为不可能.3.令P i(x), P2 (x),…,P m(x)是域F上m个最高系数为1的不可约多项式，证明存在F的一个有限扩域F(ai,a2,…,a m)，其中色在F上的极小多项式是p(x)证令f (x) = p i(x),P2 (x)，…,P m(x)由本节定理2 f (a)在F上的分裂域E存在，根据4.3定理3, 知E是F上的有限扩域，取p i(x)的根a i则有F F(a i, a?, a m) E因E 是F的有限扩域，故F(a1,a2/ a m也是F的有限扩域，显然P i(x) !是a i在F上的极小多项式.4•令p是一个特征为素数p的域，F二p(a)是p的一个单扩域，而a是p[x]的多项式x p—a的一个根，p(a)是不是x p-a在F上的分裂域？证因：•是x p- a的根故a p-a=O 即a「p由于P的特征为素数！所以x p-a = x p因此pC )是x p- a在P上的分裂域5有限域1.令F是一个含p n个元的有限域，证明，对于n是每一个因数m 0 ,存在并且只存在F的一个有p m个元的子域L证因为m是n的因数，所以(p n-1) = (p m-1)m n那么x p -1是x p「X的因式，p m p m但x p-x在F中完全分裂，所以x p-x在F中也完全分裂，那么FP m中含有x p-x的p m个根，由这p m个根作成F —个子域L .m又因为x p-x在F中的分裂域只有一个，所以F中有p m个元的子L 只有一个.2 •—个有限域一定有比它大的代数扩域.证设F是有q个元的有限域.看F上的f (x) =x q - X・1因为对F的任一元a, f (a) =1因此，f(x)在F上没有一次因式.这样，f(x)在F上有一个一次数1的不可约因式p(x).作p(x)分裂域E则E二F 而E=F且E是F的代数扩域.3•令F是一个有限域，丄是它所含素域，且:是否必须F是的非零元所作成的乘群的一个生成元？证我们的回答是未必.令厶是3元素域f(x)=x°-x在厶上的分裂域为F，若令f (x)的因式！的根为i ,则F 由0,1,—1,i,1 i,—1 • i,—1 —i,所组成，i4 =1 !故i不是F非零元所作成的乘群的生成元.但F = . ：(x)。

4.令厶是特征为2的素域..：(x)!找出的一切三次不可约多项式.证容易证明3 2 3x x ，1及x x 1是(x)的一切三次不可约多项式.6可离扩域1.令域F的特征是p, f (x)是F上一个不可约多项式，并且 f (x)可以写成F上x p，但不能写成x p的多项式(e—1)，证明，f (x)的每一个根的重复度都是p ee+证由于f (x)可以写成F上x p的多项式，而不是x p的多项式，e我们以f(x) =g(x p ) =g(y)表示因为f(x)在F上不可约，所以g(y)也不可约.假定g(y)的次数是m，首系数是1，在它的分裂域中，分裂为1次因m式y「人的乘积，即g( y) (y「m e i 3因此f(x)訓(x p- ■)i =1e “ e若r是x p- 1的根，则p八e e p e那么x p「齐=x p-■二,=(x-<-)P所以f(x)有m个互异个根^，- «m，并且它们都是p e重根.2 •设域F没有不可离扩域，证明F的任一代数扩域都没有不可离扩域.证设E是F的一个代数扩域，:是E的一个不可离元，那么〉便是E上一个有重根是不可约多项式p(x)的根.根据题设:-是F上是可离元，令口匕)是起极小多项式，则P i(x)无重根•那么p(x) p i(x)，因》(x)无重根，故p(x)亦无重根，这与〉是E的不可离元的假设矛盾.3.令域F的特征是p而E = F (爲，：),这里a是F上次可离元而1:' 是F上P 次非可离元，(E : F)二？证由本节引理4,［是F上的非可离元，否则可以推出一：是F上的可离元，这与：是F上非可离元矛盾，由于［是F上P次非可离元，由本节引理1, !在p在F上的极小多项式是f (x) = x p -a我们易知p是使［P在F上为可离元的最小正整数，那么一：！在F(a)上也— -定是p次非可离元.这样f(x) =x p -aFG , -)：F(a) 故有(F(：「)：F(a))二F(： ,J:F(a)=pn4.找一个域F，使F有一个有限域E而不是E的单扩域.证取域F o其特征是P并设x,y是F o的无关无关未定元.令F 二F o(x,y)E 二F(x p,y p1)易知都是f -上不可约的单位元所以E是F的一个有限扩域，并且(E：F)二p2我们说，E不是F的单扩域i若E = F(r)，则v为x p, y q的有理式，从而二为x, y的有理式，故二的次数，因此在E上次数乞p与(E:F)=p2矛盾.。