2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )A. B.(1,+∞) C.(1,2) D.2.(xx黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为( )A.2B.2C.4D.44.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( )A.3B.3或C.D.6或35.已知椭圆+=1(0<b<2)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是( )A.1B.C.D.6.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的标准方程为.7.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶,则椭圆C的方程是.8.椭圆+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为.9.已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程;(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.10.已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,·=,求椭圆的方程.B组提升题组11.已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为( )A. B. C. D.12.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=113.(xx江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.14.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为.15.(xx云南检测)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A、B两个点.(1)求椭圆E的方程;(2)若=3,求m2的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.C ∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以解得故k的取值范围为(1,2).2.C 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意知解得所以椭圆的方程为+=1.3.D 依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长2b=2=2=4.4.C 由椭圆的方程知a=2,b=,c=1,当点P为短轴端点(0,)时,∠F1PF2=,△PF1F2是正三角形,若△PF1F2是直角三角形,则直角顶点不可能是点P,只能是焦点F1(或F2),此时|PF1|==,=××2=.故选C.5.D 由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知,过椭圆焦点的弦中,垂直于焦点所在坐标轴的弦最短,则=3.所以b2=3,即b=.6.答案+=1解析由题意设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由离心率e=可得a2=5c2,所以b2=4c2,故椭圆的方程为+=1,将P(-5,4)代入可得c2=9,故椭圆的方程为+=1.7.答案+=1解析设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意知解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为+=1.8.答案120°解析由椭圆定义知,|PF2|=2,|F1F2|=2×=2.在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2===-,∴∠F1PF2=120°.9.解析(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意知c=,=,所以a=2,则b=1,所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-4×5×4(m2-1)>0,整理,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|==2.解得m=±,满足(*),所以m=±.10.解析(1)∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,所以e==. (2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2①.又由·=(-c,-b)·=,得b2-c2=1,即a2-2c2=1②.由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为+=1.B组提升题组11.B 由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),又=(0,y0),所以·=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故·的最大值为,选B.12.B 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F',连接PF',如图所示.因为F(-2,0)为C 的左焦点,所以c=2.由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠FPF'=90°,即FP⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|===8.由椭圆定义,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,所以椭圆的方程为+=1.13.答案解析由已知条件易得B,C,F(c,0),∴=,=,由∠BFC=90°,可得·=0,所以+=0,c2-a2+b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以=,则e==.14.答案解析如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|==|PF2|,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=,则e==·=.15.解析(1)根据已知设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),由已知得=,∴c=a,b2=a2-c2=.∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4,∴4=2a=4,∴a=2,∴b=1.∴椭圆E的方程为x2+=1.(2)根据已知得P(0,m),设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,即k2-m2+4>0,由一元二次方程的根与系数的关系知,x1+x2=,x1x2=.由=3得x1=-3x2,∴3(x1+x2)2+4x1x2=12-12=0.∴+=0,即m2k2+m2-k2-4=0.当m2=1时,m2k2+m2-k2-4=0不成立,∴k2=.由题意知k≠0,m≠0,结合m2k2+m2-k2-4=0,知k2-m2+4=m2k2>0,∴-m2+4>0,即>0.∴1<m2<4.∴m2的取值范围为(1,4).2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第八节曲线与方程夯基提能作业本理1.方程x=所表示的曲线是( )A.双曲线的一部分B.椭圆的一部分C.圆的一部分D.直线的一部分2.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=03.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4.已知A(-1,0),B(1,0)两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N,若=λ·,当λ<0时,动点M的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PO|,则P点的轨迹方程是( )A.8x2+8y2+2x-4y-5=0B.8x2+8y2-2x-4y-5=0C.8x2+8y2+2x+4y-5=0D.8x2+8y2-2x+4y-5=06.已知定点A(4,0)和圆x2+y2=4上的动点B,动点P(x,y)满足+=2,则点P的轨迹方程为.7.已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4,则动圆圆心Q的轨迹C的方程为.8.在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B,C(a>0),且满足条件sin C-sin B=sin A,则动点A的轨迹方程是.9.已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1:x-y-2=0相切.(1)求圆的标准方程;(2)设点A为圆上一动点,AN⊥x轴于点N,若动点Q满足=m+(1-m)(其中m为非零常数),试求动点Q的轨迹方程.10.已知长为1+的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且=.求点P的轨迹方程.B组提升题组11.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,AQ的垂直平分线与CQ的连线的交点为M,则M点的轨迹方程是( )A.-=1B.+=1C.-=1D.+=112.在△ABC中,已知A(2,0),B(-2,0),G,M为平面上的两点且满足++=0,||=||=||,∥,则顶点C的轨迹为( )A.焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)C.焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)D.焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是.14.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,求顶点C的轨迹方程.15.已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P,Q,交直线l1于点R,求·的最小值.答案全解全析A组基础题组1.B x=两边平方,可变为x2+4y2=1(x≥0),表示的曲线为椭圆的一部分.2.D 设Q(x,y),易得P(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.3.B 设椭圆的右焦点是F2,由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a>2c,所以|PF1|+|PO|=(|MF1|+|MF2|)=a>c,所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆.4.C 设M(x,y),则N(x,0),所以=y2,λ·=λ(x+1,0)·(1-x,0)=λ(1-x2),所以y2=λ(1-x2),即λx2+y2=λ,当λ<0时,变形为x2+=1,所以当λ<0时,动点M的轨迹为双曲线.5.A 设点P的坐标为(x,y),则=3,整理得8x2+8y2+2x-4y-5=0.6.答案(x-2)2+y2=1解析设B(x0,y0),由+=2,得得代入圆的方程得(2x-4)2+4y2=4,即(x-2)2+y2=1.7.答案y2=4x解析设Q(x,y).因为动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4,所以+|x|2=|AQ|2,所以|x|2+22=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2=4x.8.答案-=1(x>0且y≠0)解析由正弦定理得-=×,即|AB|-|AC|=|BC|,故动点A的轨迹是以B,C为焦点,为实轴长的双曲线右支(除去顶点).即动点A的轨迹方程为-=1(x>0且y≠0).9.解析(1)设圆的半径为r,圆心到直线l1的距离为d,则d==2.因为r=d=2,圆心为坐标原点O,所以圆C1的方程为x2+y2=4.(2)设动点Q(x,y),A(x0,y0),∵AN⊥x轴于点N,∴N(x0,0),由题意知,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)·(x0,0),解得即将点A代入圆C1的方程x2+y2=4,得动点Q的轨迹方程为+=1.10.解析设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),则=(x-x0,y),=(-x,y0-y),又=,所以x-x0=-x,y=(y0-y),得x0=x,y0=(1+)y.因为|AB|=1+,即+=(1+)2,所以+[(1+)y]2=(1+)2,化简得+y2=1.所以点P的轨迹方程为+y2=1.B组提升题组11.D 因为|MQ|=|MA|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,因此M点的轨迹是以C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,其中a=,c=1,∴b2=,∴M点的轨迹方程是+=1.故选D.12.B 设C(x,y)(y≠0),则由++=0,知G为△ABC的重心,得G.因为||=||=||,所以M为△ABC的外心,所以点M在y轴上,又∥,则有M.所以x2+=4+,化简得+=1,又A(2,0),B(-2,0),C为△ABC的三个顶点,所以y≠0.所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点).13.答案y=2x-2解析设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.14.解析如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线的定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支(除去与x轴的交点),方程为-=1(x>3).15.解析(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离,∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,∴动点C的轨迹方程为x2=4y.(2)由题意知,直线l2的斜率存在,方程可设为y=kx+1(k≠0),与动点C的轨迹方程x2=4y联立,消去y,得x2-4kx-4=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.又R,∴·=·=·+(kx1+2)·(kx2+2)=(1+k2)x1x2+(x1+x2)++4=-4(1+k2)+4k++4=4+8.∵k2+≥2(当且仅当k2=1时取等号),∴·≥4×2+8=16,即·的最小值为16.。