第一节平面向量的概念及其线性运算
A组基础题组
1.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
2.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是( )
①=+;
②=(+);
③=-;
④=.
A.1
B.2
C.3
D.4
3.设a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
4.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与
( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
5.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A. B. C. D.
6.若||=8,||=5,则||的取值范围是.
7.已知▱ABCD的对角线AC,BD相交于O,且=a,=b,则= ,= (用a,b表示).
8.已知a,b是非零向量,命题p:a=b,命题q:|a+b|=|a|+|b|,则p是q的条件.
9.已知D为三角形ABC边BC的中点,点P满足++=0,=λ,求实数λ的值.
10.设a,b是不共线的两个非零向量.
(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若=a+b,=2a-3b,=2a-kb,且A,C,D三点共线,求k的值.
B组提升题组
1.在△ABC中,=a,=b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN,AM交于点P,则= (用a,b表示).
2.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是.
3.如图,EF是等腰梯形ABCD的中位线,M,N是EF上的两个三等分点,若=a,=b,=2.
(1)用a,b表示;
(2)证明A,M,C三点共线.
4.(2018甘肃兰州模拟)经过△OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,n∈R,求+的值.
答案精解精析A组基础题组
1.D ∵c∥d,∴c=λd(λ∈R),即ka+b=λ(a-b),∴
,
-,∴k=-1,则c=b-a,故c与d反向.
2.C 由向量加法的平行四边形法则,知①=+,②=(+)是正确的;由向量减法的三角形
法则,知③=-是正确的;因为,的大小相同,方向相反,所以④=是错误的.
3.B 因为=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.又因为A,B,D三点共线,所以,共线.设
=λ,所以2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1.
4.A 由题意得=+=+,=+=+,=+=+,因此
++=+(+-)=+=-,
故++与反向平行.
5.C 设AB的中点为D,连接MD,MC,由5=+3,得5=2+3,故C,M,D三点共线,且5=3,即在△ABM与△ABC中,边AB上的高的比值为,所以△ABM与△ABC的面积之比为.
6.答案[3,13]
解析=-,当,同向时,||=8-5=3;当,反向时,||=8+5=13;当,不共线
时,3<||<13.综上可知3≤||≤13.
7.答案b-a;-a-b
解析如图,==-=b-a,=-=--=-a-b.
8.答案充分不必要
解析若a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p⇒q.
若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算知a与b同向共线,
即a=λb,且λ>0,故q⇒/p.
所以p是q的充分不必要条件.
9.解析如图所示,由=λ且++=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此=-2,所以λ=-2.
10.解析(1)证明:由已知得,=-=3a+b-2a+b=a+2b,=-=a-3b-3a-b=-2a-4b=-2(a+2b).
所以=-2,
又与有公共点B,所以A,B,C三点共线.
(2)=+=3a-2b,=2a-kb.
因为A、C、D三点共线,所以=λ,
即3a-2b=2λa-kλb,
所以,
,所以
,
,
所以k的值为.
B组提升题组
1.答案-a+b
解析如图所示,
=+=-+
=-+×(+)
=-++
=-+.
因为=a,=b,所以=-a+b.
2.答案,
解析由题意易得AD=1,CD=,所以=2.因为点E在线段CD上,所以设=λ(0≤λ≤1),当λ=0时,点E与点D重合,此时=,则μ=0;当0<λ≤1时,=+μ=+2μ=+,又因为=+,所以=1,即μ=λ,所以0<μ≤.综上所述,0≤μ≤.
3.解析(1)=++=a+b+-=a+b.
因为E为AD的中点,
所以==a+b.
因为EF是等腰梯形的中位线,且=2,所以=(+)=a+a=a,
又M,N是EF的三等分点,
所以==a,
所以=+=a+b+a=a+b.
(2)证明:由(1)知==a,
所以=+=a+b=,
又与有公共点M,所以A,M,C三点共线.
4.解析设=a,=b,则=(a+b),=-=nb-ma,=-=(a+b)-ma=-a+b. 由P,G,Q共线得,存在实数λ使得=λ,即nb-ma=λ-a+λb,
从而--,
,
消去λ,
得+=3.。