证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞→lim ，又0>a ，求证：对于方程()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()ab x y x =+∞→lim 。

证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰-xataxdt e t f C e x y 0， 即()()axxat edte tf C x y ⎰+=。

由于b x f x =+∞→)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。

因而()dt e M dt e t f dt e t f xXat X atxat⎰⎰⎰+≥0)(())(0aX axXat e e aM dt e t f -+=⎰， 由0>a ，从而有()∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+∞→xatx dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞→ax x e lim 。

应用洛比达法则得()()axxat x x edte tf C x y ⎰+=+∞→+∞→0limlim()axaxx ae e x f +∞→=lim ()aba x f x ==+∞→lim。

证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ⨯的连续矩阵函数。

证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

由于)(t A 是定义在区间b x a ≤≤上的n n ⨯的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件ηx =)(0t ，b t a ≤≤0，方程组x A x )(t ='存在唯一的解。

分别取初始条件⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001)(01 t x ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010)(02 t x ，．．．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100)(0 t x n ， 它们对应的解分别为),(),(),(21t t t n x x x 且这n 个解在0t 时的朗斯基行列式为01)(0≠=t W ，则)(),(),(21t t t n x x x 是n 个线性无关的解。

任取方程组x A x )(t ='的1+n 个解)(),(),(),(121t t t t n n +x x x x ，),(b a t ∈∀，这1+n 个解都是n 维向量，于是由线性代数有关理论知，它们线性相关。

这就证明了方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解。

证明题：如果已知二阶线性非齐次方程)()()(2122t f x t a dt dxt a dtx d =++ 对应齐次方程的基本解组为)(),(21t x t x ，证明其有一特解是ds s f s x s x W s x t x s x t x t φtt )()](),([)()()()()(0212112⎰-=,其中)(),(21t a t a 及)(t f 是区间Ｉ上的连续函数，)](),([21t x t x W 是)(),(21t x t x 的朗斯基行列式。

证 已知)(),(21t x t x 是对应齐次方程0)()(2122=++x t a dt dxt a dtx d 的基本解组，则齐次方程的通解为)()(2211t x C t x C +。

用常数变易法，求原方程的特解。

设 )()()()(2211*t x t C t x t C y +=是原方程的特解，则)(),(21t C t C 满足下列关系⎩⎨⎧=''+''='+')()()()()(0)()()()(22112211t f t x t C t x t C t x t C t x t C ，解得))(),(()()()()()()()()()(0)(2122121221t x t x w t x t f t x t x t x t x t x t f t x t C -='''='，))(),(()()())(),(()()(0)()(21121112t x t x w t x t f t x t x w t f t x t x t C ='=' ，积分得ds s x s x w s x s f t C ds s x s x w s x s f t C t t tt ⎰⎰=-=00))(),(()()()())(),(()()()(21122121 。

原方程的一个特解为ds s x s x w s x s f t x ds s x s x w s x s f t x y t t tt ⎰⎰+-=00))(),(()()()())(),(()()()(21122121*故ds s f s x s x w s x t x t x s x t φtt )())(),(()()()()()(0212121⎰-=是原方程的一个特解。

证明题：设()t e tλΓx =是常系数线性齐次方程组Ax x ='……（1）的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e tλΓ，()t e t λΓ'，...，()t e k t λ)(Γ是方程组（1）的线性无关解组。

证： 设()t e tλΓx =是常系数线性齐次方程组Ax x =' （1）的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e tλΓ，()t e tλΓ'，...，()t e k tλ)(Γ，),(+∞-∞∈t 是方程组（1）的线性无关的解组。

证 先证明()t e tλΓ，()t e tλΓ'，...，()t e k tλ)(Γ都是方程组（1）的解。

由于()t e tλΓx =方程组（1）的解，则有()()()t e t e t e λt λt λt λΓA ΓΓ='+，即()()t λt ΓE A Γ)(-='其中E 表示单位矩阵。

由()()t λt ΓE A Γ)(-='易得()()t λt m m )1()()(--=ΓE A Γ 1,,2,1-=k m 。

（2）()()t e dtd m t λ)(Γ()()t e t e λm t λm t λ)1()(++=ΓΓ， 由（2），上式变为()()t e dtd m t λ)(Γ()()])[()()(t λe t e λm t λm t λΓE A Γ-+= ()()t e dtd m t λ)(Γ()t e m t λ)(ΓA =，1,,2,1-=k m 。

故()t e tλΓ，()t e tλΓ'，...，()t e k tλ)(Γ都是方程组（1）的解。

再证明向量组()t e tλΓ，()t e tλΓ'，...，()t e k tλ)(Γ线性无关。

因为()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，所以()0≠t k )(Γ，而当k m >时，()0=t m )(Γ。

若()+t e C t λΓ0()++' t e C tλΓ1()0≡t e C k t λk )(Γ，),(+∞-∞∈t ，即 ()+t C Γ0()++' t C Γ1()0≡t C k k )(Γ，),(+∞-∞∈t ，给上式两边关于t 求k 阶导数，得()0≡t C k )(0Γ，),(+∞-∞∈t ，则必有00=C 。

给()++' t C Γ1()0≡t C k k )(Γ，),(+∞-∞∈t 两边关于t 求1-k 阶导数，则必有01=C 。

同理，可得0=m C ，k m ,,2,1,0 =。

故向量组()t e tλΓ，()t e tλΓ'，...，()t e k tλ)(Γ线性无关。

综上所述，我们证明了向量组()t e tλΓ，()t e t λΓ'，...，()t e k tλ)(Γ，),(+∞-∞∈t 是方程组（1）的线性无关的解组。

证明题：n 阶齐次线性常微分方程0)()()()2(2)1(1)(=++++--x t a x t a x t a x n n n n 有且最多有n 个线性无关的解。

n 阶齐次线性常微分方程0)()()()2(2)1(1)(=++++--x t a x t a x t a x nn n n 有且最多有n 个线性无关的解。

证明 ：由于n 阶齐次线性常微分方程分别满足初始条件,1)(,0)(,0)(,0)(,1)(,0)(,0)(,0)(,1)(0)1(000)1(202020)1(10101=⋯⋯='=⋯⋯=⋯⋯='==⋯⋯='=---t x t x t x t x t x t x t x t x t x n n n n n n的解为),(,),(),(21t x t x t x n 则一定存在n 个解，又因为若任取1+n 个解)(),(,),(),(121t t t t n n +ϕϕϕϕ)(1)(2)(1121121121)](),(,),(),([n n n n n n n n t t t t W ++++'''=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ由于 j n n j n j n j t a t a t a ϕϕϕϕ)()()()2(2)1(1)(-----=-- 即最后一行可由前行线性表出，则)(1)(2)(1121121121)](),(,),(),([n n n n n n n n t t t t W ++++'''=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=0，故这1+n 个解一定是线性相关的。

从而命题得证。

证明题：设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．证明：．证明 由于)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式0)()()()()(2121≠''=x x x x x W ϕϕϕϕ （*） （5分）假如它们有共同零点，那么存在一个点0x ，使得)(01x ϕ=0)(02=ϕx 于是0)()(00)()()()()(0201020102010=''=''=x x x x x x x W ϕϕϕϕϕϕ这与（*）式矛盾．常微分方程习题集（5）（五）证明题1. 试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么 ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.2. 设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．3. 假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mt Ce AX dtdX+=，有一解形如：mt Pe t =)(ϕ，其中P C ,是常数向量. 4. 设(,)f x y 及yf∂∂连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子.5. 设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x .6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.7. n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解.8. 设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ϕ是其对应一阶齐次线性方程于区间I 上的一个非零解。