R1
R2
a
i
us(t) C1 4i
解：左图为时域电路 画出相量电路模型
b
R1
R2
a
i
i
C1
i
I
US
4I
b
R1
① R2
i
C1
i
US
4I
当ab端口短路时
a
相量电路模型---频域电路
i
当ab端口开路时
I b
i
Id
=
Uab0 = 10∠15
US
R1
−
j1
ωC1
⋅(− j2) =
⋅ 5
−j 2∠
1
ωC1
IC = β IL − IL
US R
IS
IR
IR = IS + IC
Uβ = IL ( jX L ) + US
IL
jω L +
R
−
j1
ωC
−
β IL
R
−
j1
ωC
−
IS R
=
0
IL =
R + jω L − j
IS R
1 − β R + jβ
1
ωC
ωC
例3 已知：uS (t ) = 0 i (t ) = 3sin ωt
欧姆定律
元件参数关系 KCL KVL
直流电路 U =RI I =GU R= 1
G
∑I =0 ∑U = 0
R−Z
G −Y
正弦交流电路 U=Z I I =Y U Z=1 Y
∑I =0 ∑U = 0
i
U −U
i
I−I
因此，根据基尔霍夫定律和欧姆定理所推导出的关于直流电路 的所有计算方法和定理，都可以推广应用到正弦交流电路。直 流电路中解题方法均可在交流电路中套用(无互感时)。
−Ed 2 ⋅ R ⋅ 2 ( X d + X )
( Rd
+
R)2
+ (Xd
+
X
)2
2
=0
{ } ∂P = Ed2
( Rd
+
R)2
+
(Xd
+
X
)2
−
R ⋅ 2 ( Rd
+
R)
∂R
( Rd
+
R)2
+ (Xd
+
X
)2
2
X = −Xd R = Rd
=
Ed 2
⋅ ( Rd + R) ( Rd − R) + ( X d + X )2
2.相量电路模型.
i
i
IS
a I3 C3 b R5
i
i
i
i
I5
I1
I2
I4
i
I1
+ I2 I3 +
+ I5
I3 =
= I4
IS
R1
L2
L4
US
( ) Ua +
R1
Ua +
jω L2
Ua −Ub
⋅ jωC3 = IS
( ) Ua − Ub
⋅
jωC3
+ US −Ub R5
=
Ub
jω L4
i
a I3 C3 b R5
t
−
ϕ
)]
dt
= UI cosϕ
有功功率.无功功率和视在功率
1.有功功率：即平均功率
①定义式
∫ P = 1
T
p (t) dt
= UI cosϕ
T0
② cosϕ ϕ
功率因数 阻抗角也称功率因数角
¾u, i参考方向一致时
ϕ ≤π
2
P ≥0
p(t) = UI cosϕ − UI cos(2ωt − ϕ ) = UI cosϕ − UI cos(2ωt − 2ϕ + ϕ ) = UI cosϕ − UI cos(2ωt − 2ϕ ) cosϕ + UI sin(2ωt − 2ϕ ) sinϕ = UI cosϕ[1 − cos(2ωt − 2ϕ )] + UI sinϕ sin(2ωt − 2ϕ )
dt
ub
)
=
iS
(t)
∫ c3
d
(ua −
dt
ub
)
+
uS
(t ) − ub
R5
(t)
=
1 L4
t −∞
ub
dξ
c3
d2
(ua − ub )
dt 2
+
1 R1
dua dt
+
1 L2
ua
= iS′ (t )
c3
d2
(ua −
dt 2
ub )
+
uS′
(t ) − ub′
R5
(t)
=
1 L4
ub
求解微分方程的特解
Z2 Z1 + Z2
电桥平衡，a,b为自然等位点
Z3
a,b断开：
i
i
I1
=
U Z1 +
Z3
i
i
I2
=
U Z2 +
Z4
Z4
a,b短路:
i
i
I=
U
Z1Z2 + Z3Z4
Z1 + Z2 Z3 + Z4
i
I2
=
i
I×
Z1 Z1 + Z2
Z1 × Z4 = Z2 × Z3
Z1 × Z4 = Z2 × Z3 (R1 + jX1 )(R4 + jX 4 ) = (R2 + jX 2 )(R3 + jX 3 )
3-10 简单正弦交流电路的计算
1.已知电路结构参数，求各支路电流、电压。
例1: 如图电路，已知: U=380V，XL=22Ω，ZP 为感性负载，其阻抗
角为300，且UP=UL 。 求：I、UP 的有效值
I
XL
解：
ZP
= UP I
= UP I
∠ϕ
UL
i
U
UP ZP
= U L ∠ϕ
I
= X L∠ϕ
= 22∠30
ϕ
2
i
UR
cosϕ
=U2
− U12
−
U
2 2
= 0.275
2U1U 2
i
I
ϕ = 82.26
UR = U2 cosϕ = 50cos82.26 = 13.75 UL = U2 sinϕ = 50sin 82.26 = 48.07
I = U1 = 30 = 15A R1 2
f = 50Hz
R = UR I = 0.917Ω X L = UL I = 3.205Ω
R1 R1
R4 X4
− +
X1 R4
X4 X1
= =
R2 R3 − X 2 X 3 R2 X 3 + R3 X 2
一个复数方程
两个实数方程
例1.已知：R1 ，L2 ，C3 ，L4 ，R5 ，iS(t) , us(t)
求：i1 ,i2 ,i3 ,i4 ,i5 ?
a i3 C3 b R5
is(t)
R
②
·
· UR 2U
R
·
-2U
① C
R/2
A
2C R
②
C ·
2U
·
UC
·
·UR 2U
R
① C
R/2
A
2C R
②
2C ·
2U
·
U/2
·
· U/2 2U
R/2
① C
R/2
A
2C R
②
i
i
i
UA
=
2U（jωC)-2U/ R
jωC+
2
R/2-j/2ωC
+
1 R
=
2i jU
3
§3–12 正弦交流电路的功率
uS (t) = 3sin (ωt + 30 ) i (t) = 3 2 sin (ωt + 45 ) 求： uS (t) = 4 sin (ωt + 30 ) ⇒ i (t) = ?
解： I = GUS + I0
us(t)
含源 线性 网络
i(t)
3∠45
3 2
=
I0
⇒
I0 =
3 2
=G⋅
3 2
设 u = 2U sinωt
i = 2I sin (ωt −ϕ )
1）瞬时功率
p(t) = 2UI sinωt sin(ωt −ϕ ) = UI cosϕ −UI cos(2ωt −ϕ)
波形图：
p ui
2）平均功率
∫ P = 1
T
p (t) dt
T0
=
1 T
T
∫0
[UI
cosϕ
−
UI
cos
(2ω
i4
i5
us(t)
R1
L2
L4
1
ua
R1
+
1
jω L2
+
jωC3
−
ub
⋅
jωC3
= iS (t )
ub
jωC3
+
1
jω L4