显然当: | i1,2 | 1 速转动；| i1,2 | 1
时,
2 时1 , 2 1
,为降速转动。
,为升
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12

1 2

r2 r1
【例6-8】设主动轮A和从动轮B的节圆半径分别为r1和r2， 齿数分别为z1和z2。主动轮A的角速度为ω1 ，角加速度为 α1，试求从动轮B的角速度和角加速度。
60 30 10
3.角速度和角加速度
2）角加速度:
设当t 时刻为 , t +△t 时刻为+△
角加速度

lim t0 t

d
dt

d 2
dt 2


f (t)
单位:rad/s2
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动
3）匀速转动和匀变速转动
当 =常数,为匀速转动；当α =常数,为匀变速转动。
3.加速度
at

dv dt

s
R
an

v2


1 R2
R

R 2
4.速度与加速度分布图
a
a2 t
an 2

R
2 4
v R
tan at an 2
结论: ① v方向与 相同 , R ,与 R 成正比。
② 各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都一致,
dt
vM
M
an
a
O

a
aA
A
vM vA R 0.4 m / s
vA
aA a R 0.4 m / s2 方向如图所示。点M的法向加速度
的大小为
an R 2 0.8 m / s2
点M的全加速度的大小和方向分别为
vM
M
an
a
O

a
a a2 an2 0.894m / s2
解：建立图示坐标系
y

O
x
h
A
v0 x
tan x v0t
hh
arctan( v0t )
h


d
dt

hv0 h2 v02t 2


d
dt


2hv03t (h2 v02t 2 )2
【例6-7】已知： ; v ; r
求：卷盘的角加速度
v
解：由定轴转动公式
v r

drB dt

drA dt
vA
aB

dvB dt

dvA dt
aA
结论：当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，
在同一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平移→点的运动
【例6-1】荡木用两条长为 l 的钢索平行吊起，如图所示。
当荡木摆动时，钢索的摆动规律为


0cos
4
t
，
为最
3.角速度和角加速度
1）角速度： lim Δ d
Δt0 Δt dt
若已知转动方程 f(t) f (t) 单位 rad/s 方向：逆时针方向为正
工程中常用单位：
n = 转/分(r / min) 则n与的关系为:
2 n n n (rad/s )
r2
α2
B
2
r1
α1
M2 M1 1
A
v2 v1
2
r2
α2 B
r1 1 M1 M2
α1 A
v2 v1
r2
α2
B
2
r1
α1
M2 M1 1
A
v2 v1
2
r2
α2 B
r1 1 M1 M2
α1 A
v2 v1
解：在齿轮传动中，啮合点的速度和切向加速度的大小 和方向相同，即
因而有
v1 v2
r11 r22
A
v ds l0 sin t
dt 4 4
O (+)
O2
l
M
B
A点的切向加速度和法向加速度可分别写为
a

dv dt


2l0
16
cos
4
t
an

v2 l

2l02
16
sin2
t 4
当t=2s时，速度和加速度可分别写为
v l0
4
(方向水平向左)
a


2l0
M点切向加速度
an
v
( r)
M点法向加速度
【例6-9】 如图所示圆盘以恒定的角速度ω=50rad/s 绕垂直 于盘面的中心轴转动，该轴在yz面内，倾角θ=arctan3/4，动 点M 的矢径在图示瞬时为 r 0.15i 0.16 j 0.1k。试用矢量 法求动点M的速度和加速度。
r
O
对此式求导：
0 d r dr
dt
dt
d dr
dt
r dt
半径的表达式：
r

ro

2

dr
dt
2
2


v 2 2 r3
§6-４ 轮系的传动比
1. 齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
外啮合
内啮合
0
大摆角。试求当t=2s时，荡木中点M的速度和加速度。
O1
O2

l
l
A
M
B
O (+)
解：荡木在运动的过程中, 荡木作平动。为求中点M 的速
度和加速度,只需求出荡木上另一点A(或点B)的速度和加速
度即可。 点A 的运动方程为
O1

s l l0 cos 4 t

l
将上式对时间求一阶导数，
可得A点的速度
通常在机械工程中，把主动轮和从动轮的角速度之比称为
传动比，用i12表示
i12

1 2
1 2

r2 r1

z2 z1
有时为了区分轮系中各轮转向，对各轮规定统一的
转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比
也可取代数值
i12

1 2
= 1 2


r2 r1


z2 z1
以矢积表示点的速度和加速度
6
§6-１刚体的平行移动
1.定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置， 这种运动称为平行移动，简称平移。
2.运动方程
平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速 度都一样。 即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。
设刚体做平动，如图所示。
在刚体内任选两点A和B，令点 A的矢径为rA，点B的矢径为rB。
0 t
常用公式


0t

1t2
2
与点的运加速度
角加速度 匀速转动 匀变速转动
d d2
dt dt2
d 0
dt
0 t
d cont
dt
0 t
AB、凸轮均作平动
[例]
AB在运动中方向和大小始终不变
它的轨迹
可以是直线 可以是曲线
平面力系：力系中各力的作用线处于同一平面内。
本章内容：研究刚体的两种简单运动——平移和 定轴转动。
这是工程中最常见的运动，也是研究复杂运动的基础。
5
目录
§6-1 刚体的平行移动 §6-2 刚体绕定轴的转动 §6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 §6-4 轮系的传动比 §6-5 以矢量表示角速度和角加速度 •

0

0t

1t2
2
【例6-3】电动机由静止开始匀加速转动，在t=20s时，其 转速n=360r /min ，求在此20s内转过的圈数。
解：电动机初始静止，即ω0=0。在t=20s时其转动的
角速度为
n 12 rad / s
30
由ω =ω0+αt ，可得电动机转动的角加速度为
§6-４ 轮系的传动比
② 传动比
齿数
Z 2 r
t
R2 2 R2 / t Z2 R1 2 R1 / t Z1
由于
2 n
60
1 n1 成正比 2 n2
即 : i1,2

1 2


n1 n2


R2 R1


z2 z1

主动轮 从动轮
内啮合时传动比为正；外啮合时传动比为负。
a1 a2
r11 r22
从而可以求得从动轮的角速度和角加速度分别为
2

r1 r2
1
2

r1 r2
1
一对相互啮合的齿轮，它们的齿数和节圆的半径成正比，
所以上面式子可写为
2

r1 r2
1

z1 z2
1
2

r1 r2
1

z1 z2
1
联合上面两式，可得
1 1 r2 z2 2 2 r1 z1
1.定义 刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为
刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。
转轴 ：通过两个固定 转角： 单位:弧度(rad)
点的一条不动的直线