s R （逆时针为正）
自然法
2．点的速度
s R
v ds R d R
dt dt
v 指向为刚体转动的方向或与 ω 的转动方向一致。
刚体绕定轴转动 （逆时针为正）
刚体绕定轴转动
2．点的加速度
s R （逆时针为正）
切向加速度
a
dv dt
R d
dt
R
aτ 指向沿轨迹的切线与α 的转
动方向一致。
点M的全加速度大小。
解： M点的速度为
vM
vM
vA
dx dt
10t
m/s
M点的加速度为
aMt aMt
aMn
vM2 R
aA 200t 2
d2x dt 2 m/s2
10
m/s2
aM
aMt
2
aMn
2
10
1 400t 4
m/s2
三、轮系的传动比
刚体绕定轴转动
齿轮系
带轮系
刚体绕定轴转动
同一瞬时荡木上各点的速度、加速 度相等 vM vA aM aA
点A绕圆心O1，作半径为 l 的圆弧 运动
自然法： 假设弧坐标s向右为正，
s
l
l0
sin
4
t
刚体的平行移动
运动方程：
s
l
l0
sin
4
t
任一瞬时t， v ds l0 cos t
dt 4 4
， 0 sin t 4aΒιβλιοθήκη dv dt2l0 16
解： d 1681t 2 rad/s dt 162t rad/s2 4 0 时，即 16 81t2 0 时，解得 t 9 s 此时刚体改变转向。容易算得：在此之前，ω>0，刚体 逆时针转动；在此之后，ω<0，刚体顺时针转动。
d 1681t2 rad/s dt 162t rad/s2
法向加速度
an
v2
R 2
R
R 2
an方向沿转动半径并指向转轴。
全加速度
a
a2 an2
R 2
R 2
2
R
2 4
tan a
R
a R2 2
刚体绕定轴转动
例7-3 半径为R 0.5 m的定滑轮上绕有细绳，绳端系一 重物A，如图所示。已知重物的运动方程为 x 5t2 其中t
以s计。试求定滑轮的角速度和角加速度，并求轮缘上一
rA rB BA
式中BA的长度和方向都不变，即 BA为常矢量。由此可知，在运动过 程中，A、B两点的运动轨迹形状完 全相同。
上式两边对时间 t 求导
vA vB
aA aB 说明：在任一瞬时，平移刚体上的A、B两点速度相同， 加速度相同。
刚体的平行移动
由于A、B两点是刚体上任选的两点，可知： ①刚体作平移时，其上各点的运动轨迹形状相同； ②在每一瞬时各点的速度和加速度相同。
刚体的简单运动
1. 刚体的平行移动 2. 刚体绕定轴转动
研究内容：
刚体的整体运动规律 刚体上任一点的运动规律
刚体的平行移动
火车车厢的运动
振动筛筛体的运动
刚体在运动时，其上任意直线总是平行于其初始位置， 将刚体作的这种运动称为平行移动，也可以称为平移或平 动。
刚体的平行移动
平行移动刚体的运动特点：
60 30 （3） 匀变速转动： α为常量
0 t
0
0t
1t2
2
2 02 2 0
刚体绕定轴转动
例7-2 刚体绕定轴转动，其转动方程为 16t 27t3
（其中 t 以s计，φ以rad计）。试问刚体何时改变转向？
分别求出当 t=0、t=0.1s和 t=1s时的角速度和角加速度， 且判断在各瞬时刚体做加速转动还是做减速转动。
以齿轮传动为例，进行说明。
vB vA
R11 R22 或
1 R2 2 R1
传动比i12为主动轮与从动 轮的角速度比值
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
刚体绕定轴转动
t=0时， 0 16rad/s，0 0 此瞬时刚体做匀速转动。
t=0.1s时，1 16 81 0.12 15.19 rad/s
1 162 0.1 16.2 rad/s2
ω1与α1异号，刚体做减速转动。
t=1s时， 2 16 8112 65 rad/s
2 1621 162 rad/s2
负 2. 角速度和角加速度：
角速度： d 正负号规定与φ一
dt 致 角加速度： d d 2
dt dt2
正负号规定与φ一
刚体绕定轴转动
3. 刚体定轴转动的运动分析
（1） 加速转动： ω与α符号一致；
减速转动： ω与α符号相反；
（2） 匀速转动： α=0，ω为常量 0 t
转速n与角速度ω之间的关系： 2 n n
刚体绕定轴转动
刚体运动时，若刚体内或其扩展部分有一直线，其上各点 始终保持不动，则称此种运动为刚体绕定轴转动，简称刚体 转动。
该固定不动的直线称为转轴或简称为轴。
d d 2 dt dt2
刚体绕定轴转动
一、定轴转动刚体整体运动的描述
1. 运动方程： 转角 f t
转角φ正负号规定：逆时针为正，反之为
sin
t 4
an
v2
v2 l
2l02 16
cos2 t 4
t = 0s时，
vM
vA
l0
4
a 0
an
v2
v2 l
2l02 16
aM aA
a2
an2
2l02
16
加速度的方向铅垂向上。
t = 2s时，
vM 0
a
2l0 16
an 0
aM
a2
an2
2l0
16
加速度的方向沿轨迹切线的方向，弧坐标的负向。
刚体的平行移动可以归结为刚体上任一点（通常是质 心）的运动问题来处理，即可采用上一章所研究的点的 运动学结论。
必须要会判断刚体运动的类型。
刚体的平行移动
例7-1 荡木用两根等长的绳索平行吊起，如下图所示。
已知
，绳索长
，摆动规律为
。
试求：当 s和 s时，荡木中点M的速度和加速度。
解： 荡木作平行移动。
ω1与α1同号，刚体做加速转动。
刚体绕定轴转动
二、定轴转动刚体上点的速度和加速度 刚体绕定轴转动时，刚体内任一点都作圆周运动，圆心在 轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径R等于该 点到轴线的垂直距离。
1．以弧坐标表示的点的运动方程
以M0为弧坐标 s 的原点，按 φ 角的正
向规定弧坐标的正向，则运动方程为