角速度的平方与该点到轴线距离的乘积，它的方向与速
度垂直并指向轴线。
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
如果ω与α同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。
点M加速度a的大小和方向：
a at2 an2 (R )2 (R2 )2 R 2 4
tan

at an

R R 2
§7-1 刚体的平行移动
速度、加速度
rA rB BA
上式对时间t求导数，得
drA drB dBA
而
drA dt
dt
vA,
dt dt
drB dt
vB,
d BA 0 dt
因此，得 v A vB
将上式再求一次导数，得
aA aB
结论：当刚体平行移动时。其上各点的轨迹形状相同；在
的原点，按φ角的正向规 定弧坐标s的正向，于是
s R
将上式对t求一阶导数，得
上式可写成
v R
ds R d
dt
dt
即：转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速
度与该点到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线
指向转动一方。
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
转动刚体内各点速度分布规律：
终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平 移。 例如：
§7-1 刚体的平行移动
二、平移的特点
设刚体作平移，在刚体内任选
两点A、B,令点A的矢径为rA， 点B的矢径为rB,则两条矢端曲 线就是两点的轨迹。由图可知
rA rB BA
当刚体平移时，线段AB的长度 和方向都不改变。 因此只要把 点B的轨迹沿BA方向平行移动一段距离BA，就能与点A的 轨迹完全重合。 刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能 是曲线，但是它们的形状是完全相同的。
2019年9月21日
第七章 刚体的简单运动
§7-1 刚体的平行移动 §7-2 刚体绕定轴的转动 §7-3 转动刚体内各点的速度和加速度 §7-4 轮系转动比 §7-5 以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示点的速度和加速度
§7-1 刚体的平行移动
一、平行移动 如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始
§7-2 刚体绕定轴的转动
一、转动方程
取转轴为z轴。通过轴线作一固 定平面Ⅰ,此外，通过轴线作一与刚
体固连的动平面 Ⅱ。这两个平面间
的夹角用φ表示,称为刚体的转角。
转角φ是一个代数量，它确定了
刚体的位置,它的符号规定为:从z轴
正向往下看,逆时针为正,反之为负。 并用弧度(rad)表示,当刚体转动时,转 角φ是时间t的单值连续函数，即
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
二、转动刚体内各点的加速度 at s R R
转动刚体内任一点的切向
an at
加速度的大小，等于刚体 的角加速度与该点到轴线 距离的乘积，它的方向由
角加速度的符号决定。
法向加速度为
an

v2


( R ) 2
an R 2
即：转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体
2
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
由于在每一瞬时，刚体的ω和α都只有一个确定的数 值，所以得知：
1．在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加 速度的大小，分别于这些点到轴线的距离成正比。
2．在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径 间的夹角θ都有相同的值。
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
例：叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点：r=0.4m， 在某瞬时的全加速度a=40m/s2,与转动半径的夹角θ=30º。
若t=0时，位置角φ0=0，求叶轮的转动方程及t=2s时M点速
度和法向加速度。
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
解：将M点在某瞬时的全加速度a沿轨迹的切
§7-2 刚体绕定轴的转动
三、角加速度
角速度ω对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度。
用α表示，即
d d 2
dt dt 2
角加速度表示角速度变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的快慢。
单位一般用rad/s2(弧度/秒2)。 角加速度也是代数量。
如果ω与α同号，则转动是加速的；如果ω与α异号，
则转动是减速的。
§7-2 刚体绕定轴的转动
解：连杆作平移，因此在连杆上 任取一点M可代表连杆的运动。 点M的位置坐标为
xM r cos r cost
这就是点M的运动方程。因此， 点M的速度及加速度为
vM xM r sin t
aM vM r 2 cost
§7-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动， 则这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。通 过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴或轴 线，简称轴。
每一瞬时,各点的速度相同,加速度也相同。 因此,研究刚体
的平移,可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动。
§7-1 刚体的平行移动
例：图示曲柄滑道机构，当曲柄OA在平面上绕定轴O转动时， 通过滑槽连杆中的滑块A的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复 动。若曲柄OA的半径为r，曲柄与x轴的夹角为φ=ω t，其中ω是常数， 求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。
四、两种特殊情况 1.匀速转动 刚体角速度不变的转动，称为匀速转动。
0 t
在工程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分 钟转数n来表示，其单位为r/min（转/分），称为转速。
角速度ω与转速n的关系为
2n n
60 30
式中转速n的单位为r/min，角速度ω 的单位为rad/s。
§7-2 刚体绕定轴的转动
2.匀变速转动
刚体角加速度不变的转动，称为匀变速转动。
0 t

0
0t

1 t 2
2
2


2 0

2 (
0 )
其中ω0和φ0分别是t=0时的角速度和转角。
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、转动刚体内各点的速度 以固定点O´为弧坐标s
f (t)
这个方程称为刚体绕定轴转动的转动方程。
§7-2 刚体绕定轴的转动
二、角速度
转角φ对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，
用ω表示，即
d
dt
角速度表示刚体转动的快慢和方向。
单位一般用rad/s（弧度/秒）。
角速度是代数量。
从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取 正值，反之取负值。