第七章
刚体的基本运动
第七章
刚体的简单运动
§7-1 刚体的平行移动(平动)
如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平 行,这种运动称为刚体的平行移动,简称平动或移动。 vA A1 A A2
rA2
平面平行四连杆机构
o
rB
r r B A A B
vA vB aA aB
M 点和物体 A 的速度和加速
A
度。
解：
首先根据滑轮的转动规律，求得它的角 速度和角加速度
vM M
0 .45 t2
代入 t =2 s， 得
0 . 9 t
O
α
ω
1 . 8 rad s 1 . 8rad s ,
－ 1
－ 2
轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为
O1 an
φ
O2
v an A C v
B
A0
v v v l A B C
d2s dv aτ 2 0 dt dt
(l )2 2 a l n l v2
2 a a a a l A n n 2 2
2 a a a l C A n
3）平动刚体上点的轨迹不可能为空间曲线 4）某瞬时平动刚体上各点的速度大小相等而方向可以不同
滑轮的半径 r=0.2 m ，
可绕水平轴 O 转动，轮缘上
缠有不可伸长的细绳，绳的
M O α ω
一端挂有物体 A （如图）， 已知滑轮绕轴 O 的转动规律 φ=0.15t3 ，其中t以s计，φ 以 rad 计，试求 t=2 s 时轮缘上
A
－ 1 v r 0 . 36 m s M
加速度的两个分量
－ 2 a r 0 . 36 m s t
vM at
aM
O α
φ
an ω
M
a r 0 . 648 m s n
2
－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
－ 2 a a a 0 . 741 m s M t n 2 2
－ 1 v v 0 . 36 m s A M
ω
A
－ 2 a a 0 . 36 m s A t
vA
aA
它们的方向铅直向下。
半径 R=20 cm 的滑轮可绕 水平轴 O 转动，轮缘上绕有不 能伸长的细绳，绳的另一端与
M R
O
v
滑轮固连，另一端则系有重物 A ，设物体 A 从位置 B 出发，以 匀加速度 a =4.9 m· s － 2 向下降
dt
角加速度:
常用转速n（每分钟的转数，单位为r/min）来表示转 动部件转动的快慢。角速度与转速之间的关系为
2πn πn ＝ 60 30
匀速运动，ω=常数，ε=0
d dt
t 0 , t 0 0
匀变速运动，ε=常数 d t 0 , 0 0
§7-2 刚体绕定轴的转动 在一般情况下，运动的 π 刚体或其扩大部分内有一条 φ 固定不动的直线，这种运动 称为刚体绕固定轴转动，简 称定轴转动。这条固定不动 的直线称为转轴（转动轴）。
转角:
转动方程: 角速度:
z
φ φ=φ(t) d
2 d d 2 dt dt
落，初速 v0=4 m· s － 1 ，求当物
B
体落下距离s =2 m时轮缘上一
s
A
点 M 的速度和加速度。
解:
根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
v 2 as v 5 . 96 m s
2 0
－ 1
M R
O
v
M点的切向加速度
dv at a. dt
2 2asv0 an R
当刚体平行移动时,其上各点的轨迹、速度、 加速度也完全相同。刚体的平动可以归结为刚 体内一点的运动。
例： 如图所示机构,已知杆O1A与 O2B 长度相等且相互平 行。曲杆O1A为l，以匀角速度ω= 2 rad/s绕O1点转动，试 求任一瞬时刚体ABC上，点C的速度和加速度。 解：根据题意，刚体ABC 作平动。只需求出A点或B 点的速度和加速度即可。 ds s l l t v A l dt
n 2 a a cos 60 r
O
φ
两式相除：
a
tg60 2 2 3 d 3 2

d 3 2 d
d


0

3d

0
dt
d d 3 2 dt d

d
3 d
3
0e
M点的法向加速度
B
v2
M点的总加速度
2 2 － 2 a a a 178 m s t n
s
A
练习题：一飞轮绕固定轴O转动，其轮缘上任一点的全加速度在某 段运动过程中与轮半径的夹角恒为600，当运动开始时，其转角 φ0=0， 初角速度为 ω0，求飞轮的角速度与转角的关系。 解：
τ a a sin 60 r
dt
0 t 1 2 0 0t t 2
2 2 0 2( 0 )
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
速度:
s R 大小： v s R R
方向：
v
切向加速度:
a s R R
o
s
R M
2 2 v ( R ) 2 法向加速度: a R n R R
全加速度:
aa a n
tg a an
2 2 4 2 a a a R n
§7-4 轮系的传动比
ω1
ω2 r2
v r r 1 1 2 2
传动比： ω1 r1
A
tan 2 0 .556 ,
29
vM a O α an
at M
因为物体 A 与轮缘上 M 点的 运动不同，前者作直线平移， 而后者随滑轮作圆周运动 ，因 此，两者的速度和加速度都不 完全相同。由于细绳不能伸长， 物体 A 与 M 点的速度大小相等， A 的加速度与 M 点切向加速度的 大小也相等，于是有
r1
v
r2 ω2
1 r2 i12 2 r1
R z2 1 2 i12 R z 2 1 1
概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快 （2）越转越慢 （3）不一定 2）两齿轮啮合时： 接触点的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
接触点的切向加速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定