数学分析考研试题集锦
一. 连续性问题
1 ．设f(x)是[a,b]上的连续函数,f(a)<0,f(b)>0,求证:存在c(a,b),使
f(c)=0,且对任何
,有f(x)>0．(华东理工大学2004年)
二.无穷级数与函数列
1．设在[0,1]上
一致收敛于f(x),且每个
有界，求证：
(1) 极限函数f(x)在[0,1]上有界；
(2) 函数列
在[0,1]上一致有界．(华东理工大学2004年)
2. 设{fn(x)}是定义在(-,+)上的可导函数列,且存在常数M>0,对所有的n和x(-,+),有
假设对任意x(-,+),有
则g(x)在(-,+)上连续.
证明:对任意x0 (-,+),有
对任意>0,由于对任意x(-,+),有
所以存在正整数N,当n>N时,有
由微分中值定理,
其中在x与x0之间,故取
当|x-x0|<时,有
故当|x-x0|<时
即f(x)在x0连续,由x0的任意性,知f(x)在(-,+)上连续.
三．连续性
１．设Ｉ为一区间，f(x)在Ｉ上一致连续，若对任意xI,f(x)0,试证：在Ｉ上一致连续．(华东理工大学200６年)
四．定积分
１．
2．设
有二阶连续偏导数，
证明：
证明：设
，则
所以
由于
所以
（华中科技大学）
3．设
讨论积分
的敛散性.
解:
,故P>1时积分收敛,p1时积分发散.
数学分析考研题集锦
1 设函数
为
上的非负递减函数,且
收敛,则
证明：由于
收敛，根据柯西准则，对任意＞０,存在Ｍ＞０,对任意Ａ,Ｂ＞Ｍ,有．因此当
时,
但
为
上的非负递减函数,所以
,故
(南京理工大学2001年)
2.设函数
在
上一阶连续可导,
证明存在M>0,使得
证明：由于
所以
故
取
得证. （南京理工大学）
3 设
是
上的连续函数,证明:
证明: 由积分中值定理
.
故由定积分定义,
（南京理工大学）
4 设函数
在
上可导,且积分
与
都收敛,证明
存在且为0. （南京理工大学）证: 由于
收敛,所以有
．
故
存在.
若
不妨设
,则存在
当
时,有
即
从而
不收敛,矛盾,因此
５计算（东南大学2001）
６设
在
上二阶连续可导，设
证明：
（东南大学2001）
证明：由泰勒公式
两式相减得
所以
因此
７设
在
上连续非负,且积分
收敛，证明：
（南京理工大学2000）
7. 设a,b>0,证明不等式:
证: 设
则
令
得
由于
因此f(x)在
取最小值,所以对(0,1)的任意x,有
故
8. 设f(x)在[a,b]上二次连续可微, 证明:
9. 证明:
其中C是与n无关的常数,
证:由于
故
另一方面,若设
则
故数列
单调递减有下界,因此
收敛.设
则
其中C是与n无关的常数,
10.设
求极限
解: 设
由拉格朗日定理,
其中
由于
故
所以
11．设
是[a,b]上的连续函数，当
时，
一致收敛于f(x)，每个
在[a,b]上有零点，f(x)在[a,b]上至少有一个零点。

证：设
在[a,b]上的零点为xn，则
为有界点列，从而必有收敛子列
，设
.由于
一致收敛于f(x),对任意>0,存在正整数N,当n>N时,对任意
有
从而
故
即f(x)在[a,b]上至少有一个零点.
12. 设f(x,y)在x,y0上连续,在x,y>0内可微,存在唯一(x0,y0)使得设
证明:
是f(x,y)在x,y0上的最大值.
证:设
,由于
故对任意>0,存在R>0,对任意x>R,或y>R,有
记
,则f(x,y)在D上连续,故f(x,y)在D上必取最大值M,且
下面证明:
(1) M是f(x,y)在X上的最大值.
对任意点
,当
时,有x>2R或y>2R,所以
时显然有
(2)
由于D的边界是线段
故对OA和OC上任意点(x,y),由已知条件可知f(x,y)=0<M,,对AB上的任意点(x,y)有x=2R>R,而对BC上的任意点(x,y)有y=2R>R,所以
故f(x,y)在最大值M在D的内部取得,因此M也是f(x,y)的极大值,由极值的必要条件,极大值点(x,y)必满足
由已知条件
是满足
的唯一点,故
12. 设f(x)是区间[0,1]上的可微函数,f(0)=f(1)=0.当0<x<1时,
证明:存在
,使得
证明:设
,则F(0)=F(1)=0,且F(x)在[0,1]上可微,由洛尔定理,存在
,使得
故有
所以
13.设f(x)在[0,+)上连续,广义积分
绝对收敛,试证:
证:由于
所以
由于f(x)在[0,+)上连续,广义积分
绝对收敛,根据黎曼引理,
故
14. 假设h(x)是处处不可导的连续函数,以此为基础构造连续函数f(x),使f(x)仅在两点可导,并说明理由.
解:设f(x)=(x-a)(x-b)h(x),则f(x)仅在x=a,x=b可导.事实上
所以f(x)在x=a可导,且
同理f(x)在x=b可导,且
而对任意x0a,b,由于
由已知条件,h(x)不可导,因此
不存在,而
故
不存在,故f(x)在x0不可导.由x0的任意性,f(x)在x0a,b,时不可导.
15 设函数f在[a,b]上连续,且f>0,记
证明:
并应用上述等式证明:
证明:
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